Ableitungen
Herleitung der Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln und die Bedeutung der Ableitung als Änderungsrate.
Ableitungen
Die Ableitung ist das zentrale Werkzeug der Analysis. Sie beschreibt, wie schnell sich eine Funktion ändert – und öffnet damit die Tür zur Untersuchung von Funktionsverläufen, Extremwerten und vielem mehr.
Herleitung
Vom Differenzenquotienten zur Ableitung: Verstehe, wie man die momentane Änderungsrate einer Funktion ermittelt.
Ableitungsregeln
Potenzregel, Produktregel, Quotientenregel, Kettenregel – die essentiellen Werkzeuge für jedes Abitur.
Bedeutung & Anwendung
Die Ableitung als Steigung, Geschwindigkeit, Änderungsrate – interpretiere Ableitungen im Kontext.
Was ist eine Ableitung?
Die Ableitung einer Funktion f(x) an einer Stelle x₀ beschreibt die momentane Änderungsrate – also wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn man x um einen infinitesimal kleinen Schritt verändert.
💡 Geometrische Interpretation
Die Ableitung f'(x₀) ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x₀, f(x₀)).
📐 Definition über den Grenzwert
Die Ableitung wird als Grenzwert des Differenzenquotienten definiert:
💡 Diese Definition ist die Grundlage für alle Ableitungsregeln und sollte konzeptionell verstanden werden.
📊 Schreibweisen
f'(x)– Lagrange-Notationdf/dx– Leibniz-Notationḟ(x)oderẋ– Newton-Notation (Physik)
🔢 Höhere Ableitungen
f'(x)– erste Ableitungf''(x)– zweite Ableitungf'''(x)– dritte Ableitungf⁽ⁿ⁾(x)– n-te Ableitung
Von der Sekante zur Tangente
Die Herleitung der Ableitung beginnt mit einer einfachen Frage: Wie können wir die Steigung einer Kurve an einem bestimmten Punkt messen, wenn eine Kurve keine gerade Linie ist?
Die Antwort: Wir nähern uns der Tangente über Sekanten – Geraden, die durch zwei Punkte auf der Kurve gehen. Je näher diese Punkte beieinander liegen, desto besser approximiert die Sekante die Tangente.
🎯 Das Grundprinzip
- 1Wähle einen Punkt
x₀auf der Funktion - 2Wähle einen zweiten Punkt
x₀ + hmit kleinem Abstandh - 3Berechne die Steigung der Sekante durch diese beiden Punkte
- 4Lasse
hgegen 0 gehen → Die Sekante wird zur Tangente!
Der Differenzenquotient
Die Steigung der Sekante zwischen den Punkten(x₀, f(x₀)) und(x₀+h, f(x₀+h)) wird durch den Differenzenquotienten berechnet:
Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen zwei Punkten an. Er ist noch KEINE Ableitung – dazu muss h gegen 0 gehen.
Der Grenzübergang h → 0
Um von der mittleren Änderungsrate (Sekante) zur momentanen Änderungsrate (Tangente) zu gelangen, lassen wirh gegen 0 gehen:
Sprich: „Die Ableitung von f an der Stelle x₀ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für h gegen 0."
Sekante weicht stark von der Tangente ab
Sekante kommt der Tangente näher
Sekante wird zur Tangente!
Beispiel: Ableitung von f(x) = x²
Wir leiten f(x) = x² mit der h-Methode (Differenzenquotient) ab:
📊 Visualisierung: f(x) = x² und f'(x) = 2x
f(x) = x²
f'(x) = 2x (Steigung)
💡 Die Ableitung (rechts) gibt die Steigung der Parabel (links) an jedem Punkt an.
Beispiel: Ableitung von f(x) = x³
Ein weiteres Beispiel zur Übung: f(x) = x³
📊 Visualisierung: f(x) = x³ und f'(x) = 3x²
f(x) = x³
f'(x) = 3x² (Steigung)
💡 Beachte: Die Ableitung einer kubischen Funktion ist eine quadratische Funktion (Parabel).
Muster erkennen
Aus den Beispielen können wir ein wichtiges Muster erkennen:
🎯 Die Potenzregel (Vorschau)
Diese Beispiele führen uns zur wichtigsten Ableitungsregel – der Potenzregel:
💡 Diese Regel werden wir im nächsten Tab genauer betrachten!
📝 Übungsaufgaben
Aufgabe 1: Ableitungsregeln anwenden (leicht)
Berechne die Ableitungen folgender Funktionen:
Aufgabe 2: Kettenregel (mittel)
Leite folgende Funktionen ab (Kettenregel!):
Aufgabe 3: Extremwerte bestimmen (mittel)
Gegeben: f(x) = -x³ + 3x² + 9x - 5
Aufgabe 4: Tangentengleichung (schwer)
Gegeben: f(x) = x³ - 2x² + 1
⚠️ Häufige Fehler
[(3x + 1)⁴]' = 4(3x + 1)³
[(3x + 1)⁴]' = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³
Die Kettenregel wurde vergessen! Bei verketteten Funktionen muss die innere Ableitung (hier: 3) multipliziert werden.
[x² · x³]' = 2x · 3x²
[x² · x³]' = [x⁵]' = 5x⁴ ODER Produktregel: 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴
Bei Potenzen der gleichen Basis: Erst vereinfachen (x² · x³ = x⁵), dann ableiten!
[(x+2)/(x-3)]' = 1/1 = 1
[(x+2)/(x-3)]' = [1·(x-3) - (x+2)·1]/(x-3)² = -5/(x-3)²
Bei Quotienten IMMER die Quotientenregel anwenden, nicht 'vereinfachen' zu 1!
f'(x₀) = 0 → x₀ ist ein Extremum
f'(x₀) = 0 ist nur notwendig, nicht hinreichend. Prüfe f''(x₀) oder VZW!
f'(x₀) = 0 bedeutet nur: 'hier KÖNNTE ein Extremum sein'. Beispiel: f(x) = x³ bei x=0 hat f'(0)=0, aber keinen Extremwert!
[e^(2x)]' = e^(2x)
[e^(2x)]' = e^(2x) · 2 = 2e^(2x)
Auch bei der e-Funktion gilt die Kettenregel, wenn der Exponent nicht einfach x ist!
[sin(3x)]' = cos(3x)
[sin(3x)]' = cos(3x) · 3 = 3cos(3x)
Kettenregel vergessen! Die innere Funktion 3x hat die Ableitung 3.
📚 Zusammenfassung
🎯 Definition
Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten – die momentane Änderungsrate und Steigung der Tangente.
⚙️ Grundregeln
🔧 Wichtige Regeln
💡 Bedeutung
📐 Spezielle Funktionen
🎯 Anwendungen
⭐ Wichtigste Tipps fürs Abitur
- ✓Kettenregel ist König! Die meisten Fehler entstehen, weil sie vergessen wird. Prüfe immer: Steckt eine Funktion in einer anderen?
- ✓Vereinfache vor dem Ableiten: x² · x³ = x⁵ ist einfacher abzuleiten als mit Produktregel.
- ✓f'(x₀) = 0 reicht nicht! Prüfe immer die hinreichende Bedingung (f''(x₀) oder Vorzeichenwechsel).
- ✓Ordnung ist wichtig: Schreibe Ableitungen sauber untereinander. Das vermeidet Vorzeichenfehler.
- ✓Übe Standardableitungen: ex, ln(x), sin(x), cos(x) solltest du im Schlaf können!