Ableitungen – Analysis

Was ist eine Ableitung?

Die Ableitung einer Funktion f(x) an einer Stelle x₀ beschreibt die momentane Änderungsrate – also wie stark sich der Funktionswert ändert, wenn man x um einen infinitesimal kleinen Schritt verändert.

Geometrische Interpretation

Die Ableitung f'(x₀) ist die Steigung der Tangente an den Graphen von f im Punkt (x₀, f(x₀)).

Steigung der Tangente = Ableitung

m = f'(x₀)

Definition über den Grenzwert

Die Ableitung wird als Grenzwert des Differenzenquotienten definiert:

Differenzenquotient:

m = \frac{[f(x_{0}+h) - f(x_{0})]}{h}

Ableitung (Grenzwert für h → 0):

f'(x_{0}) = \lim_{h\to 0} \frac{[f(x_{0}+h) - f(x_{0})]}{h}

Diese Definition ist die Grundlage für alle Ableitungsregeln und sollte konzeptionell verstanden werden.

Schreibweisen

f'(x) – Lagrange-Notation
df/dx – Leibniz-Notation
ḟ(x) oder ẋ – Newton-Notation (Physik)

Höhere Ableitungen

f'(x) – erste Ableitung
f''(x) – zweite Ableitung
f'''(x) – dritte Ableitung
f⁽ⁿ⁾(x) – n-te Ableitung

Von der Sekante zur Tangente

Die Herleitung der Ableitung beginnt mit einer einfachen Frage: Wie können wir die Steigung einer Kurve an einem bestimmten Punkt messen, wenn eine Kurve keine gerade Linie ist?

Die Antwort: Wir nähern uns der Tangente über Sekanten – Geraden, die durch zwei Punkte auf der Kurve gehen. Je näher diese Punkte beieinander liegen, desto besser approximiert die Sekante die Tangente.

Das Grundprinzip

1Wähle einen Punkt x₀ auf der Funktion
2Wähle einen zweiten Punkt x₀ + h mit kleinem Abstand h
3Berechne die Steigung der Sekante durch diese beiden Punkte
4Lasse h gegen 0 gehen → Die Sekante wird zur Tangente!

Der Differenzenquotient

Die Steigung der Sekante zwischen den Punkten(x₀, f(x₀)) und(x₀+h, f(x₀+h)) wird durch den Differenzenquotienten berechnet:

Differenzenquotient

m = \frac{[f(x_{0}+h) - f(x_{0})]}{h}

Zähler:

Änderung in y-Richtung (Δy)

Nenner:

Änderung in x-Richtung (Δx = h)

Wichtig zu verstehen:

Der Differenzenquotient gibt die durchschnittliche Änderungsrate zwischen zwei Punkten an. Er ist noch KEINE Ableitung – dazu muss h gegen 0 gehen.

Der Grenzübergang h → 0

Um von der mittleren Änderungsrate (Sekante) zur momentanen Änderungsrate (Tangente) zu gelangen, lassen wirh gegen 0 gehen:

Ableitung als Grenzwert

f'(x_{0}) = \lim_{h\to 0} \frac{[f(x_{0}+h) - f(x_{0})]}{h}

Sprich: „Die Ableitung von f an der Stelle x₀ ist der Grenzwert des Differenzenquotienten für h gegen 0."

h groß

Sekante weicht stark von der Tangente ab

h klein

Sekante kommt der Tangente näher

h → 0

Sekante wird zur Tangente!

Beispiel: Ableitung von f(x) = x²

Wir leiten f(x) = x² mit der h-Methode (Differenzenquotient) ab:

Differenzenquotient aufstellen:

m = [f(x+h) - f(x)] / h = [(x+h)² - x²] / h

Zähler ausmultiplizieren:

(x+h)² = x² + 2xh + h²

→ [(x² + 2xh + h²) - x²] / h

→ [2xh + h²] / h

h ausklammern und kürzen:

= h(2x + h) / h

= 2x + h

Grenzwert für h → 0:

f'(x) = lim_h→0 (2x + h) = 2x

Ergebnis:

f(x) = x² → f'(x) = 2x

Visualisierung: f(x) = x² und f'(x) = 2x

f(x) = x²

Graph lädt...

f'(x) = 2x (Steigung)

Graph lädt...

Die Ableitung (rechts) gibt die Steigung der Parabel (links) an jedem Punkt an.

Beispiel: Ableitung von f(x) = x³

Ein weiteres Beispiel zur Übung: f(x) = x³

Schritt für Schritt:

m = [(x+h)³ - x³] / h

= [x³ + 3x²h + 3xh² + h³ - x³] / h

= [3x²h + 3xh² + h³] / h

= h(3x² + 3xh + h²) / h

= 3x² + 3xh + h²

f'(x) = lim_h→0 (3x² + 3xh + h²) = 3x²

Ergebnis:

f(x) = x³ → f'(x) = 3x²

Visualisierung: f(x) = x³ und f'(x) = 3x²

f(x) = x³

Graph lädt...

f'(x) = 3x² (Steigung)

Graph lädt...

Beachte: Die Ableitung einer kubischen Funktion ist eine quadratische Funktion (Parabel).

Muster erkennen

Aus den Beispielen können wir ein wichtiges Muster erkennen:

f(x) = x²

f'(x) = 2x

f(x) = x³

f'(x) = 3x²

f(x) = x⁴

f'(x) = 4x³

Die Potenzregel (Vorschau)

Diese Beispiele führen uns zur wichtigsten Ableitungsregel – der Potenzregel:

f(x) = xⁿ → f'(x) = n · x^n-1

Diese Regel werden wir im nächsten Tab genauer betrachten!

Übungsaufgaben

Aufgabe · Mittel

Aufgabe 1: Ableitungsregeln anwenden (leicht)

Berechne die Ableitungen folgender Funktionen:

a) f(x) = 5x⁴ - 3x² + 7x - 2

b) g(x) = (2x + 1) · (x² - 3)

c) h(x) = (x³ + 1) / (x - 2)

Lösung anzeigen

a) f(x) = 5x⁴ - 3x² + 7x - 2

Potenzregel + Summenregel anwenden:

f'(x) = 20x³ - 6x + 7

b) g(x) = (2x + 1) · (x² - 3)

Produktregel: [u · v]' = u' · v + u · v'

u = 2x + 1, u' = 2

v = x² - 3, v' = 2x

g'(x) = 2 · (x² - 3) + (2x + 1) · 2x

= 2x² - 6 + 4x² + 2x

g'(x) = 6x² + 2x - 6

c) h(x) = (x³ + 1) / (x - 2)

Quotientenregel: [u/v]' = (u' · v - u · v') / v²

u = x³ + 1, u' = 3x²

v = x - 2, v' = 1

h'(x) = [3x² · (x - 2) - (x³ + 1) · 1] / (x - 2)²

= [3x³ - 6x² - x³ - 1] / (x - 2)²

h'(x) = (2x³ - 6x² - 1) / (x - 2)²

Aufgabe · Mittel

Aufgabe 2: Kettenregel (mittel)

Leite folgende Funktionen ab (Kettenregel!):

a) f(x) = (3x² - 2x + 1)⁵

b) g(x) = e^(x²-3x)

c) h(x) = √(2x + 5)

Lösung anzeigen

a) f(x) = (3x² - 2x + 1)⁵

Äußere Funktion: u⁵, Ableitung: 5u⁴

Innere Funktion: u = 3x² - 2x + 1, Ableitung: 6x - 2

f'(x) = 5(3x² - 2x + 1)⁴ · (6x - 2)

b) g(x) = e^(x²-3x)

Äußere Funktion: e^u, Ableitung: e^u

Innere Funktion: u = x² - 3x, Ableitung: 2x - 3

g'(x) = e^(x²-3x) · (2x - 3)

c) h(x) = √(2x + 5) = (2x + 5)^(1/2)

Äußere Funktion: u^(1/2), Ableitung: (1/2)u^(-1/2)

Innere Funktion: u = 2x + 5, Ableitung: 2

h'(x) = (1/2)(2x + 5)^(-1/2) · 2

h'(x) = 1 / √(2x + 5)

Aufgabe · Mittel

Aufgabe 3: Extremwerte bestimmen (mittel)

Gegeben: f(x) = -x³ + 3x² + 9x - 5

a) Bestimme alle lokalen Extrempunkte.

b) Entscheide, ob es sich um Hoch- oder Tiefpunkte handelt.

c) Gib die Monotonie-Intervalle an.

Lösung anzeigen

a) Extrempunkte bestimmen

f(x) = -x³ + 3x² + 9x - 5

f'(x) = -3x² + 6x + 9

f''(x) = -6x + 6

Notwendige Bedingung: f'(x) = 0

-3x² + 6x + 9 = 0

-3(x² - 2x - 3) = 0

-3(x - 3)(x + 1) = 0

x₁ = -1, x₂ = 3

b) Art der Extrempunkte

x₁ = -1:

f''(-1) = -6(-1) + 6 = 12 > 0 → Tiefpunkt

f(-1) = -(-1)³ + 3(-1)² + 9(-1) - 5 = 1 + 3 - 9 - 5 = -10

T(-1, -10)

x₂ = 3:

f''(3) = -6(3) + 6 = -12 < 0 → Hochpunkt

f(3) = -(3)³ + 3(3)² + 9(3) - 5 = -27 + 27 + 27 - 5 = 22

H(3, 22)

c) Monotonie-Intervalle

Nullstellen von f'(x): x = -1 und x = 3

(-∞, -1): f'(x) < 0 → streng monoton fallend ↘

(-1, 3): f'(x) > 0 → streng monoton steigend ↗

(3, ∞): f'(x) < 0 → streng monoton fallend ↘

Aufgabe · Mittel

Aufgabe 4: Tangentengleichung (schwer)

Gegeben: f(x) = x³ - 2x² + 1

a) Bestimme die Tangentengleichung im Punkt P(1, 0).

b) An welcher weiteren Stelle hat der Graph die gleiche Steigung wie bei x = 1?

c) Bestimme alle Punkte, in denen die Tangente waagerecht ist.

Lösung anzeigen

a) Tangentengleichung bei P(1, 0)

f(x) = x³ - 2x² + 1

f'(x) = 3x² - 4x

f'(1) = 3(1)² - 4(1) = 3 - 4 = -1

Tangentengleichung: t(x) = f'(x₀) · (x - x₀) + f(x₀)

t(x) = -1 · (x - 1) + 0

t(x) = -x + 1

b) Weitere Stelle mit gleicher Steigung

Gesucht: x mit f'(x) = -1

3x² - 4x = -1

3x² - 4x + 1 = 0

Mit pq-Formel oder ausrechnen:

(3x - 1)(x - 1) = 0

x₁ = 1 (bekannt), x₂ = 1/3

Bei x = 1/3 hat der Graph ebenfalls Steigung -1

c) Waagerechte Tangenten

Waagerechte Tangente → Steigung = 0 → f'(x) = 0

3x² - 4x = 0

x(3x - 4) = 0

x₁ = 0, x₂ = 4/3

Zugehörige Punkte:

P₁(0, 1) mit f(0) = 1

P₂(4/3, f(4/3)) = P₂(4/3, -5/27)

Waagerechte Tangenten bei P₁(0, 1) und P₂(4/3, -5/27)

Häufige Fehler

Typischer Fehler

Falsch[(3x + 1)⁴]' = 4(3x + 1)³

Richtig[(3x + 1)⁴]' = 4(3x + 1)³ · 3 = 12(3x + 1)³

Die Kettenregel wurde vergessen! Bei verketteten Funktionen muss die innere Ableitung (hier: 3) multipliziert werden.

Tipp: Frage dich immer: 'Steckt eine Funktion in einer anderen?' → Kettenregel!

Typischer Fehler

Falsch[x² · x³]' = 2x · 3x²

Richtig[x² · x³]' = [x⁵]' = 5x⁴ ODER Produktregel: 2x · x³ + x² · 3x² = 5x⁴

Bei Potenzen der gleichen Basis: Erst vereinfachen (x² · x³ = x⁵), dann ableiten!

Tipp: Produktregel ist korrekt, aber nicht der einfachste Weg. Vereinfache zuerst!

Typischer Fehler

Falsch[(x+2)/(x-3)]' = 1/1 = 1

Richtig[(x+2)/(x-3)]' = [1·(x-3) - (x+2)·1]/(x-3)² = -5/(x-3)²

Bei Quotienten IMMER die Quotientenregel anwenden, nicht 'vereinfachen' zu 1!

Tipp: Quotientenregel: (u'v - uv')/v² – lerne die Merkregel 'NAZ minus ZAN durch Nenner hoch 2'!

Typischer Fehler

Falschf'(x₀) = 0 → x₀ ist ein Extremum

Richtigf'(x₀) = 0 ist nur notwendig, nicht hinreichend. Prüfe f''(x₀) oder VZW!

f'(x₀) = 0 bedeutet nur: 'hier KÖNNTE ein Extremum sein'. Beispiel: f(x) = x³ bei x=0 hat f'(0)=0, aber keinen Extremwert!

Tipp: Immer die hinreichende Bedingung prüfen: f''(x₀) ≠ 0 oder Vorzeichenwechsel von f'!

Typischer Fehler

Falsch[e^(2x)]' = e^(2x)

Richtig[e^(2x)]' = e^(2x) · 2 = 2e^(2x)

Auch bei der e-Funktion gilt die Kettenregel, wenn der Exponent nicht einfach x ist!

Tipp: e^x ist die einzige Funktion mit f'(x) = f(x). Bei e^(irgendwas) brauchst du die Kettenregel!

Typischer Fehler

Falsch[sin(3x)]' = cos(3x)

Richtig[sin(3x)]' = cos(3x) · 3 = 3cos(3x)

Kettenregel vergessen! Die innere Funktion 3x hat die Ableitung 3.

Tipp: Bei trigonometrischen Funktionen mit Faktor/Term im Argument: Kettenregel!

Zusammenfassung

Definition

f'(x) = lim_h→0 [f(x+h) - f(x)] / h

Die Ableitung ist der Grenzwert des Differenzenquotienten – die momentane Änderungsrate und Steigung der Tangente.

Grundregeln

Potenzregel: [xⁿ]' = n·x^n-1

Faktorregel: [c·f]' = c·f'

Summenregel: [f+g]' = f'+g'

Wichtige Regeln

Produktregel: [u·v]' = u'·v + u·v'

Quotientenregel: [u/v]' = (u'v - uv')/v²

Kettenregel: [f(g(x))]' = f'(g(x))·g'(x)

Bedeutung

Geometrisch: Steigung der Tangente

Physikalisch: Änderungsrate

↗↘ Monotonie: f' > 0 steigend, f' < 0 fallend

Extrema: f' = 0 (notwendig)

Spezielle Funktionen

[e^x]' = e^x

[ln(x)]' = 1/x

[sin(x)]' = cos(x)

[cos(x)]' = -sin(x)

Anwendungen

Tangenten-/Normalengleichung

Extremwerte (f' = 0, f'' ≠ 0)

Wendepunkte (f'' = 0, f''' ≠ 0)

Kurvendiskussion

Wichtigste Tipps fürs Abitur

✓Kettenregel ist König! Die meisten Fehler entstehen, weil sie vergessen wird. Prüfe immer: Steckt eine Funktion in einer anderen?
✓Vereinfache vor dem Ableiten: x² · x³ = x⁵ ist einfacher abzuleiten als mit Produktregel.
✓f'(x₀) = 0 reicht nicht! Prüfe immer die hinreichende Bedingung (f''(x₀) oder Vorzeichenwechsel).
✓Ordnung ist wichtig: Schreibe Ableitungen sauber untereinander. Das vermeidet Vorzeichenfehler.
✓Übe Standardableitungen: e^x, ln(x), sin(x), cos(x) solltest du im Schlaf können!

Ein Beispiel

Bestimme die Steigung von f(x) = x² bei x = 1.

Bilde den Differenzenquotienten: ((1 + h)² − 1)/h. Er vergleicht zwei Funktionswerte.
Multipliziere die Klammer aus und kürze für h ≠ 0: $\frac{(2h + h^{2})}{h}$ = 2 + h.
Für h → 0 nähert sich 2 + h der Zahl 2. Also ist f′(1) = 2. Allgemein ergibt sich f′(x) = 2x.

Darauf kommt es an

f(1) = 1 ist die Höhe, f′(1) = 2 die Steigung. Beide Zahlen beschreiben unterschiedliche Eigenschaften desselben Punktes.

Aufgabe

Welche Steigung hat f(x) = x² bei x = 3?

Lösung und Rechenweg anzeigen

Leite ab: f′(x) = 2x. Einsetzen von x = 3 ergibt f′(3) = 6. Der Berührpunkt liegt bei (3, 9).