Analysis
Ableitungen, Integrale, Kurvendiskussion – die Werkzeuge zur Untersuchung von Funktionen und ihren Eigenschaften.
1. Funktionen und ihre Eigenschaften
Funktionstypen, Definitionsbereich, Wertebereich, Symmetrien und grundlegende Eigenschaften
Grundlegende Funktionstypen
Ganzrationale, Exponential-, Logarithmus-, trigonometrische, Wurzel- und gebrochen-rationale Funktionen.
Wichtige Eigenschaften von Funktionen
Definitions- und Wertemengen, Nullstellen, Symmetrie, Grenzverhalten und Asymptoten verstehen und bestimmen.
Funktionsmodifikation
Wirkung von Parametern: Verschiebungen, Streckungen und Spiegelungen verstehen und anwenden.
Zusammengesetzte Funktionen und Umkehrfunktionen
Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten, Verkettungen und das Finden der Umkehrfunktion.
2. Differentialrechnung und Kurvendiskussion
Ableitungen, Tangenten, Extremwerte, Wendepunkte und vollständige Funktionsanalyse
Ableitungen
Herleitung der Ableitungsfunktion, Ableitungsregeln und die Bedeutung der Ableitung als Änderungsrate.
Ableitungsregeln
Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel sicher anwenden.
Tangente und Normale
Tangentengleichung aufstellen, Normale berechnen, geometrische Bedeutung.
Monotonie untersuchen
Wo steigt/fällt die Funktion? Vorzeichentabelle der ersten Ableitung.
Extremwerte bestimmen
Hochpunkte und Tiefpunkte mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung finden.
Krümmung und Wendepunkte
Links-/Rechtskrümmung, Wendepunkte mit Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.
3. Integralrechnung
Stammfunktionen, bestimmte Integrale, Flächenberechnung und Rotationskörper
Was ist ein Integral?
Anschauliche Einführung: Integral als orientierter Flächeninhalt unter dem Graphen.
Stammfunktionen bilden
Umkehrung der Ableitung, Integrationsregeln für elementare Funktionen.
Bestimmte Integrale
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Grenzen einsetzen.
Flächen zwischen Kurven
Schnittpunkte bestimmen, obere minus untere Funktion integrieren.
Mittelwert einer Funktion
Integralmittelwert: durchschnittliche Funktionshöhe über ein Intervall.
Rotationskörper
Volumen von Körpern berechnen, die durch Rotation um die x-Achse entstehen.
Uneigentliche Integrale
Integration über unbeschränkte Intervalle oder mit Polstellen.
4. Sonstiges
Anwendungen, Modellierung, Optimierung und weitere wichtige Themen
Optimierungsprobleme
Extremwerte in Anwendungskontexten: Kosten minimieren, Gewinn maximieren.
Wachstumsprozesse
Exponentielles, lineares, logistisches Wachstum modellieren und analysieren.
Rekonstruktion von Funktionen
Aus gegebenen Eigenschaften (Nullstellen, Extrema) die Funktion bestimmen.
Newton-Verfahren
Numerische Nullstellenbestimmung durch iterative Tangentenmethode.
Funktionen mit Parametern
Funktionsscharen untersuchen, Ortskurven von Extrempunkten.