Ableitungsregeln
Die Werkzeuge zum effizienten Ableiten
Die Ableitungsregeln sind dein Werkzeugkasten für die Differentialrechnung. Anstatt jede Ableitung mühsam mit dem Grenzwert herzuleiten, nutzt du diese Regeln, um Ableitungen schnell und sicher zu berechnen. In diesem Kapitel lernst du, welche Regel wann anzuwenden ist und wie du auch komplexe Funktionen Schritt für Schritt ableitest.
Die 6 Hauptregeln
Potenz-, Faktor-, Summen-, Produkt-, Quotienten- und Kettenregel – dein Basis-Repertoire.
Richtige Regel wählen
Lerne, auf einen Blick zu erkennen, welche Regel du bei welcher Funktionsart brauchst.
Schritt für Schritt
Von einfach bis komplex: Übe an vielen Beispielen und werde sicher im Ableiten.
Alle Ableitungsregeln auf einen Blick
Potenzregel
Beispiel: (x³)' = 3x²
Faktorregel
Beispiel: (5x³)' = 5 · 3x² = 15x²
Summenregel
Beispiel: (x² + 3x)' = 2x + 3
Produktregel
Beispiel: (x² · sin(x))' = 2x·sin(x) + x²·cos(x)
Quotientenregel
Merke: NAZ - ZAN, alles durch Nenner²
Kettenregel
Die wichtigste Regel! Äußere · Innere Ableitung
Entscheidungshilfe: Welche Regel brauche ich?
Einfache Potenz? → Potenzregel
Summe/Differenz? → Summenregel
Zwei Faktoren? → Produktregel
Bruch? → Quotientenregel
Verschachtelt? → Kettenregel
Konstanter Faktor? → Faktorregel
Die drei Grundregeln
Mit Potenz-, Faktor- und Summenregel kannst du bereits die meisten Polynome ableiten. Diese drei Regeln sind die Basis und sollten sitzen!
Potenzregel
Formel:
Der Exponent wird zum Faktor, dann wird der Exponent um 1 kleiner.
Beispiele:
f(x) = x³
f'(x) = 3 · x3-1 = 3x²
Exponent 3 wird Faktor, dann x²
f(x) = x⁵
f'(x) = 5x⁴
f(x) = x
f'(x) = 1 · x⁰ = 1
Wichtig: (x)' = 1, nicht 0!
f(x) = 1 = x⁰
f'(x) = 0 · x⁻¹ = 0
Konstanten fallen weg
Besondere Fälle:
Negative Exponenten:
f(x) = x⁻² = 1/x²
f'(x) = -2x⁻³ = -2/x³
Brüche als Exponenten:
f(x) = x^(1/2) = √x
f'(x) = (1/2)x^(-1/2) = 1/(2√x)
Wurzeln umschreiben:
f(x) = ³√x = x^(1/3)
f'(x) = (1/3)x^(-2/3)
Tipp:
Schreibe Brüche und Wurzeln immer als Potenzen um, dann kannst du die Potenzregel anwenden!
Faktorregel
Formel:
Konstante Faktoren bleiben stehen – nur die Funktion wird abgeleitet.
f(x) = 5x³
f'(x) = 5 · (x³)' = 5 · 3x² = 15x²
Die 5 bleibt!
f(x) = -2x⁷
f'(x) = -2 · 7x⁶ = -14x⁶
f(x) = (3/4)x²
f'(x) = (3/4) · 2x = (3/2)x
Summenregel
Formel:
Summanden und Differenzen werden einzeln abgeleitet.
Beispiel 1: Polynom ableiten
f(x) = x³ + 2x² - 5x + 7
f'(x) = (x³)' + (2x²)' - (5x)' + (7)'
f'(x) = 3x² + 4x - 5 + 0 = 3x² + 4x - 5
Jeder Term wird einzeln abgeleitet. Die Konstante 7 fällt weg.
Beispiel 2: Mit Brüchen
f(x) = (1/2)x⁴ - (3/4)x² + 2x
f'(x) = (1/2)·4x³ - (3/4)·2x + 2·1
f'(x) = 2x³ - (3/2)x + 2
Kombination aller drei Regeln:
f(x) = 3x⁵ - 2x³ + 7x - 4
f'(x) = 3·5x⁴ - 2·3x² + 7·1 - 0 = 15x⁴ - 6x² + 7
Übungsaufgaben
Teste dein Können! Versuche, die Aufgaben selbst zu lösen, bevor du die Lösung aufklappst.
Aufgabe · Leicht
Leite die folgenden Funktionen ab:
a) f(x) = 4x⁵ - 3x² + 7x - 2
b) f(x) = (2/3)x³ + √x
c) f(x) = 1/x² + 5/x
Lösung anzeigen
a) f(x) = 4x⁵ - 3x² + 7x - 2
Summenregel + Potenzregel + Faktorregel:
f'(x) = 20x⁴ - 6x + 7
b) f(x) = (2/3)x³ + √x
Wurzel als x^(1/2) schreiben:
= (2/3)x³ + x^(1/2)
f'(x) = 2x² + (1/2)x^(-1/2) = 2x² + 1/(2√x)
c) f(x) = 1/x² + 5/x
Als Potenzen: x⁻² + 5x⁻¹
f'(x) = -2x⁻³ - 5x⁻² = -2/x³ - 5/x²
Aufgabe · Mittel
Wende die Produktregel an:
a) f(x) = (x² + 1) · (3x - 2)
b) f(x) = x³ · e^x
c) f(x) = sin(x) · cos(x)
Lösung anzeigen
a) f(x) = (x²+1) · (3x-2)
u = x²+1, u' = 2x
v = 3x-2, v' = 3
f'(x) = 2x·(3x-2) + (x²+1)·3
= 6x² - 4x + 3x² + 3
= 9x² - 4x + 3
b) f(x) = x³ · e^x
u = x³, u' = 3x²
v = e^x, v' = e^x
f'(x) = 3x²·e^x + x³·e^x
= e^x·(3x² + x³) = e^x·x²(3 + x)
c) f(x) = sin(x) · cos(x)
u = sin(x), u' = cos(x)
v = cos(x), v' = -sin(x)
f'(x) = cos(x)·cos(x) + sin(x)·(-sin(x))
= cos²(x) - sin²(x)
Aufgabe · Mittel
Wende die Kettenregel an:
a) f(x) = (5x - 3)⁷
b) f(x) = e^(x²+2x)
c) f(x) = ln(3x² - 1)
d) f(x) = sin(4x + π/2)
Lösung anzeigen
a) f(x) = (5x-3)⁷
Äußere: u⁷ → 7u⁶, Innere: 5x-3 → 5
f'(x) = 7(5x-3)⁶ · 5 = 35(5x-3)⁶
b) f(x) = e^(x²+2x)
Äußere: e^u → e^u, Innere: x²+2x → 2x+2
f'(x) = e^(x²+2x) · (2x+2) = 2(x+1)·e^(x²+2x)
c) f(x) = ln(3x²-1)
Äußere: ln(u) → 1/u, Innere: 3x²-1 → 6x
f'(x) = 6x / (3x²-1)
d) f(x) = sin(4x + π/2)
Äußere: sin(u) → cos(u), Innere: 4x+π/2 → 4
f'(x) = 4·cos(4x + π/2)
Aufgabe · Schwer
Quotientenregel anwenden:
a) f(x) = (x² + 3) / (2x - 1)
b) f(x) = e^x / x²
c) f(x) = (x+1) / √x
Lösung anzeigen
a) f(x) = (x²+3) / (2x-1)
u = x²+3, u' = 2x
v = 2x-1, v' = 2
f'(x) = [2x·(2x-1) - (x²+3)·2] / (2x-1)²
= [4x²-2x - 2x²-6] / (2x-1)²
= (2x²-2x-6) / (2x-1)²
b) f(x) = e^x / x²
u = e^x, u' = e^x
v = x², v' = 2x
f'(x) = [e^x·x² - e^x·2x] / x⁴
= e^x·(x-2) / x³
c) f(x) = (x+1) / √x
u = x+1, u' = 1
v = x^(1/2), v' = (1/2)x^(-1/2)
f'(x) = [1·x^(1/2) - (x+1)·(1/2)x^(-1/2)] / x
= [√x - (x+1)/(2√x)] / x
= (x-1) / (2x√x)
Aufgabe · Schwer
Komplexe Funktionen (mehrere Regeln):
a) f(x) = x² · √(x+1)
b) f(x) = e^(2x) · sin(x)
c) f(x) = ln(x²+1) / x
Lösung anzeigen
a) f(x) = x² · √(x+1) = x² · (x+1)^(1/2)
Produktregel + Kettenregel:
u = x², u' = 2x
v = (x+1)^(1/2), v' = (1/2)(x+1)^(-1/2)·1
f'(x) = 2x·√(x+1) + x²·[1/(2√(x+1))]
= [4x(x+1) + x²] / (2√(x+1)) = (5x²+4x) / (2√(x+1))
b) f(x) = e^(2x) · sin(x)
Produktregel, e^(2x) braucht Kettenregel:
u = e^(2x), u' = 2e^(2x)
v = sin(x), v' = cos(x)
f'(x) = 2e^(2x)·sin(x) + e^(2x)·cos(x)
= e^(2x)·[2sin(x) + cos(x)]
c) f(x) = ln(x²+1) / x
Quotientenregel, ln braucht Kettenregel:
u = ln(x²+1), u' = 2x/(x²+1)
v = x, v' = 1
f'(x) = [2x/(x²+1)·x - ln(x²+1)·1] / x²
= [2x²/(x²+1) - ln(x²+1)] / x²
Häufige Fehler vermeiden
Typischer Fehler
Falsch(3x²)' = 3·2 = 6
Richtig(3x²)' = 3·2x = 6x
Der Faktor 3 bleibt stehen, nur x² wird abgeleitet!
Tipp: Faktorregel: Konstante Faktoren bleiben!
Typischer Fehler
Falsch((2x+1)⁵)' = 5(2x+1)⁴
Richtig((2x+1)⁵)' = 5(2x+1)⁴ · 2
Die innere Ableitung (2) wurde vergessen!
Tipp: Kettenregel: IMMER die innere Ableitung dazumultiplizieren!
Typischer Fehler
Falsch(x² · x³)' = 2x · 3x²
Richtig(x² · x³)' = (x⁵)' = 5x⁴
Erst vereinfachen (x²·x³ = x⁵), dann ableiten!
Tipp: Potenzen mit gleicher Basis erst zusammenfassen!
Typischer Fehler
Falsch(u/v)' = u'/v'
Richtig(u/v)' = (u'v - uv')/v²
Quotientenregel ist NICHT einfach Zähler durch Nenner ableiten!
Tipp: NAZ - ZAN, alles durch Nenner²!
Typischer Fehler
Falsch(e^(2x))' = e^(2x)
Richtig(e^(2x))' = 2·e^(2x)
e^x bleibt nur bei REINEM x gleich! Bei e^(g(x)) Kettenregel!
Tipp: Kettenregel bei e^(irgendwas außer x)!
Typischer Fehler
Falsch(sin(3x))' = cos(3x)
Richtig(sin(3x))' = 3·cos(3x)
Innere Ableitung von 3x ist 3!
Tipp: sin(ax) → a·cos(ax), immer Kettenregel!
Zusammenfassung & Abitur-Tipps
Die Grundregeln
- • Potenzregel: x^n → n·x^(n-1)
- • Faktorregel: c·f → c·f'
- • Summenregel: (f±g)' → f'±g'
Die Kombinationsregeln
- • Produktregel: u'v + uv'
- • Quotientenregel: (u'v - uv')/v²
- • Kettenregel: Äußere' · Innere'
Die Wichtigsten
- • (e^x)' = e^x
- • (ln x)' = 1/x
- • (sin x)' = cos x
- • (cos x)' = -sin x
Die 5 wichtigsten Tipps fürs Abitur
Kettenregel ist König! Sie wird bei ~80% aller Ableitungen gebraucht. Innere Ableitung NIE vergessen!
Vereinfache VORHER! Potenzen zusammenfassen, Brüche kürzen – oft sparst du dir komplizierte Regeln.
NAZ-ZAN merken! Bei Quotientenregel ist die Reihenfolge wichtig. Nenner·Ableitung Zähler MINUS Zähler·Ableitung Nenner.
Spezielle Funktionen auswendig! e^x, ln(x), sin(x), cos(x) – diese Ableitungen müssen sitzen, auch mit Kettenregel.
Üben, üben, üben! Ableitungsregeln lernt man nur durch Anwendung. Mache JEDEN Tag ein paar Ableitungen, bis es automatisch läuft.
Ein Beispiel
Leite f(x) = (3x + 1)² ab.
- Die äußere Funktion ist das Quadrieren. Ihre Ableitung ist zweimal das unveränderte innere Argument: 2(3x + 1).
- Die innere Funktion lautet 3x + 1. Ihre Ableitung ist 3.
- Multipliziere nach der Kettenregel: f′(x) = 2(3x + 1) · 3 = 18x + 6.
Darauf kommt es an
Bei der Kettenregel wird die innere Ableitung multipliziert. Bei der Produktregel gilt nicht (uv)′ = u′v′.
Aufgabe
Leite f(x) = x² · eˣ ab.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Produktregel: f′(x) = 2x · eˣ + x² · eˣ = eˣ(x² + 2x).