Hauptsatz anwenden
Mit Stammfunktion und Grenzen konkrete Zahlenwerte berechnen – keine Variable bleibt übrig!
Grenzen einsetzen
Obere Grenze minus untere Grenze: F(b) − F(a) liefert den exakten Flächeninhalt.
Kein C mehr nötig
Bei bestimmten Integralen fällt die Konstante C beim Subtrahieren weg – ein Zahlenwert bleibt!
Was ist ein bestimmtes Integral?
Definition: Bestimmtes Integral
Ein bestimmtes Integral ist ein Integral mit festen Integrationsgrenzen a und b. Es berechnet den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse im Intervall [a, b].
a = untere Integrationsgrenze (Startpunkt)
b = obere Integrationsgrenze (Endpunkt)
f(x) = zu integrierende Funktion
Ergebnis: Eine konkrete Zahl (kein C mehr!)
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann gilt:
Bedeutung: Setze die obere Grenze b in die Stammfunktion ein, dann die untere Grenze a, und bilde die Differenz.
Die Integrationskonstante C spielt keine Rolle mehr und wird nicht aufgeschrieben!
✓ Unbestimmtes Integral
Keine Grenzen → Stammfunktion
Ergebnis: Funktion mit C
Bestimmtes Integral
Mit Grenzen → Zahlenwert
Ergebnis: Konkrete Zahl
Schreibweise mit Grenzen
Für die Auswertung der Stammfunktion an den Grenzen gibt es eine spezielle Schreibweise:
Auswertungsschreibweise
Die eckige Klammer mit den Grenzen zeigt: "Setze zuerst b ein, dann a, und subtrahiere."
Beispiel zur Schreibweise
Aufgabe:
Stammfunktion bilden:
F(x) = x³/3
Grenzen einsetzen:
= 27/3 − 1/3
= 9 − 1/3
= 26/3
Schritt-für-Schritt: Bestimmtes Integral berechnen
Mit diesen 4 Schritten berechnest du jedes bestimmte Integral:
Stammfunktion bilden
Bilde zunächst eine Stammfunktion F(x) von f(x). Die Integrationskonstante C kannst du weglassen (sie fällt später sowieso weg).
Obere Grenze einsetzen
Setze die obere Integrationsgrenze b in die Stammfunktion ein: F(b).
Untere Grenze einsetzen
Setze die untere Integrationsgrenze a in die Stammfunktion ein: F(a).
Differenz bilden
Berechne F(b) − F(a). Das Ergebnis ist der Wert des bestimmten Integrals.
Merkhilfe
Eselsbrücke: "Oben minus unten" – Obere Grenze in F einsetzen, dann untere Grenze in F einsetzen, subtrahieren.
Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale
Vertauschte Grenzen
Wenn du die Grenzen vertauschst, ändert sich das Vorzeichen des Integrals.
Gleiche Grenzen
Wenn untere und obere Grenze gleich sind, ist das Integral null (keine Fläche).
Intervalladdititivät
∫ₐᶜ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵇᶜ f(x) dx
Du kannst ein Intervall aufteilen: Von a bis c ist dasselbe wie von a bis b plus von b bis c.
Linearität
∫ₐᵇ [c·f(x) + d·g(x)] dx
= c·∫ₐᵇ f(x) dx + d·∫ₐᵇ g(x) dx
Konstante Faktoren und Summen können wie bei Stammfunktionen behandelt werden.
Häufige Fehler vermeiden
Typischer Fehler
Falsch∫₁³ x² dx = [x²]₁³ = 3² − 1² = 8
Richtig∫₁³ x² dx = [x³/3]₁³ = 9 − 1/3 = 26/3
Du musst ZUERST die Stammfunktion bilden (x³/3), DANN die Grenzen einsetzen. Die ursprüngliche Funktion (x²) wird nicht in die Grenzwertberechnung eingesetzt!
Typischer Fehler
Falsch∫₀² 2x dx = [x²]₀² = 2² − 0² = 4
Richtig∫₀² 2x dx = [x²]₀² = 4 − 0 = 4
Hier ist das Ergebnis zufällig richtig, aber der Rechenweg ist falsch! Die Stammfunktion von 2x ist x², nicht 2x². Schreibe: F(x) = x², dann F(2) = 4, F(0) = 0.
Typischer Fehler
Falsch∫₁⁴ x dx = x²/2 + C = 4²/2 + C
Richtig∫₁⁴ x dx = [x²/2]₁⁴ = 8 − 0,5 = 7,5
Bei bestimmten Integralen brauchst du KEIN C! Außerdem musst du BEIDE Grenzen einsetzen und subtrahieren: F(4) − F(1).
Typischer Fehler
Falsch∫₂¹ x dx = [x²/2]₂¹ = 0,5 − 2 = −1,5
Richtig∫₂¹ x dx = [x²/2]₂¹ = 0,5 − 2 = −1,5 oder ∫₁² x dx = 1,5
Das Ergebnis ist rechnerisch richtig! Aber beachte: Vertauschte Grenzen ergeben ein negatives Vorzeichen. Wenn du nach Flächeninhalt gefragt wirst, nimm den Betrag oder tausche die Grenzen.
Typischer Fehler
Falsch∫₁³ (x + 1) dx = [x²/2 + 1]₁³
Richtig∫₁³ (x + 1) dx = [x²/2 + x]₁³ = (9/2 + 3) − (1/2 + 1) = 6
Die Konstante 1 wird zu x (nicht zu 1)! Richtig: ∫ 1 dx = x. Denke daran: 1 = 1·x⁰.
Typischer Fehler
Falsch∫₀¹ e^x dx = [e^x + C]₀¹ = e + C − 1 − C
Richtig∫₀¹ e^x dx = [e^x]₀¹ = e − 1
Bei bestimmten Integralen schreibst du in der Stammfunktion KEIN C! Das C würde sowieso wegfallen: (e + C) − (1 + C) = e − 1.
Übungsaufgaben
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 1: Grundlegende Berechnung
Berechne die folgenden bestimmten Integrale:
a) ∫₀² x³ dx
b) ∫₁⁴ (2x + 3) dx
c) ∫₋₁² x² dx
Hinweis Bilde zuerst die Stammfunktion, dann setze die Grenzen ein: F(obere Grenze) − F(untere Grenze).
Lösung anzeigen
a) ∫₀² x³ dx
F(x) = x⁴/4
[x⁴/4]₀² = 2⁴/4 − 0⁴/4 = 16/4 − 0 = 4
b) ∫₁⁴ (2x + 3) dx
F(x) = x² + 3x
[x² + 3x]₁⁴ = (16 + 12) − (1 + 3) = 28 − 4 = 24
c) ∫₋₁² x² dx
F(x) = x³/3
[x³/3]₋₁² = 2³/3 − (−1)³/3 = 8/3 − (−1/3) = 8/3 + 1/3 = 9/3 = 3
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 2: Negative Flächen
Berechne ∫₀³ (x − 2) dx und interpretiere das Ergebnis geometrisch.
Hinweis Die Funktion f(x) = x − 2 ist für x < 2 negativ. Das Integral gibt den orientierten Flächeninhalt an.
Lösung anzeigen
Berechnung:
F(x) = x²/2 − 2x
[x²/2 − 2x]₀³ = (9/2 − 6) − (0 − 0)
= 9/2 − 6 = 4,5 − 6 = −1,5
Ergebnis: −1,5
Interpretation:
Das negative Ergebnis zeigt: Es gibt mehr Fläche unterhalb der x-Achse (im Intervall [0, 2]) als oberhalb (im Intervall [2, 3]). Die Gesamtflächen heben sich nicht auf, sondern die untere "wiegt schwerer".
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 3: Exponential- und Wurzelfunktion
Berechne:
a) ∫₀¹ e^x dx
b) ∫₁⁴ √x dx (Tipp: √x = x^(1/2))
Hinweis Bei a) ist die Stammfunktion von e^x wieder e^x. Bei b) schreibe die Wurzel als Potenz und verwende die Potenzregel.
Lösung anzeigen
a) ∫₀¹ e^x dx
F(x) = e^x
[e^x]₀¹ = e¹ − e⁰ = e − 1
b) ∫₁⁴ √x dx
√x = x^(1/2), also ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) = (2/3)x^(3/2)
F(x) = (2/3)x√x
[(2/3)x√x]₁⁴ = (2/3)·4√4 − (2/3)·1√1
= (2/3)·8 − (2/3)·1 = 16/3 − 2/3 = 14/3
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 4: Eigenschaften nutzen
Es gilt: ∫₀² f(x) dx = 5 und ∫₂⁴ f(x) dx = 3.
Berechne ohne die Funktion zu kennen:
a) ∫₀⁴ f(x) dx
b) ∫₄² f(x) dx
Hinweis Nutze die Intervalladdititivät: ∫ₐᶜ = ∫ₐᵇ + ∫ᵇᶜ. Bei vertauschten Grenzen ändert sich das Vorzeichen.
Lösung anzeigen
a) ∫₀⁴ f(x) dx
Intervalladdititivät: ∫₀⁴ = ∫₀² + ∫₂⁴
= 5 + 3 = 8
b) ∫₄² f(x) dx
Vertauschte Grenzen: ∫₄² = −∫₂⁴
= −3
Zusammenfassung
Das Wichtigste
- •Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
- •Ergebnis ist eine konkrete Zahl
- •Kein C bei bestimmten Integralen
Vorgehen
- 1.Stammfunktion F(x) bilden
- 2.Obere Grenze b einsetzen: F(b)
- 3.Untere Grenze a einsetzen: F(a)
- 4.Differenz bilden: F(b) − F(a)
Häufige Fehler
- ✗Funktion statt Stammfunktion in Grenzen einsetzen
- ✗C bei bestimmten Integralen schreiben
- ✗Nur eine Grenze einsetzen
Tipps fürs Abitur
1. Schreibweise mit Klammer
Nutze [F(x)]ₐᵇ – das zeigt, dass du den Hauptsatz kennst und anwendest.
2. Rechenwege zeigen
Schreibe F(b) und F(a) separat hin, dann die Differenz – das gibt Teilpunkte!
3. Negative Ergebnisse
Negatives Integral = Fläche unterhalb der x-Achse. Für "Flächeninhalt" nimm den Betrag!
4. Exakte vs. gerundete Werte
Bei e, π oder Wurzeln: Exakte Form angeben, nur auf Nachfrage runden!
5. Eigenschaften kennen
Intervalladdititivät und vertauschte Grenzen können Zeit sparen!
6. Probe möglich
Bei Unsicherheit: Leite F(x) ab und prüfe, ob du f(x) erhältst.
Ein Beispiel
Berechne das Integral von x² zwischen 0 und 2.
- Eine Stammfunktion lautet F(x) = x³/3. Prüfe bei Bedarf durch Ableiten.
- Subtrahiere: F(2) − F(0) = Auf diesem Intervall liegt der Graph oberhalb der x-Achse, daher ist das zugleich der Flächeninhalt.
Darauf kommt es an
Setze die Grenzen in die Stammfunktion ein, nicht in f. „Oben minus unten“ bezieht sich hier auf die Integrationsgrenzen.
Aufgabe
Berechne das Integral von 2x zwischen 1 und 3.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Mit F(x) = x² ergibt sich F(3) − F(1) = 9 − 1 = 8.