Bestimmte Integrale
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, Grenzen einsetzen.
Bestimmte Integrale
Der Hauptsatz der Integralrechnung – Flächen konkret berechnen
Hauptsatz anwenden
Mit Stammfunktion und Grenzen konkrete Zahlenwerte berechnen – keine Variable bleibt übrig!
Grenzen einsetzen
Obere Grenze minus untere Grenze: F(b) − F(a) liefert den exakten Flächeninhalt.
Kein C mehr nötig
Bei bestimmten Integralen fällt die Konstante C beim Subtrahieren weg – ein Zahlenwert bleibt!
Was ist ein bestimmtes Integral?
Definition: Bestimmtes Integral
Ein bestimmtes Integral ist ein Integral mit festen Integrationsgrenzen a und b. Es berechnet den orientierten Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f(x) und der x-Achse im Intervall [a, b].
a = untere Integrationsgrenze (Startpunkt)
b = obere Integrationsgrenze (Endpunkt)
f(x) = zu integrierende Funktion
Ergebnis: Eine konkrete Zahl (kein C mehr!)
🔑 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann gilt:
Bedeutung: Setze die obere Grenze b in die Stammfunktion ein, dann die untere Grenze a, und bilde die Differenz.
Die Integrationskonstante C spielt keine Rolle mehr und wird nicht aufgeschrieben!
✓ Unbestimmtes Integral
Keine Grenzen → Stammfunktion
Ergebnis: Funktion mit C
⚡ Bestimmtes Integral
Mit Grenzen → Zahlenwert
Ergebnis: Konkrete Zahl
Schreibweise mit Grenzen
Für die Auswertung der Stammfunktion an den Grenzen gibt es eine spezielle Schreibweise:
Auswertungsschreibweise
Die eckige Klammer mit den Grenzen zeigt: "Setze zuerst b ein, dann a, und subtrahiere."
Beispiel zur Schreibweise
Aufgabe:
Stammfunktion bilden:
F(x) = x³/3
Grenzen einsetzen:
= 27/3 − 1/3
= 9 − 1/3
= 26/3
Schritt-für-Schritt: Bestimmtes Integral berechnen
Mit diesen 4 Schritten berechnest du jedes bestimmte Integral:
Stammfunktion bilden
Bilde zunächst eine Stammfunktion F(x) von f(x). Die Integrationskonstante C kannst du weglassen (sie fällt später sowieso weg).
Obere Grenze einsetzen
Setze die obere Integrationsgrenze b in die Stammfunktion ein: F(b).
Untere Grenze einsetzen
Setze die untere Integrationsgrenze a in die Stammfunktion ein: F(a).
Differenz bilden
Berechne F(b) − F(a). Das Ergebnis ist der Wert des bestimmten Integrals.
💡 Merkhilfe
Eselsbrücke: "Oben minus unten" – Obere Grenze in F einsetzen, dann untere Grenze in F einsetzen, subtrahieren.
Wichtige Eigenschaften bestimmter Integrale
1️⃣ Vertauschte Grenzen
Wenn du die Grenzen vertauschst, ändert sich das Vorzeichen des Integrals.
2️⃣ Gleiche Grenzen
Wenn untere und obere Grenze gleich sind, ist das Integral null (keine Fläche).
3️⃣ Intervalladdititivät
∫ₐᶜ f(x) dx = ∫ₐᵇ f(x) dx + ∫ᵇᶜ f(x) dx
Du kannst ein Intervall aufteilen: Von a bis c ist dasselbe wie von a bis b plus von b bis c.
4️⃣ Linearität
∫ₐᵇ [c·f(x) + d·g(x)] dx
= c·∫ₐᵇ f(x) dx + d·∫ₐᵇ g(x) dx
Konstante Faktoren und Summen können wie bei Stammfunktionen behandelt werden.
Häufige Fehler vermeiden
∫₁³ x² dx = [x²]₁³ = 3² − 1² = 8
∫₁³ x² dx = [x³/3]₁³ = 9 − 1/3 = 26/3
Du musst ZUERST die Stammfunktion bilden (x³/3), DANN die Grenzen einsetzen. Die ursprüngliche Funktion (x²) wird nicht in die Grenzwertberechnung eingesetzt!
∫₀² 2x dx = [x²]₀² = 2² − 0² = 4
∫₀² 2x dx = [x²]₀² = 4 − 0 = 4
Hier ist das Ergebnis zufällig richtig, aber der Rechenweg ist falsch! Die Stammfunktion von 2x ist x², nicht 2x². Schreibe: F(x) = x², dann F(2) = 4, F(0) = 0.
∫₁⁴ x dx = x²/2 + C = 4²/2 + C
∫₁⁴ x dx = [x²/2]₁⁴ = 8 − 0,5 = 7,5
Bei bestimmten Integralen brauchst du KEIN C! Außerdem musst du BEIDE Grenzen einsetzen und subtrahieren: F(4) − F(1).
∫₂¹ x dx = [x²/2]₂¹ = 0,5 − 2 = −1,5
∫₂¹ x dx = [x²/2]₂¹ = 0,5 − 2 = −1,5 oder ∫₁² x dx = 1,5
Das Ergebnis ist rechnerisch richtig! Aber beachte: Vertauschte Grenzen ergeben ein negatives Vorzeichen. Wenn du nach Flächeninhalt gefragt wirst, nimm den Betrag oder tausche die Grenzen.
∫₁³ (x + 1) dx = [x²/2 + 1]₁³
∫₁³ (x + 1) dx = [x²/2 + x]₁³ = (9/2 + 3) − (1/2 + 1) = 6
Die Konstante 1 wird zu x (nicht zu 1)! Richtig: ∫ 1 dx = x. Denke daran: 1 = 1·x⁰.
∫₀¹ e^x dx = [e^x + C]₀¹ = e + C − 1 − C
∫₀¹ e^x dx = [e^x]₀¹ = e − 1
Bei bestimmten Integralen schreibst du in der Stammfunktion KEIN C! Das C würde sowieso wegfallen: (e + C) − (1 + C) = e − 1.
Übungsaufgaben
Aufgabe 1: Grundlegende Berechnung
Berechne die folgenden bestimmten Integrale:
a) ∫₀² x³ dx
b) ∫₁⁴ (2x + 3) dx
c) ∫₋₁² x² dx
Aufgabe 2: Negative Flächen
Berechne ∫₀³ (x − 2) dx und interpretiere das Ergebnis geometrisch.
Aufgabe 3: Exponential- und Wurzelfunktion
Berechne:
a) ∫₀¹ e^x dx
b) ∫₁⁴ √x dx (Tipp: √x = x^(1/2))
Aufgabe 4: Eigenschaften nutzen
Es gilt: ∫₀² f(x) dx = 5 und ∫₂⁴ f(x) dx = 3.
Berechne ohne die Funktion zu kennen:
a) ∫₀⁴ f(x) dx
b) ∫₄² f(x) dx
Zusammenfassung
🎯 Das Wichtigste
- •Hauptsatz: ∫ₐᵇ f(x) dx = F(b) − F(a)
- •Ergebnis ist eine konkrete Zahl
- •Kein C bei bestimmten Integralen
📋 Vorgehen
- 1.Stammfunktion F(x) bilden
- 2.Obere Grenze b einsetzen: F(b)
- 3.Untere Grenze a einsetzen: F(a)
- 4.Differenz bilden: F(b) − F(a)
⚠️ Häufige Fehler
- ✗Funktion statt Stammfunktion in Grenzen einsetzen
- ✗C bei bestimmten Integralen schreiben
- ✗Nur eine Grenze einsetzen
🎓 Tipps fürs Abitur
1. Schreibweise mit Klammer
Nutze [F(x)]ₐᵇ – das zeigt, dass du den Hauptsatz kennst und anwendest.
2. Rechenwege zeigen
Schreibe F(b) und F(a) separat hin, dann die Differenz – das gibt Teilpunkte!
3. Negative Ergebnisse
Negatives Integral = Fläche unterhalb der x-Achse. Für "Flächeninhalt" nimm den Betrag!
4. Exakte vs. gerundete Werte
Bei e, π oder Wurzeln: Exakte Form angeben, nur auf Nachfrage runden!
5. Eigenschaften kennen
Intervalladdititivät und vertauschte Grenzen können Zeit sparen!
6. Probe möglich
Bei Unsicherheit: Leite F(x) ab und prüfe, ob du f(x) erhältst.