Wichtige Eigenschaften von Funktionen
Um eine Funktion vollständig zu verstehen und ihren Graphen zu skizzieren, musst du verschiedene Eigenschaften kennen. Wähle ein Thema aus:
Definitionsbereich (Definitionsmenge)
Was ist der Definitionsbereich?
Der Definitionsbereich (auch D oder Df genannt) ist die Menge aller x-Werte, die du in die Funktion einsetzen darfst.
Einfach gesagt: Welche Zahlen darf ich für x einsetzen, ohne dass etwas Unmögliches passiert?
Die wichtigsten Regeln
Brüche (Nenner ≠ 0)
Bei Brüchen darf der Nenner niemals 0 werden!
f(x) = 1/(x - 3)
→ Nenner: x - 3 ≠ 0 → x ≠ 3
→ D = ℝ \ {3} oder (-∞, 3) ∪ (3, ∞)
Wurzeln (Radikand ≥ 0)
Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen!
f(x) = √(x + 2)
→ Radikand: x + 2 ≥ 0 → x ≥ -2
→ D = [-2, ∞)
Logarithmus (Argument > 0)
Im Logarithmus darf nur eine positive Zahl stehen!
f(x) = ln(x - 1)
→ Argument: x - 1 > 0 → x > 1
→ D = (1, ∞)
Polynome, e-Funktionen, Sinus/Kosinus
Diese haben keine Einschränkungen!
f(x) = x³ - 2x + 1
f(x) = e^x
f(x) = sin(x)
→ D = ℝ (alle reellen Zahlen)
Vorgehen Schritt-für-Schritt
Schaue dir die Funktion an: Gibt es Brüche, Wurzeln oder Logarithmen?
Schreibe die Bedingungen auf (Nenner ≠ 0, Wurzel ≥ 0, ln > 0)
Löse die Ungleichungen nach x auf
Schreibe den Definitionsbereich in Intervallschreibweise auf
Ausführliche Beispiele
Beispiel 1: Mehrere Bedingungen kombinieren
f(x) = √(x - 2) / (x + 1)
Bedingung 1 (Wurzel):
x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2
Bedingung 2 (Nenner):
x + 1 ≠ 0 → x ≠ -1
Kombination (BEIDE müssen gelten!):
x ≥ 2 UND x ≠ -1
Da x ≥ 2, ist x ≠ -1 automatisch erfüllt
Lösung: D = [2, ∞)
Beispiel 2: Quadratischer Nenner
f(x) = (x + 3) / (x² - 9)
Bedingung (Nenner):
x² - 9 ≠ 0
x² ≠ 9
x ≠ ±3
Lösung: D = ℝ \ {-3, 3}
oder: (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, ∞)
Beispiel 3: Logarithmus mit Term
f(x) = ln(2x - 6)
Bedingung (Logarithmus):
2x - 6 > 0
2x > 6
x > 3
Lösung: D = (3, ∞)
Visuelle Darstellung
f(x) = 1/(x-2) — D = ℝ\{2}
Lücke bei x = 2
f(x) = √(x+1) — D = [-1, ∞)
Beginnt bei x = -1
f(x) = ln(x) — D = (0, ∞)
Nur für positive x
f(x) = x² — D = ℝ
Keine Einschränkungen
Übungsaufgaben
Aufgabe · Leicht
Aufgabe 1: Definitionsbereich & Wertebereich
Bestimme Definitions- und Wertebereich:
a) f(x) = √(x - 2)
b) f(x) = 1/(x² - 4)
c) f(x) = ln(3 - x)
Lösung anzeigen
a) f(x) = √(x - 2)
D: Wurzel nur für x - 2 ≥ 0
→ x ≥ 2
D = [2, ∞)
W: Wurzel liefert nur ≥ 0
W = [0, ∞)
b) f(x) = 1/(x² - 4)
D: Nenner ≠ 0
x² - 4 ≠ 0 → x ≠ ±2
D = ℝ ohne -2 und 2
W: 1/(x²-4) kann nie 0 werden
W = ℝ ohne 0
c) f(x) = ln(3 - x)
D: ln nur für Argument > 0
3 - x > 0 → x < 3
D = (-∞, 3)
W: ln kann alle reellen Werte annehmen
W = ℝ
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 2: Nullstellen & Symmetrie
Gegeben: f(x) = x⁴ - 5x² + 4
a) Bestimme alle Nullstellen
b) Untersuche auf Symmetrie
c) Skizziere den Verlauf
Lösung anzeigen
a) Nullstellen
x⁴ - 5x² + 4 = 0
Substitution: z = x²
→ z² - 5z + 4 = 0
pq-Formel:
z₁,₂ = 5/2 ± √((5/2)² - 4)
= 2.5 ± √(6.25 - 4)
= 2.5 ± 1.5
→ z₁ = 4, z₂ = 1
Rücksubstitution:
x² = 4 → x = ±2
x² = 1 → x = ±1
Nullstellen: x₁ = -2, x₂ = -1, x₃ = 1, x₄ = 2
b) Symmetrie
f(-x) = (-x)⁴ - 5(-x)² + 4
= x⁴ - 5x² + 4 = f(x)
Achsensymmetrisch zur y-Achse
(Nur gerade Exponenten!)
c) Skizze
• Nullstellen: -2, -1, 1, 2
• Achsensymmetrisch
• x⁴ dominiert: beide Seiten →∞
• W-Form mit Minimum zwischen -1 und 1
Aufgabe · Schwer
Aufgabe 3: Grenzverhalten & Asymptoten
Gegeben: f(x) = (x³ - x)/(x² - 4)
a) Bestimme alle Asymptoten
b) Untersuche das Grenzverhalten
c) Bestimme die Nullstellen
Lösung anzeigen
a) Asymptoten
Vertikale Asymptoten:
Nenner = 0: x² - 4 = 0 → x = ±2
Zähler bei x=2: 2³ - 2 = 6 ≠ 0 ✓
Zähler bei x=-2: (-2)³ - (-2) = -6 ≠ 0 ✓
VA: x = 2 und x = -2
Schräge Asymptote:
Grad(Zähler) = 3, Grad(Nenner) = 2
→ 3 = 2 + 1 ✓ → Polynomdivision!
(x³ - x) : (x² - 4) = x + 0·x⁰ + Rest
- (x³ - 4x)
__________
3x
SA: y = x (Rest wird für x→∞ unwichtig)
b) Grenzverhalten
Da schräge Asymptote y = x existiert:
lim (x→∞) f(x)/x = 1
lim (x→-∞) f(x)/x = 1
Graph nähert sich der Geraden y = x an.
(Nicht horizontal, sondern schräg!)
c) Nullstellen
Bruch = 0 nur wenn Zähler = 0:
x³ - x = 0
x(x² - 1) = 0
x(x-1)(x+1) = 0
→ x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = -1
Prüfen: Nenner ≠ 0?
Bei x=0: 0² - 4 = -4 ≠ 0 ✓
Bei x=1: 1² - 4 = -3 ≠ 0 ✓
Bei x=-1: (-1)² - 4 = -3 ≠ 0 ✓
Nullstellen: x = -1, 0, 1
Häufige Fehler
Typischer Fehler
Definitionsbereich vergessen
FalschNullstelle berechnet, aber Definitionsbereich nicht beachtet!
RichtigIMMER zuerst D bestimmen!
Eine "Nullstelle" außerhalb von D ist keine Nullstelle.
Tipp: f(x) = √(x-2)/(x-3) bei x=2: Keine Nullstelle, da x=2 nicht in D!
Typischer Fehler
f(-x) falsch berechnet
Falsch(-x)² = -x² oder (-x)³ = x³
Richtig(-x)² = x², (-x)³ = -x³
Gerade Exponenten bleiben positiv, ungerade ändern das Vorzeichen
Tipp: f(x) = x² → f(-x) = x² (nicht -x²!)
Typischer Fehler
Asymptote ≠ Definitionslücke
FalschNenner = 0 → immer vertikale Asymptote?
RichtigWenn Zähler AUCH 0: hebbare Lücke!
Kürzen prüfen! Polstelle höherer Ordnung möglich.
Tipp: f(x) = (x-2)/(x-2) bei x=2: Lücke, keine Asymptote!
Typischer Fehler
Grenzwert ≠ Funktionswert
Falschlim f(x) muss f(a) sein?
RichtigGrenzwert beschreibt nur Annäherung!
Bei Lücken/Asymptoten ist f(a) oft undefiniert.
Tipp: f(x) = (x²-1)/(x-1) bei x=1: lim=2, aber f(1) existiert nicht!
Zusammenfassung
Definitionsbereich
- ✓ Bruch: Nenner ≠ 0
- ✓ Wurzel: Argument ≥ 0
- ✓ Logarithmus: Argument > 0
- ✓ Polynom: immer ℝ
Wertebereich
- ✓ Graph betrachten
- ✓ Extrema finden
- ✓ Grenzverhalten prüfen
- ✓ Typische Werte kennen
Nullstellen
- ✓ f(x) = 0 setzen
- ✓ Passende Methode wählen
- ✓ Bei Bruch: nur Zähler = 0
- ✓ Lösungen in D prüfen
Symmetrie
- ✓ f(-x) berechnen
- ✓ f(-x) = f(x)? → Achsensym.
- ✓ f(-x) = -f(x)? → Punktsym.
- ✓ Polynom: Exponenten prüfen
Grenzverhalten
- ✓ Polynom: höchste Potenz
- ✓ Bruch: Grade vergleichen
- ✓ e^x: exponentiell
- ✓ ln(x): logarithmisch
Asymptoten
- ✓ VA: Nenner = 0 (Zähler ≠ 0)
- ✓ HA: Grenzwert = Zahl
- ✓ SA: Polynomdivision
- ✓ Immer alle drei prüfen!
Merke: Alle Eigenschaften hängen zusammen! Definitionsbereich beeinflusst Nullstellen, Symmetrie hilft beim Grenzverhalten, Asymptoten zeigen Definitionslücken...
Ein Beispiel
Untersuche f(x) = x² − 4.
- Der Term ist für alle reellen Zahlen definiert. Aus x² − 4 = 0 folgt x = −2 oder x = 2.
- Setze −x ein: (−x)² − 4 = x² − 4. Der Graph ist zur y-Achse symmetrisch.
- Weil x² ≥ 0 ist, gilt f(x) ≥ −4. Der Wertebereich beginnt bei −4 und reicht nach oben unbegrenzt.
Darauf kommt es an
Definitionsmenge und Wertemenge sind verschieden: Die erste beschreibt mögliche Eingaben, die zweite mögliche Ergebnisse.
Aufgabe
Bestimme Nullstellen und Symmetrie von f(x) = x³ − x.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Faktorisieren ergibt x(x − 1)(x + 1), also Nullstellen −1, 0, 1. Es gilt f(−x) = −f(x): Der Graph ist punktsymmetrisch zum Ursprung.