Wichtige Eigenschaften von Funktionen
Definitions- und Wertemengen, Nullstellen, Symmetrie, Grenzverhalten und Asymptoten verstehen und bestimmen.
Wichtige Eigenschaften von Funktionen
Um eine Funktion vollständig zu verstehen und ihren Graphen zu skizzieren, musst du verschiedene Eigenschaften kennen. Wähle ein Thema aus:
📍Definitionsbereich (Definitionsmenge)
🤔 Was ist der Definitionsbereich?
Der Definitionsbereich (auch D oder Df genannt) ist die Menge aller x-Werte, die du in die Funktion einsetzen darfst.
Einfach gesagt: Welche Zahlen darf ich für x einsetzen, ohne dass etwas Unmögliches passiert?
📋 Die wichtigsten Regeln
Brüche (Nenner ≠ 0)
Bei Brüchen darf der Nenner niemals 0 werden!
f(x) = 1/(x - 3)
→ Nenner: x - 3 ≠ 0 → x ≠ 3
→ D = ℝ \ {3} oder (-∞, 3) ∪ (3, ∞)
Wurzeln (Radikand ≥ 0)
Unter der Wurzel darf nichts Negatives stehen!
f(x) = √(x + 2)
→ Radikand: x + 2 ≥ 0 → x ≥ -2
→ D = [-2, ∞)
Logarithmus (Argument > 0)
Im Logarithmus darf nur eine positive Zahl stehen!
f(x) = ln(x - 1)
→ Argument: x - 1 > 0 → x > 1
→ D = (1, ∞)
Polynome, e-Funktionen, Sinus/Kosinus
Diese haben keine Einschränkungen!
f(x) = x³ - 2x + 1
f(x) = e^x
f(x) = sin(x)
→ D = ℝ (alle reellen Zahlen)
🎯 Vorgehen Schritt-für-Schritt
Schaue dir die Funktion an: Gibt es Brüche, Wurzeln oder Logarithmen?
Schreibe die Bedingungen auf (Nenner ≠ 0, Wurzel ≥ 0, ln > 0)
Löse die Ungleichungen nach x auf
Schreibe den Definitionsbereich in Intervallschreibweise auf
✏️ Ausführliche Beispiele
Beispiel 1: Mehrere Bedingungen kombinieren
f(x) = √(x - 2) / (x + 1)
Bedingung 1 (Wurzel):
x - 2 ≥ 0 → x ≥ 2
Bedingung 2 (Nenner):
x + 1 ≠ 0 → x ≠ -1
Kombination (BEIDE müssen gelten!):
x ≥ 2 UND x ≠ -1
Da x ≥ 2, ist x ≠ -1 automatisch erfüllt
Lösung: D = [2, ∞)
Beispiel 2: Quadratischer Nenner
f(x) = (x + 3) / (x² - 9)
Bedingung (Nenner):
x² - 9 ≠ 0
x² ≠ 9
x ≠ ±3
Lösung: D = ℝ \ {-3, 3}
oder: (-∞, -3) ∪ (-3, 3) ∪ (3, ∞)
Beispiel 3: Logarithmus mit Term
f(x) = ln(2x - 6)
Bedingung (Logarithmus):
2x - 6 > 0
2x > 6
x > 3
Lösung: D = (3, ∞)
📊 Visuelle Darstellung
f(x) = 1/(x-2) — D = ℝ\{2}
Lücke bei x = 2
f(x) = √(x+1) — D = [-1, ∞)
Beginnt bei x = -1
f(x) = ln(x) — D = (0, ∞)
Nur für positive x
f(x) = x² — D = ℝ
Keine Einschränkungen
📝 Übungsaufgaben
Bestimme Definitions- und Wertebereich:
a) f(x) = √(x - 2)
b) f(x) = 1/(x² - 4)
c) f(x) = ln(3 - x)
Gegeben: f(x) = x⁴ - 5x² + 4
a) Bestimme alle Nullstellen
b) Untersuche auf Symmetrie
c) Skizziere den Verlauf
Gegeben: f(x) = (x³ - x)/(x² - 4)
a) Bestimme alle Asymptoten
b) Untersuche das Grenzverhalten
c) Bestimme die Nullstellen
⚠️ Häufige Fehler
Definitionsbereich vergessen
Nullstelle berechnet, aber Definitionsbereich nicht beachtet!
IMMER zuerst D bestimmen!
Eine "Nullstelle" außerhalb von D ist keine Nullstelle.
f(-x) falsch berechnet
(-x)² = -x² oder (-x)³ = x³
(-x)² = x², (-x)³ = -x³
Gerade Exponenten bleiben positiv, ungerade ändern das Vorzeichen
Asymptote ≠ Definitionslücke
Nenner = 0 → immer vertikale Asymptote?
Wenn Zähler AUCH 0: hebbare Lücke!
Kürzen prüfen! Polstelle höherer Ordnung möglich.
Grenzwert ≠ Funktionswert
lim f(x) muss f(a) sein?
Grenzwert beschreibt nur Annäherung!
Bei Lücken/Asymptoten ist f(a) oft undefiniert.
📚 Zusammenfassung
Definitionsbereich
- ✓ Bruch: Nenner ≠ 0
- ✓ Wurzel: Argument ≥ 0
- ✓ Logarithmus: Argument > 0
- ✓ Polynom: immer ℝ
Wertebereich
- ✓ Graph betrachten
- ✓ Extrema finden
- ✓ Grenzverhalten prüfen
- ✓ Typische Werte kennen
Nullstellen
- ✓ f(x) = 0 setzen
- ✓ Passende Methode wählen
- ✓ Bei Bruch: nur Zähler = 0
- ✓ Lösungen in D prüfen
Symmetrie
- ✓ f(-x) berechnen
- ✓ f(-x) = f(x)? → Achsensym.
- ✓ f(-x) = -f(x)? → Punktsym.
- ✓ Polynom: Exponenten prüfen
Grenzverhalten
- ✓ Polynom: höchste Potenz
- ✓ Bruch: Grade vergleichen
- ✓ e^x: exponentiell
- ✓ ln(x): logarithmisch
Asymptoten
- ✓ VA: Nenner = 0 (Zähler ≠ 0)
- ✓ HA: Grenzwert = Zahl
- ✓ SA: Polynomdivision
- ✓ Immer alle drei prüfen!
💡 Merke: Alle Eigenschaften hängen zusammen! Definitionsbereich beeinflusst Nullstellen, Symmetrie hilft beim Grenzverhalten, Asymptoten zeigen Definitionslücken...