Maximum
Hochpunkt: Funktion erreicht hier lokal den größten Wert. f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0.
Minimum
Tiefpunkt: Funktion erreicht hier lokal den kleinsten Wert. f'(x₀) = 0 und f''(x₀) > 0.
Kriterien
Notwendig: f'(x₀) = 0 (waagrechte Tangente). Hinreichend: Vorzeichen von f''(x₀) oder f' wechselt.
Was sind Extremwerte?
Definition
Ein Punkt P(x₀ | f(x₀)) heißt lokales Extremum, wenn f in einer Umgebung von x₀ an dieser Stelle ihr Maximum oder Minimum annimmt.
Lokales Maximum (Hochpunkt)
Es gibt eine Umgebung um x₀, in der gilt:
Die Funktion ist nirgends höher als bei x₀ (in der Nähe).
Lokales Minimum (Tiefpunkt)
Es gibt eine Umgebung um x₀, in der gilt:
Die Funktion ist nirgends tiefer als bei x₀ (in der Nähe).
Kriterien zur Bestimmung
Erste Ableitung gleich Null
f'(x₀) = 0
Bedeutung: Die Tangente an der Stelle x₀ ist waagrecht (Steigung = 0).
Achtung: Dies ist nur eine notwendige Bedingung! Nicht jede Stelle mit f'(x₀) = 0 ist ein Extremum (könnte auch Sattelpunkt sein).
Extremum nachweisen
Methode 1: Zweite Ableitung
f''(x₀) < 0
→ Lokales Maximum (Hochpunkt)
f''(x₀) > 0
→ Lokales Minimum (Tiefpunkt)
f''(x₀) = 0
→ Keine Aussage möglich (andere Methode verwenden)
Methode 2: Vorzeichenwechsel von f'
f' wechselt von + nach −
→ Lokales Maximum (erst steigend, dann fallend)
f' wechselt von − nach +
→ Lokales Minimum (erst fallend, dann steigend)
f' wechselt Vorzeichen nicht
→ Kein Extremum (Sattelpunkt/Terrassenpunkt)
5-Schritte-Verfahren
Systematisches Vorgehen
Erste Ableitung bilden
Bilde f'(x) mit den Ableitungsregeln.
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
Setze f'(x) = 0 und löse nach x auf. Diese x-Werte sind Kandidaten für Extremstellen.
3x(x - 2) = 0
x₁ = 0 oder x₂ = 2
Zweite Ableitung bilden
Bilde f''(x) für das hinreichende Kriterium.
Hinreichende Bedingung prüfen
Setze jeden Kandidaten in f''(x) ein und prüfe das Vorzeichen.
y-Koordinaten berechnen
Setze die x-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) ein.
Ergebnis:
Hochpunkt: HP(0|0)
Tiefpunkt: TP(2|-4)
Ein Beispiel
Bestimme die Extrempunkte von f(x) = x³ − 3x.
- f′(x) = 3x² − 3 = 0 liefert x = −1 und x = 1.
- f″(x) = 6x. Bei −1 ist f″ negativ: Hochpunkt. Bei 1 ist f″ positiv: Tiefpunkt.
- Setze in f ein: f(−1) = 2 und f(1) = −2. Die Punkte heißen H(−1, 2) und T(1, −2).
Darauf kommt es an
Bei f″(x₀) = 0 ist der Test unentschieden. Nutze einen Vorzeichenwechsel von f′. Für globale Extremwerte auf einem geschlossenen Intervall musst du auch die Randwerte vergleichen.
Aufgabe
Bestimme den Tiefpunkt von f(x) = x² − 6x + 2.
Lösung und Rechenweg anzeigen
f′ = 2x − 6 wird bei 3 null. f″ = 2 > 0 bestätigt den Tiefpunkt. f(3) = −7, also T(3, −7).