Extremwerte bestimmen
Hochpunkte und Tiefpunkte mit Hilfe der ersten und zweiten Ableitung finden.
📊 Extremwerte bestimmen
Hochpunkte und Tiefpunkte einer Funktion finden – mit der ersten und zweiten Ableitung systematisch zum Ziel.
Maximum
Hochpunkt: Funktion erreicht hier lokal den größten Wert. f'(x₀) = 0 und f''(x₀) < 0.
Minimum
Tiefpunkt: Funktion erreicht hier lokal den kleinsten Wert. f'(x₀) = 0 und f''(x₀) > 0.
Kriterien
Notwendig: f'(x₀) = 0 (waagrechte Tangente). Hinreichend: Vorzeichen von f''(x₀) oder f' wechselt.
Was sind Extremwerte?
📖 Definition
Ein Punkt P(x₀ | f(x₀)) heißt lokales Extremum, wenn f in einer Umgebung von x₀ an dieser Stelle ihr Maximum oder Minimum annimmt.
Lokales Maximum (Hochpunkt)
Es gibt eine Umgebung um x₀, in der gilt:
Die Funktion ist nirgends höher als bei x₀ (in der Nähe).
Lokales Minimum (Tiefpunkt)
Es gibt eine Umgebung um x₀, in der gilt:
Die Funktion ist nirgends tiefer als bei x₀ (in der Nähe).
🎯 Kriterien zur Bestimmung
Erste Ableitung gleich Null
f'(x₀) = 0
Bedeutung: Die Tangente an der Stelle x₀ ist waagrecht (Steigung = 0).
⚠️ Achtung: Dies ist nur eine notwendige Bedingung! Nicht jede Stelle mit f'(x₀) = 0 ist ein Extremum (könnte auch Sattelpunkt sein).
Extremum nachweisen
✅ Methode 1: Zweite Ableitung
f''(x₀) < 0
→ Lokales Maximum (Hochpunkt)
f''(x₀) > 0
→ Lokales Minimum (Tiefpunkt)
f''(x₀) = 0
→ Keine Aussage möglich (andere Methode verwenden)
✅ Methode 2: Vorzeichenwechsel von f'
f' wechselt von + nach −
→ Lokales Maximum (erst steigend, dann fallend)
f' wechselt von − nach +
→ Lokales Minimum (erst fallend, dann steigend)
f' wechselt Vorzeichen nicht
→ Kein Extremum (Sattelpunkt/Terrassenpunkt)
5-Schritte-Verfahren
📋 Systematisches Vorgehen
Erste Ableitung bilden
Bilde f'(x) mit den Ableitungsregeln.
Notwendige Bedingung: f'(x) = 0
Setze f'(x) = 0 und löse nach x auf. Diese x-Werte sind Kandidaten für Extremstellen.
3x(x - 2) = 0
x₁ = 0 oder x₂ = 2
Zweite Ableitung bilden
Bilde f''(x) für das hinreichende Kriterium.
Hinreichende Bedingung prüfen
Setze jeden Kandidaten in f''(x) ein und prüfe das Vorzeichen.
y-Koordinaten berechnen
Setze die x-Werte in die ursprüngliche Funktion f(x) ein.
✅Ergebnis:
Hochpunkt: HP(0|0)
Tiefpunkt: TP(2|-4)