Funktionsmodifikation
Mit Funktionsmodifikation kannst du aus einer Grundfunktion (wie f(x) = x²) unendlich viele neue Funktionen erzeugen, indem du Parameter änderst!
Verschiebungen
Graph nach oben/unten, links/rechts schieben
Streckungen
Graph stauchen oder in die Länge ziehen
Spiegelungen
Graph an Achsen spiegeln
Warum ist das wichtig?
- ✓ Graphen schnell zeichnen ohne Wertetabelle
- ✓ Funktionsgleichungen ablesen aus gegebenen Graphen
- ✓ Verständnis für Zusammenhang zwischen Gleichung und Graph
- ✓ Anwendungen in Physik und Realität modellieren
Das Grundprinzip
Allgemeine Form der modifizierten Funktion
g(x) = a · f(b(x - c)) + d
Parameter und ihre Wirkung:
a: Streckung in y-Richtung
|a| > 1: strecken, 0 < |a| < 1: stauchen, a < 0: + Spiegelung an x-Achse
b: Streckung in x-Richtung
|b| > 1: stauchen, 0 < |b| < 1: strecken, b < 0: + Spiegelung an y-Achse
c: Verschiebung nach rechts
c > 0: nach rechts, c < 0: nach links
d: Verschiebung nach oben
d > 0: nach oben, d < 0: nach unten
Schnellmerker:
Außen = y-Richtung
a und d stehen außerhalb von f → wirken vertikal
Innen = x-Richtung
b und c stehen innerhalb von f → wirken horizontal
Vorsicht bei c!
f(x - 3) verschiebt nach RECHTS (+3), nicht nach links!
Reihenfolge der Transformationen
Wenn mehrere Parameter gleichzeitig auftreten, ist die Reihenfolge wichtig:
Horizontal verschieben
Parameter c
Horizontal strecken
Parameter b
Vertikal strecken
Parameter a
Vertikal verschieben
Parameter d
Wähle eine Modifikationsart:
Verschiebungen
Horizontale Verschiebung (Parameter c)
Allgemeine Form:
g(x) = f(x - c)
c > 0: Verschiebung nach rechts
Beispiel: f(x - 3) → 3 Einheiten nach rechts
c < 0: Verschiebung nach links
Beispiel: f(x + 2) = f(x - (-2)) → 2 Einheiten nach links
Merkhilfe:
"Entgegen der Intuition!"
Ein Minus verschiebt nach rechts,
ein Plus verschiebt nach links!
Warum?
Für f(x - 3) muss x um 3 größer sein, damit das Argument wieder den ursprünglichen Wert hat. Der Graph verschiebt sich also nach rechts!
Visualisierung: f(x) = x² horizontal verschoben
g(x) = (x - 2)²
2 nach rechts
Verschiebung +2
g(x) = (x + 1)²
1 nach links
Verschiebung -1
Vergleich beide
+2 und -1
Beide Verschiebungen
Vertikale Verschiebung (Parameter d)
Allgemeine Form:
g(x) = f(x) + d
d > 0: Verschiebung nach oben
Beispiel: f(x) + 4 → 4 Einheiten nach oben
d < 0: Verschiebung nach unten
Beispiel: f(x) - 3 → 3 Einheiten nach unten
Einfacher als horizontal!
"Intuitiv!"
Ein Plus verschiebt nach oben,
ein Minus verschiebt nach unten!
Warum einfacher?
Das d steht außerhalb der Funktion. Es wird einfach zu jedem y-Wert addiert → direkte Verschiebung in y-Richtung!
Visualisierung: f(x) = x² vertikal verschoben
g(x) = x² + 3
3 nach oben
Verschiebung +3
g(x) = x² - 2
2 nach unten
Verschiebung -2
Alle zusammen
Original, +3, -2
Vergleich
Kombination: Horizontal + Vertikal
g(x) = f(x - c) + d
Verschiebt den Graphen um c nach rechts und d nach oben
Beispiel: g(x) = (x - 1)² + 2
Schritt 1: x² um 1 nach rechts → (x-1)²
Schritt 2: Dann um 2 nach oben → (x-1)² + 2
Scheitel verschiebt sich:
Von (0, 0) nach (1, 2)
Scheitel: (0,0) → (1,2)
Übungsaufgaben
Aufgabe · Leicht
Aufgabe 1: Verschiebungen erkennen
Welche Verschiebung liegt vor?
a) g(x) = x² - 5
b) h(x) = (x + 3)²
c) k(x) = (x - 2)² + 4
Lösung anzeigen
a) g(x) = x² - 5
Form: f(x) + d mit d = -5
Verschiebung um 5 Einheiten nach unten
b) h(x) = (x + 3)²
Form: f(x - c) mit c = -3
Verschiebung um 3 Einheiten nach links
Merke: x + 3 = x - (-3), also c = -3 < 0 → links
c) k(x) = (x - 2)² + 4
Form: f(x - c) + d mit c = 2, d = 4
Verschiebung um 2 nach rechts und 4 nach oben
Scheitel wandert von (0, 0) nach (2, 4)
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 2: Streckungen bestimmen
Beschreibe die Transformation von f(x) = x²:
a) g(x) = 3x²
b) h(x) = (0.5x)²
c) k(x) = -0.25x²
Lösung anzeigen
a) g(x) = 3x²
Form: a·f(x) mit a = 3
Vertikale Streckung mit Faktor 3 (dreimal so steil)
Alle y-Werte werden verdreifacht
b) h(x) = (0.5x)²
Form: f(b·x) mit b = 0.5
Horizontale Streckung mit Faktor 2 (doppelt so breit)
Achtung: b < 1 bedeutet Streckung in x-Richtung!
c) k(x) = -0.25x²
Form: a·f(x) mit a = -0.25
Vertikale Stauchung mit Faktor 0.25 (viermal so flach)
+ Spiegelung an x-Achse (nach unten geöffnet)
Negatives a kombiniert beides!
Aufgabe · Schwer
Aufgabe 3: Komplette Transformation
Gegeben: f(x) = sin(x)
Gesucht: Gleichung für den transformierten Graphen
• Amplitude: 3 (statt 1)
• Periode: π (statt 2π) → doppelt so schnell
• Verschiebung: π/2 nach rechts
• Verschiebung: 2 nach oben
Lösung anzeigen
Schritt-für-Schritt:
1. Amplitude 3:
Vertikale Streckung → a = 3
→ 3·sin(x)
2. Periode π (halb so lang):
Doppelt so schnell → b = 2
→ 3·sin(2x)
3. π/2 nach rechts:
Horizontale Verschiebung → c = π/2
→ 3·sin(2(x - π/2))
4. 2 nach oben:
Vertikale Verschiebung → d = 2
→ 3·sin(2(x - π/2)) + 2
Endergebnis:
g(x) = 3·sin(2(x - π/2)) + 2
= 3·sin(2x - π) + 2 (ausmultipliziert)
Häufige Fehler
Typischer Fehler
Horizontale Verschiebung falsch herum
Falschf(x - 3) verschiebt nach links?
Richtigf(x - 3) verschiebt nach RECHTS!
Das Minus im Argument wirkt entgegengesetzt zur Intuition.
Tipp: Denke: Für welches x ist das Argument wieder 0? Bei x=3 → nach rechts!
Typischer Fehler
Horizontale Streckung verwechselt
Falschf(2x) macht den Graphen breiter?
Richtigf(2x) macht den Graphen SCHMALER!
Großes b staucht horizontal, kleines b streckt horizontal.
Tipp: f(2x) erreicht Werte doppelt so schnell → schmaler!
Typischer Fehler
Reihenfolge ignoriert
FalschErst verschieben, dann strecken ist egal?
RichtigReihenfolge: c, b, a, d beachten!
Die Transformationen sind nicht kommutativ!
Tipp: Immer: horizontal (innen) vor vertikal (außen)
Typischer Fehler
Vorzeichen bei Spiegelung
Falsch-f(x) = f(-x)?
Richtig-f(x) ≠ f(-x) (außer bei ungeraden Funktionen)
-f(x) spiegelt an x-Achse, f(-x) spiegelt an y-Achse
Tipp: Minus außen → x-Achse, Minus innen → y-Achse
Zusammenfassung
Verschiebungen
f(x - c)
Horizontal: c > 0 → rechts, c < 0 → links
f(x) + d
Vertikal: d > 0 → oben, d < 0 → unten
Streckungen
a · f(x)
Vertikal: |a| > 1 → strecken, 0 < |a| < 1 → stauchen
f(b · x)
Horizontal: |b| > 1 → stauchen, 0 < |b| < 1 → strecken
Spiegelungen
-f(x)
Spiegelung an x-Achse (vertikal)
f(-x)
Spiegelung an y-Achse (horizontal)
Reihenfolge
g(x) = a·f(b(x-c)) + d
1. c (→), 2. b (↔), 3. a (↕), 4. d (↑)
Merke: Innen (horizontal) vor außen (vertikal)
Wichtig: Parameter innen (x-Richtung) wirken oft entgegengesetzt zur Intuition!
f(x - 3) → rechts, f(2x) → schmaler. Übung macht den Meister!
Ein Beispiel
Beschreibe g(x) = 2(x − 3)² + 1 ausgehend von f(x) = x².
- x − 3 verschiebt die Parabel um 3 nach rechts. Der Scheitel liegt zunächst bei (3, 0).
- Der Faktor 2 verdoppelt jeden Abstand zur x-Achse. Die Parabel wird schmaler.
- Die +1 hebt den Graphen um 1 an. Der Scheitel liegt schließlich bei (3, 1).
Darauf kommt es an
Bei x − 3 wird nach rechts verschoben, nicht nach links. Lies die Verschiebung aus dem Nullwerden der inneren Klammer ab.
Aufgabe
Wo liegt der Scheitel von g(x) = −(x + 2)² + 5?
Lösung und Rechenweg anzeigen
x + 2 = 0 bei x = −2. Der Scheitel ist (−2, 5). Das Minus vor der Klammer öffnet die Parabel nach unten.