Grundlegende Funktionstypen
Ganzrationale, Exponential-, Logarithmus-, trigonometrische, Wurzel- und gebrochen-rationale Funktionen.
Die 7 Funktionstypen im Überblick
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📈Ganzrationale Funktionen (Polynome)
📐 Allgemeine Form:
n = Grad (höchster Exponent) • aₙ, aₙ₋₁, ... = Koeffizienten
🤔 Was bedeutet das in einfachen Worten?
Eine ganzrationale Funktion ist einfach eine Summe von Potenzen von x. Du nimmst x, quadrierst es, nimmst x³, x⁴ usw., multiplizierst jedes mit einer Zahl (den Koeffizienten) und addierst alles zusammen. Fertig!
Grad 1: Linear
f(x) = 2x + 3
→ Eine Gerade. Steigung konstant.
Grad 2: Quadratisch
f(x) = x² - 4x + 3
→ Eine Parabel (U-Form).
Grad 3: Kubisch
f(x) = x³ - 3x² + 2
→ Wellenform mit einem Wendepunkt.
Grad 4: Quartisch
f(x) = x⁴ - 5x² + 4
→ W-Form oder M-Form möglich.
🎯 Wichtige Eigenschaften:
Definitionsbereich:
Immer alle reellen Zahlen (ℝ). Du kannst jedes x einsetzen!
Wertebereich:
Bei geradem Grad: begrenzt (z.B. [minimum, ∞))
Bei ungeradem Grad: alle reellen Zahlen (ℝ)
Nullstellen:
Maximal n Nullstellen (bei Grad n). Können real oder komplex sein.
Extrempunkte:
Maximal n - 1 Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte).
Verhalten für x → ±∞:
Wird bestimmt durch den höchsten Term (aₙ · xⁿ).
📈 Wie sieht der Graph aus?
Gerade Exponenten (2, 4, 6, ...):
- • Beide Enden zeigen in die gleiche Richtung
- • Bei positivem aₙ: beide nach oben ⤴️⤴️
- • Bei negativem aₙ: beide nach unten ⤵️⤵️
Ungerade Exponenten (1, 3, 5, ...):
- • Enden zeigen in unterschiedliche Richtungen
- • Bei positivem aₙ: links unten, rechts oben ⤵️⤴️
- • Bei negativem aₙ: links oben, rechts unten ⤴️⤵️
📊 Graphen im Vergleich
f(x) = x² (Grad 2)
f(x) = x³ - 3x + 2 (Grad 3)
f(x) = 0.2x⁴ - x² + 1 (Grad 4)
f(x) = 2x + 3 (Grad 1)
Zusammenfassung: Funktionstypen im Überblick
📈Polynome
f(x) = aₙxⁿ + ... + a₀
- • Definitionsbereich: ℝ
- • Grad bestimmt Form
- • Keine Asymptoten
📊Exponential
f(x) = a·e^(kx)
- • Definitionsbereich: ℝ
- • Waagerechte Asymptote
- • Wachstum oder Zerfall
🌊Trigonometrisch
f(x) = a·sin(bx+c)+d
- • Definitionsbereich: ℝ
- • Periodisch
- • Wertebereich: [d-|a|, d+|a|]
√Wurzel
f(x) = a·√(x+c)+d
- • Definitionsbereich: x ≥ -c
- • Startet bei (-c|d)
- • Immer flacher werdend
➗Gebrochenrational
f(x) = Zähler/Nenner
- • Polstellen (Nenner = 0)
- • Senkrechte Asymptoten
- • Waagerechte Asymptote
📉Logarithmus
f(x) = a·ln(x)
- • Definitionsbereich: x > 0
- • Nullstelle bei x = 1
- • Senkrechte Asymptote: x = 0
Übungsaufgaben
Häufige Fehler vermeiden
Definitionsbereich vergessen
Bei Wurzel-, Bruch- und Logarithmusfunktionen den Definitionsbereich nicht beachten.
Einfach berechnen ohne Prüfung
Immer prüfen: Wurzel ≥ 0, Nenner ≠ 0, Logarithmus > 0
Asymptoten und Definitionslücken verwechseln
Denken, dass bei jeder Definitionslücke eine Asymptote ist.
Jede Nullstelle des Nenners ist eine Asymptote
Prüfen ob Zähler auch 0 wird → hebbare Lücke
Beispiel: f(x) = (x-2)/(x-2) hat bei x=2 eine hebbare Lücke, keine Asymptote.
Exponential- und Potenzfunktionen verwechseln
e^x und x^e verwechseln.
x^e ist eine Exponentialfunktion
e^x ist exponentiell (Variable im Exponent), x^e ist ein Polynom (Variable als Basis)
Kettenregel bei Ableitungen vergessen
Bei zusammengesetzten Funktionen die Kettenregel vergessen.
f(x) = e^(2x) → f'(x) = e^(2x)
f(x) = e^(2x) → f'(x) = 2·e^(2x)
Kettenregel: äußere Ableitung · innere Ableitung