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Analysis · Lektion 01 von 18

Grundlegende Funktionstypen

Was verrät dir die Form eines Funktionsterms?

Die 7 Funktionstypen im Überblick

Wähle einen Funktionstyp aus, um alles darüber zu erfahren:

Ganzrationale Funktionen (Polynome)

Allgemeine Form:

f(x) = aₙ · xⁿ + aₙ₋₁ · xⁿ⁻¹ + ... + a₁ · x + a₀

n = Grad (höchster Exponent) • aₙ, aₙ₋₁, ... = Koeffizienten

Was bedeutet das in einfachen Worten?

Eine ganzrationale Funktion ist einfach eine Summe von Potenzen von x. Du nimmst x, quadrierst es, nimmst x³, x⁴ usw., multiplizierst jedes mit einer Zahl (den Koeffizienten) und addierst alles zusammen. Fertig!

Grad 1: Linear

f(x) = 2x + 3

→ Eine Gerade. Steigung konstant.

Grad 2: Quadratisch

f(x) = x² - 4x + 3

→ Eine Parabel (U-Form).

Grad 3: Kubisch

f(x) = x³ - 3x² + 2

→ Wellenform mit einem Wendepunkt.

Grad 4: Quartisch

f(x) = x⁴ - 5x² + 4

→ W-Form oder M-Form möglich.

Wichtige Eigenschaften:

Definitionsbereich:

Immer alle reellen Zahlen (ℝ). Du kannst jedes x einsetzen!

Wertebereich:

Bei geradem Grad: begrenzt (z.B. [minimum, ∞))
Bei ungeradem Grad: alle reellen Zahlen (ℝ)

Nullstellen:

Maximal n Nullstellen (bei Grad n). Können real oder komplex sein.

Extrempunkte:

Maximal n - 1 Extrempunkte (Hoch- und Tiefpunkte).

Verhalten für x → ±∞:

Wird bestimmt durch den höchsten Term (aₙ · xⁿ).

Wie sieht der Graph aus?

Gerade Exponenten (2, 4, 6, ...):

  • • Beide Enden zeigen in die gleiche Richtung
  • • Bei positivem aₙ: beide nach oben
  • • Bei negativem aₙ: beide nach unten

Ungerade Exponenten (1, 3, 5, ...):

  • • Enden zeigen in unterschiedliche Richtungen
  • • Bei positivem aₙ: links unten, rechts oben
  • • Bei negativem aₙ: links oben, rechts unten

Graphen im Vergleich

f(x) = x² (Grad 2)

Graph lädt...

f(x) = x³ - 3x + 2 (Grad 3)

Graph lädt...

f(x) = 0.2x⁴ - x² + 1 (Grad 4)

Graph lädt...

f(x) = 2x + 3 (Grad 1)

Graph lädt...

Zusammenfassung: Funktionstypen im Überblick

Polynome

f(x) = aₙxⁿ + ... + a₀

  • • Definitionsbereich: ℝ
  • • Grad bestimmt Form
  • • Keine Asymptoten

Exponential

f(x) = a·e^(kx)

  • • Definitionsbereich: ℝ
  • • Waagerechte Asymptote
  • • Wachstum oder Zerfall

Trigonometrisch

f(x) = a·sin(bx+c)+d

  • • Definitionsbereich: ℝ
  • • Periodisch
  • • Wertebereich: [d-|a|, d+|a|]

√Wurzel

f(x) = a·√(x+c)+d

  • • Definitionsbereich: x ≥ -c
  • • Startet bei (-c|d)
  • • Immer flacher werdend

Gebrochenrational

f(x) = Zähler/Nenner

  • • Polstellen (Nenner = 0)
  • • Senkrechte Asymptoten
  • • Waagerechte Asymptote

Logarithmus

f(x) = a·ln(x)

  • • Definitionsbereich: x > 0
  • • Nullstelle bei x = 1
  • • Senkrechte Asymptote: x = 0

Übungsaufgaben

Aufgabe · Leicht

Aufgabe 1: Funktionstyp erkennen

Ordne die folgenden Funktionen dem richtigen Funktionstyp zu: a) f(x) = 3x² - 2x + 5, b) f(x) = 2·e^(0.5x), c) f(x) = √(x + 3) - 1, d) f(x) = (2x + 1) / (x - 3), e) f(x) = 3·sin(2x) + 1, f) f(x) = ln(x) + 2
Lösung anzeigen
a) Ganzrationale Funktion (Polynom, Grad 2) • b) Exponentialfunktion • c) Wurzelfunktion • d) Gebrochenrationale Funktion • e) Trigonometrische Funktion (Sinus) • f) Logarithmusfunktion

Aufgabe · Mittel

Aufgabe 2: Definitionsbereich bestimmen

Bestimme den Definitionsbereich: a) f(x) = √(x - 5), b) f(x) = 1 / (x + 2), c) f(x) = ln(x - 1), d) f(x) = (x² - 4) / (x² - 9)
Lösung anzeigen
a) D = [5, ∞) — Unter der Wurzel: x - 5 ≥ 0 → x ≥ 5 • b) D = ℝ \ {-2} — Nenner ≠ 0: x ≠ -2 • c) D = (1, ∞) — ln nur für positive Argumente: x - 1 > 0 • d) D = ℝ \ {-3, 3} — Nenner: x² - 9 ≠ 0 → x ≠ ±3

Aufgabe · Schwer

Aufgabe 3: Asymptoten finden

Bestimme alle Asymptoten: a) f(x) = 3 / (x - 1) + 2, b) f(x) = 2·e^(-x), c) f(x) = (2x² + 3) / (x² - 4)
Lösung anzeigen
a) Senkrecht: x = 1, Waagerecht: y = 2 (Für x → ±∞ geht 3/(x-1) → 0, also f(x) → 2) • b) Waagerecht: y = 0 (Für x → ∞: e^(-x) → 0) • c) Senkrecht: x = ±2, Waagerecht: y = 2 (Grade gleich: y = 2x²/x² = 2)

Häufige Fehler vermeiden

Typischer Fehler

Definitionsbereich vergessen

Bei Wurzel-, Bruch- und Logarithmusfunktionen den Definitionsbereich nicht beachten.

FalschEinfach berechnen ohne Prüfung

RichtigImmer prüfen: Wurzel ≥ 0, Nenner ≠ 0, Logarithmus > 0

Tipp: Schreibe den Definitionsbereich immer als Erstes auf!

Typischer Fehler

Asymptoten und Definitionslücken verwechseln

Denken, dass bei jeder Definitionslücke eine Asymptote ist.

FalschJede Nullstelle des Nenners ist eine Asymptote

RichtigPrüfen ob Zähler auch 0 wird → hebbare Lücke

Beispiel: f(x) = (x-2)/(x-2) hat bei x=2 eine hebbare Lücke, keine Asymptote.

Typischer Fehler

Exponential- und Potenzfunktionen verwechseln

e^x und x^e verwechseln.

Falschx^e ist eine Exponentialfunktion

Richtige^x ist exponentiell (Variable im Exponent), x^e ist ein Polynom (Variable als Basis)

Typischer Fehler

Kettenregel bei Ableitungen vergessen

Bei zusammengesetzten Funktionen die Kettenregel vergessen.

Falschf(x) = e^(2x) → f'(x) = e^(2x)

Richtigf(x) = e^(2x) → f'(x) = 2·e^(2x)

Kettenregel: äußere Ableitung · innere Ableitung

Ein Beispiel

Vergleiche f(x) = x² und g(x) = 2ˣ an drei Stellen.

  1. Bei x = 0 gilt f(0) = 0, aber g(0) = 1. Eine positive Basis hoch null ergibt eins.
  2. Bei x = 2 sind beide Werte 4. Ein gemeinsamer Punkt macht die Funktionen noch nicht gleich.
  3. Bei x = 3 gilt f(3) = 9 und g(3) = 8. Bei f ist die Basis variabel, bei g der Exponent.

Darauf kommt es an

Beachte Einschränkungen: 1x\frac{1}{x} ist bei x = 0 nicht definiert, √x für reelle Werte nur bei x ≥ 0 und ln(x) nur bei x > 0.

Aufgabe

Welche Definitionsmenge hat f(x) = √(x − 2)?

Lösung und Rechenweg anzeigen

Der Ausdruck unter der Wurzel muss mindestens null sein: x − 2 ≥ 0. Also ist D = [2; ∞).