Krümmung und Wendepunkte
Links-/Rechtskrümmung, Wendepunkte mit Vorzeichenwechsel der zweiten Ableitung.
🌊 Krümmung und Wendepunkte
Wie ist die Kurve gekrümmt? Wo wechselt die Krümmungsrichtung? Mit der zweiten Ableitung systematisch untersuchen.
Rechtskrümmung
Kurve öffnet nach oben (wie ∪). f''(x) > 0 - konvex gekrümmt. Die Kurve liegt über ihren Tangenten.
Linkskrümmung
Kurve öffnet nach unten (wie ∩). f''(x) < 0 - konkav gekrümmt. Die Kurve liegt unter ihren Tangenten.
Wendepunkt
Krümmungswechsel: f''(x₀) = 0 und f''' (x₀) ≠ 0 oder Vorzeichenwechsel von f''.
Was ist Krümmung?
📖 Definition: Krümmungsverhalten
Die Krümmung beschreibt, wie stark eine Kurve gebogen ist. Die zweite Ableitung f''(x) gibt Auskunft über das Krümmungsverhalten.
Rechtskrümmung (konvex)
f''(x) > 0
- ✓ Kurve öffnet nach oben (wie ∪)
- ✓ Tangenten liegen unterhalb der Kurve
- ✓ Steigung nimmt zu (f' wird größer)
- ✓ Auch: konvex genannt
Linkskrümmung (konkav)
f''(x) < 0
- ✓ Kurve öffnet nach unten (wie ∩)
- ✓ Tangenten liegen oberhalb der Kurve
- ✓ Steigung nimmt ab (f' wird kleiner)
- ✓ Auch: konkav genannt
〰️ Wendepunkt
Ein Punkt W(x₀ | f(x₀)) heißt Wendepunkt, wenn die Kurve dort ihr Krümmungsverhalten ändert (von Rechts- zu Linkskrümmung oder umgekehrt).
Kriterien:
Zweite Ableitung gleich Null
f''(x₀) = 0
Die zweite Ableitung hat eine Nullstelle. Dies ist nur eine notwendige Bedingung!
Wendepunkt nachweisen
✅ Methode 1: Dritte Ableitung
f'''(x₀) ≠ 0
Wenn die dritte Ableitung an der Stelle x₀ ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.
✅ Methode 2: Vorzeichenwechsel von f''
f'' wechselt von + nach −
→ Wendepunkt (Rechts- zu Linkskrümmung)
f'' wechselt von − nach +
→ Wendepunkt (Links- zu Rechtskrümmung)
f'' wechselt Vorzeichen nicht
→ Kein Wendepunkt (Terrassenpunkt)
🎭 Spezialfall: Sattelpunkt (Terrassenpunkt)
Ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente:
Beispiel: f(x) = x³ hat bei x=0 einen Sattelpunkt.
🎯 Vorgehen: Wendepunkte bestimmen
Systematisches 4-Schritte-Verfahren
Zweite Ableitung bilden
f(x) → f''(x)
Bilde die zweite Ableitung der Funktion. Diese gibt Auskunft über das Krümmungsverhalten.
Gleichung f''(x) = 0 lösen
f''(x) = 0
Löse die Gleichung f''(x) = 0 nach x auf.
Die Lösungen sind mögliche Wendestellen (notwendiges Kriterium erfüllt).
Wendepunkt nachweisen
Option A: Dritte Ableitung
f'''(x₀) ≠ 0
Bilde f'''(x) und setze x₀ ein. Ist f'''(x₀) ≠ 0, liegt ein Wendepunkt vor.
Option B: Vorzeichenwechsel prüfen
Überprüfe das Vorzeichen von f''(x) links und rechts von x₀:
f''(x₀ − ε) ≠ f''(x₀ + ε) → Wendepunkt ✓
f''(x₀ − ε) = f''(x₀ + ε) → Kein WP ✗
y-Koordinaten berechnen
y₀ = f(x₀)
Setze die x-Werte in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um die y-Koordinaten zu erhalten.
Ergebnis: W(x₀ | y₀)
📝 Kurzübersicht
Zweite Ableitung f''(x) bilden
Gleichung f''(x) = 0 lösen → mögliche Wendestellen
Nachweis: f'''(x₀) ≠ 0 oder Vorzeichenwechsel prüfen
y-Wert berechnen: y₀ = f(x₀)
⚠️ Häufige Fehler
f''(x₀) = 0 ist schon der Nachweis für einen Wendepunkt.
f''(x₀) = 0 ist nur die notwendige Bedingung! Der Nachweis erfolgt über f'''(x₀) ≠ 0 oder einen Vorzeichenwechsel.
Viele verwechseln die notwendige Bedingung mit dem hinreichenden Kriterium. Bei f''(x₀) = 0 kann auch ein Terrassenpunkt (kein Wendepunkt) vorliegen.
Linkskrümmung bedeutet, die Funktion fällt.
Linkskrümmung (f'' < 0) bedeutet, die Kurve öffnet nach unten (∩). Die Funktion kann trotzdem steigen!
Krümmung und Steigung sind unabhängig! f'(x) bestimmt das Steigungsverhalten, f''(x) das Krümmungsverhalten.
Bei x⁴-Funktionen gibt es immer einen Wendepunkt bei x = 0.
Nicht automatisch! Man muss f''(x) = 0 lösen und den Vorzeichenwechsel oder f'''(x₀) ≠ 0 prüfen.
Bei f(x) = x⁴ ist f''(0) = 0, aber f'''(0) = 0 ebenfalls → kein Wendepunkt! Die Krümmung wechselt nicht.
Ein Wendepunkt kann nicht gleichzeitig ein Extremum sein.
Richtig! Bei einem Wendepunkt ist f''(x₀) = 0, bei einem Extremum muss f''(x₀) ≠ 0 sein (hinreichende Bedingung).
Ein Sattelpunkt hat zwar f'(x₀) = 0 (waagrechte Tangente), ist aber ein Wendepunkt, kein Extremum.
f''(x) > 0 bedeutet, die Funktion wächst.
f''(x) > 0 bedeutet Rechtskrümmung (konvex, ∪). Wachstum wird durch f'(x) > 0 beschrieben!
Häufige Verwechslung: f' bestimmt Steigung (wachsen/fallen), f'' bestimmt Krümmung (konvex/konkav).
Bei e-Funktionen mit Produktregel: e⁻ˣ = 0 setzen.
e⁻ˣ ist niemals null! Bei (Term) · e⁻ˣ = 0 muss nur der Term null gesetzt werden.
Die e-Funktion ist immer positiv. Bei f''(x) = (Polynom) · e⁻ˣ = 0 genügt es, das Polynom = 0 zu setzen.
💪 Übungen
Bestimme den Wendepunkt der Funktion:
Bestimme alle Wendepunkte der Funktion:
Bestimme die Wendepunkte und deren Art der Funktion:
Zeige, dass die Funktion bei x = 0 einen Sattelpunkt hat:
📋 Zusammenfassung
💡 Das Wichtigste
- •Krümmung: f'' > 0 = Rechtskrümmung ∪, f'' < 0 = Linkskrümmung ∩
- •Wendepunkt: Krümmungswechsel der Funktion
- •Notwendig: f''(x₀) = 0
- •Hinreichend: f'''(x₀) ≠ 0 oder VZW von f''
🎯 Vorgehen
- 1.f''(x) bilden
- 2.f''(x) = 0 lösen → mögliche WP
- 3.Nachweis: f'''(x₀) ≠ 0 oder VZW
- 4.y-Wert: y₀ = f(x₀)
⚠️ Häufige Fehler
- ✗f''(x₀) = 0 als Nachweis verwenden
- ✗Krümmung mit Steigung verwechseln
- ✗e⁻ˣ = 0 setzen
- ✗Vorzeichenwechsel nicht prüfen
🎓 Tipps fürs Abitur
1. Begriffe unterscheiden
Krümmung (f'') und Steigung (f') sind verschiedene Eigenschaften! Eine Funktion kann steigen und dabei rechts- oder linksgekrümmt sein.
2. Notwendig ≠ Hinreichend
f''(x₀) = 0 ist nur die notwendige Bedingung. Immer auch f'''(x₀) ≠ 0 prüfen oder Vorzeichenwechsel untersuchen!
3. Sattelpunkt erkennen
Wenn f'(x₀) = 0 UND f''(x₀) = 0 UND f'''(x₀) ≠ 0, liegt ein Sattelpunkt vor (Wendepunkt mit waagrechter Tangente).
4. Visualisierung nutzen
Stelle dir immer vor, wie die Kurve verläuft: ∪ = Rechtskrümmung (f'' > 0), ∩ = Linkskrümmung (f'' < 0). Ein Wendepunkt ist der Übergang.
5. Produktregel bei e-Funktionen
Bei Funktionen wie x² · e⁻ˣ die Produktregel mehrfach anwenden. Wichtig: e⁻ˣ ist niemals null!
6. Aufgabenstellung genau lesen
Manchmal wird nur nach möglichen Wendestellen gefragt (f''(x) = 0), manchmal nach nachgewiesenen Wendepunkten (+ f'''(x₀) ≠ 0).