Rechtskrümmung
Kurve öffnet nach oben (wie ∪). f''(x) > 0 - konvex gekrümmt. Die Kurve liegt über ihren Tangenten.
Linkskrümmung
Kurve öffnet nach unten (wie ∩). f''(x) < 0 - konkav gekrümmt. Die Kurve liegt unter ihren Tangenten.
Wendepunkt
Krümmungswechsel: f''(x₀) = 0 und f''' (x₀) ≠ 0 oder Vorzeichenwechsel von f''.
Was ist Krümmung?
Definition: Krümmungsverhalten
Die Krümmung beschreibt, wie stark eine Kurve gebogen ist. Die zweite Ableitung f''(x) gibt Auskunft über das Krümmungsverhalten.
Rechtskrümmung (konvex)
f''(x) > 0
- ✓ Kurve öffnet nach oben (wie ∪)
- ✓ Tangenten liegen unterhalb der Kurve
- ✓ Steigung nimmt zu (f' wird größer)
- ✓ Auch: konvex genannt
Linkskrümmung (konkav)
f''(x) < 0
- ✓ Kurve öffnet nach unten (wie ∩)
- ✓ Tangenten liegen oberhalb der Kurve
- ✓ Steigung nimmt ab (f' wird kleiner)
- ✓ Auch: konkav genannt
〰 Wendepunkt
Ein Punkt W(x₀ | f(x₀)) heißt Wendepunkt, wenn die Kurve dort ihr Krümmungsverhalten ändert (von Rechts- zu Linkskrümmung oder umgekehrt).
Kriterien:
Zweite Ableitung gleich Null
f''(x₀) = 0
Die zweite Ableitung hat eine Nullstelle. Dies ist nur eine notwendige Bedingung!
Wendepunkt nachweisen
Methode 1: Dritte Ableitung
f'''(x₀) ≠ 0
Wenn die dritte Ableitung an der Stelle x₀ ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.
Methode 2: Vorzeichenwechsel von f''
f'' wechselt von + nach −
→ Wendepunkt (Rechts- zu Linkskrümmung)
f'' wechselt von − nach +
→ Wendepunkt (Links- zu Rechtskrümmung)
f'' wechselt Vorzeichen nicht
→ Kein Wendepunkt (Terrassenpunkt)
Spezialfall: Sattelpunkt (Terrassenpunkt)
Ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente:
Beispiel: f(x) = x³ hat bei x=0 einen Sattelpunkt.
Vorgehen: Wendepunkte bestimmen
Systematisches 4-Schritte-Verfahren
Zweite Ableitung bilden
f(x) → f''(x)
Bilde die zweite Ableitung der Funktion. Diese gibt Auskunft über das Krümmungsverhalten.
Gleichung f''(x) = 0 lösen
f''(x) = 0
Löse die Gleichung f''(x) = 0 nach x auf.
Die Lösungen sind mögliche Wendestellen (notwendiges Kriterium erfüllt).
Wendepunkt nachweisen
Option A: Dritte Ableitung
f'''(x₀) ≠ 0
Bilde f'''(x) und setze x₀ ein. Ist f'''(x₀) ≠ 0, liegt ein Wendepunkt vor.
Option B: Vorzeichenwechsel prüfen
Überprüfe das Vorzeichen von f''(x) links und rechts von x₀:
f''(x₀ − ε) ≠ f''(x₀ + ε) → Wendepunkt ✓
f''(x₀ − ε) = f''(x₀ + ε) → Kein WP ✗
y-Koordinaten berechnen
y₀ = f(x₀)
Setze die x-Werte in die Ausgangsfunktion f(x) ein, um die y-Koordinaten zu erhalten.
Ergebnis: W(x₀ | y₀)
Kurzübersicht
Zweite Ableitung f''(x) bilden
Gleichung f''(x) = 0 lösen → mögliche Wendestellen
Nachweis: f'''(x₀) ≠ 0 oder Vorzeichenwechsel prüfen
y-Wert berechnen: y₀ = f(x₀)
Häufige Fehler
Typischer Fehler
Falschf''(x₀) = 0 ist schon der Nachweis für einen Wendepunkt.
Richtigf''(x₀) = 0 ist nur die notwendige Bedingung! Der Nachweis erfolgt über f'''(x₀) ≠ 0 oder einen Vorzeichenwechsel.
Viele verwechseln die notwendige Bedingung mit dem hinreichenden Kriterium. Bei f''(x₀) = 0 kann auch ein Terrassenpunkt (kein Wendepunkt) vorliegen.
Typischer Fehler
FalschLinkskrümmung bedeutet, die Funktion fällt.
RichtigLinkskrümmung (f'' < 0) bedeutet, die Kurve öffnet nach unten (∩). Die Funktion kann trotzdem steigen!
Krümmung und Steigung sind unabhängig! f'(x) bestimmt das Steigungsverhalten, f''(x) das Krümmungsverhalten.
Typischer Fehler
FalschBei x⁴-Funktionen gibt es immer einen Wendepunkt bei x = 0.
RichtigNicht automatisch! Man muss f''(x) = 0 lösen und den Vorzeichenwechsel oder f'''(x₀) ≠ 0 prüfen.
Bei f(x) = x⁴ ist f''(0) = 0, aber f'''(0) = 0 ebenfalls → kein Wendepunkt! Die Krümmung wechselt nicht.
Typischer Fehler
FalschEin Wendepunkt kann nicht gleichzeitig ein Extremum sein.
RichtigRichtig! Bei einem Wendepunkt ist f''(x₀) = 0, bei einem Extremum muss f''(x₀) ≠ 0 sein (hinreichende Bedingung).
Ein Sattelpunkt hat zwar f'(x₀) = 0 (waagrechte Tangente), ist aber ein Wendepunkt, kein Extremum.
Typischer Fehler
Falschf''(x) > 0 bedeutet, die Funktion wächst.
Richtigf''(x) > 0 bedeutet Rechtskrümmung (konvex, ∪). Wachstum wird durch f'(x) > 0 beschrieben!
Häufige Verwechslung: f' bestimmt Steigung (wachsen/fallen), f'' bestimmt Krümmung (konvex/konkav).
Typischer Fehler
FalschBei e-Funktionen mit Produktregel: e⁻ˣ = 0 setzen.
Richtige⁻ˣ ist niemals null! Bei (Term) · e⁻ˣ = 0 muss nur der Term null gesetzt werden.
Die e-Funktion ist immer positiv. Bei f''(x) = (Polynom) · e⁻ˣ = 0 genügt es, das Polynom = 0 zu setzen.
Übungen
Aufgabe · Mittel
Bestimme den Wendepunkt der Funktion:
Hinweis Bilde f''(x) und löse f''(x) = 0. Prüfe mit f'''(x₀) ≠ 0. Berechne den y-Wert mit f(x₀).
Lösung anzeigen
Lösung:
f(x) = −x³ + 6x² − 9x + 1
f'(x) = −3x² + 12x − 9
f''(x) = −6x + 12
Nullstelle von f'':
−6x + 12 = 0
x = 2
Nachweis:
f'''(x) = −6 ≠ 0 ✓
y-Koordinate:
f(2) = −8 + 24 − 18 + 1 = −1
Wendepunkt: W(2 | −1)
Aufgabe · Mittel
Bestimme alle Wendepunkte der Funktion:
Hinweis f''(x) = 0 kann mehrere Lösungen haben. Jede Lösung einzeln überprüfen mit f'''. Ausklammern hilft beim Lösen.
Lösung anzeigen
Ableitungen:
f'(x) = 8x³ − 24x² + 12x
f''(x) = 24x² − 48x + 12
f'''(x) = 48x − 48
f''(x) = 0:
24x² − 48x + 12 = 0
24(x² − 2x + 0,5) = 0
x = (2 ± √(4−2)) / 2
x = (2 ± √2) / 2
x₁ ≈ 0,29 oder x₂ ≈ 1,71
Nachweis:
f'''(0,29) = 48·0,29 − 48 ≈ −34 ≠ 0 ✓
f'''(1,71) = 48·1,71 − 48 ≈ 34 ≠ 0 ✓
y-Koordinaten:
f(0,29) ≈ 3,38
f(1,71) ≈ 0,38
Wendepunkte:
W₁(0,29 | 3,38)
W₂(1,71 | 0,38)
Aufgabe · Mittel
Bestimme die Wendepunkte und deren Art der Funktion:
Hinweis Produktregel bei jeder Ableitung anwenden. e⁻ˣ ist niemals null! Es gibt zwei Wendepunkte.
Lösung anzeigen
Ableitungen (Produktregel):
f'(x) = 3x² · e⁻ˣ − x³ · e⁻ˣ
f'(x) = (3x² − x³) · e⁻ˣ
f''(x) = (6x − 3x²) · e⁻ˣ − (3x² − x³) · e⁻ˣ
f''(x) = (−x³ + 6x² − 6x) · e⁻ˣ
f''(x) = 0:
(−x³ + 6x² − 6x) · e⁻ˣ = 0
−x(x² − 6x + 6) = 0
x₁ = 0 oder x² − 6x + 6 = 0
x₂,₃ = (6 ± √12) / 2
x₂ ≈ 1,27 oder x₃ ≈ 4,73
Prüfung mit Vorzeichenwechsel:
Bei x = 0: f'' wechselt Vorzeichen nicht → Kein WP ✗
Bei x ≈ 1,27: VZW ✓ (− → +, Links- zu Rechtskrümmung)
Bei x ≈ 4,73: VZW ✓ (+ → −, Rechts- zu Linkskrümmung)
y-Koordinaten:
f(1,27) ≈ 0,57
f(4,73) ≈ 0,94
Wendepunkte:
W₁(1,27 | 0,57) – Links → Rechts
W₂(4,73 | 0,94) – Rechts → Links
Aufgabe · Mittel
Zeige, dass die Funktion bei x = 0 einen Sattelpunkt hat:
Hinweis Sattelpunkt = Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Bedingung: f'(x₀) = 0 UND f''(x₀) = 0 UND f'''(x₀) ≠ 0
Lösung anzeigen
Ableitungen:
f(x) = x³
f'(x) = 3x²
f''(x) = 6x
f'''(x) = 6
Prüfung bei x = 0:
f'(0) = 0 ✓
→ Waagrechte Tangente
f''(0) = 0 ✓
→ Möglicher Wendepunkt
f'''(0) = 6 ≠ 0 ✓
→ Wendepunkt bestätigt
y-Koordinate:
f(0) = 0³ = 0
Sattelpunkt: S(0 | 0)
Da alle drei Bedingungen erfüllt sind, liegt ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente vor.
Zusammenfassung
Das Wichtigste
- •Krümmung: f'' > 0 = Rechtskrümmung ∪, f'' < 0 = Linkskrümmung ∩
- •Wendepunkt: Krümmungswechsel der Funktion
- •Notwendig: f''(x₀) = 0
- •Hinreichend: f'''(x₀) ≠ 0 oder VZW von f''
Vorgehen
- 1.f''(x) bilden
- 2.f''(x) = 0 lösen → mögliche WP
- 3.Nachweis: f'''(x₀) ≠ 0 oder VZW
- 4.y-Wert: y₀ = f(x₀)
Häufige Fehler
- ✗f''(x₀) = 0 als Nachweis verwenden
- ✗Krümmung mit Steigung verwechseln
- ✗e⁻ˣ = 0 setzen
- ✗Vorzeichenwechsel nicht prüfen
Tipps fürs Abitur
1. Begriffe unterscheiden
Krümmung (f'') und Steigung (f') sind verschiedene Eigenschaften! Eine Funktion kann steigen und dabei rechts- oder linksgekrümmt sein.
2. Notwendig ≠ Hinreichend
f''(x₀) = 0 ist nur die notwendige Bedingung. Immer auch f'''(x₀) ≠ 0 prüfen oder Vorzeichenwechsel untersuchen!
3. Sattelpunkt erkennen
Wenn f'(x₀) = 0 UND f''(x₀) = 0 UND f'''(x₀) ≠ 0, liegt ein Sattelpunkt vor (Wendepunkt mit waagrechter Tangente).
4. Visualisierung nutzen
Stelle dir immer vor, wie die Kurve verläuft: ∪ = Rechtskrümmung (f'' > 0), ∩ = Linkskrümmung (f'' < 0). Ein Wendepunkt ist der Übergang.
5. Produktregel bei e-Funktionen
Bei Funktionen wie x² · e⁻ˣ die Produktregel mehrfach anwenden. Wichtig: e⁻ˣ ist niemals null!
6. Aufgabenstellung genau lesen
Manchmal wird nur nach möglichen Wendestellen gefragt (f''(x) = 0), manchmal nach nachgewiesenen Wendepunkten (+ f'''(x₀) ≠ 0).
Ein Beispiel
Untersuche f(x) = x³ auf Wendepunkte.
- Leite zweimal ab: f′(x) = 3x² und f″(x) = 6x. Als Kandidat ergibt sich x = 0.
- Für x < 0 ist f″ negativ, für x > 0 positiv. Die Krümmung wechselt tatsächlich.
- f(0) = 0 ergibt W(0, 0). Weil zusätzlich f′(0) = 0 ist, liegt ein stationärer Wendepunkt vor.
Darauf kommt es an
Eine Nullstelle von f″ ist noch kein Nachweis: Bei f(x) = x⁴ ist f″(0) = 0, aber die Krümmung wechselt dort nicht.
Aufgabe
Hat f(x) = x³ + x einen Wendepunkt mit waagerechter Tangente?
Lösung und Rechenweg anzeigen
f″(x) = 6x wechselt bei 0 das Vorzeichen, also W(0, 0). Aber f′(0) = 1: Die Tangente ist nicht waagerecht.