Durchschnittswert
Der Mittelwert beschreibt die durchschnittliche Höhe einer Funktion über einem Intervall
Integralformel
μ = (1/(b−a)) · ∫ₐᵇ f(x) dx kombiniert Integration mit der Intervallänge
Geometrische Deutung
Der Mittelwert ist die Höhe eines Rechtecks mit gleichem Flächeninhalt
Was ist der Mittelwert einer Funktion?
Der Mittelwert (oder Integralmittelwert) einer Funktion f über einem Intervall [a, b] gibt den durchschnittlichen Funktionswert in diesem Bereich an.
Formel für den Integralmittelwert
μ (my) = Mittelwert
a, b = Intervallgrenzen
Wichtig: Zwei Schritte
- 1. Integral berechnen: Finde ∫ₐᵇ f(x) dx (Gesamtfläche)
- 2. Durch Intervallänge teilen: Teile durch (b − a)
Geometrische Interpretation
Der Mittelwert μ ist die Höhe eines Rechtecks über [a, b], das denselben Flächeninhalt wie die Fläche unter f(x) hat:
Herleitung der Formel
Die Formel für den Mittelwert lässt sich aus der geometrischen Interpretation herleiten:
Ausgangspunkt: Flächengleichheit
Rechteckfläche = Fläche unter der Kurve
Nach μ auflösen (durch (b − a) teilen)
Alternative Schreibweise
Der Faktor 1/(b−a) normiert das Integral auf die Intervallänge
Bedeutung des Faktors 1/(b−a)
Je länger das Intervall, desto größer ist die Gesamtfläche unter der Kurve. Der Faktor 1/(b−a) gleicht dies aus und gibt den durchschnittlichen Wert pro Längeneinheit an.
Vorgehen: Mittelwert berechnen
Um den Mittelwert einer Funktion f über [a, b] zu berechnen, folge diesen Schritten:
Stammfunktion bilden
Bestimme die Stammfunktion F(x) von f(x)
Bestimmtes Integral berechnen
Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an
Intervallänge berechnen
Bestimme die Länge des Intervalls
Durch Intervallänge teilen
Teile das Integral durch (b − a)
Ergebnis angeben und interpretieren
Gib den Mittelwert an und interpretiere ihn: "Der durchschnittliche Funktionswert beträgt μ."
Häufiger Fehler
Vergiss nicht, durch (b − a) zu teilen! Ohne diese Division hast du nur das bestimmte Integral berechnet, nicht den Mittelwert.
Anwendungen des Mittelwerts
Der Integralmittelwert findet in vielen praktischen Bereichen Anwendung:
Durchschnittstemperatur
Die mittlere Temperatur über einen Tag oder eine Woche berechnen
Durchschnittsleistung
Die mittlere elektrische Leistung über einen Zeitraum ermitteln
Durchschnittsgeschwindigkeit
Die mittlere Geschwindigkeit bei variabler Fahrweise berechnen
Durchschnittlicher Gewinn
Der mittlere Gewinn oder Umsatz über einen Zeitraum
Praktischer Nutzen
Der Mittelwert fasst eine kontinuierliche Veränderung in einer einzigen Zahl zusammen. Er ist besonders nützlich, wenn die Funktion stark schwankt und man einen repräsentativen Wert für das gesamte Intervall braucht.
Häufige Fehler beim Mittelwert
Typischer Fehler
Falschμ = ∫₀³ x² dx = 9
Richtigμ = (1/(3−0)) · ∫₀³ x² dx = 9/3 = 3
Vergiss nicht, durch die Intervallänge (b − a) zu teilen! Ohne Division hast du nur das bestimmte Integral berechnet.
Typischer Fehler
Falschμ = 1/(b−a) · [F(b) + F(a)]
Richtigμ = 1/(b−a) · [F(b) − F(a)]
Bei der Auswertung des bestimmten Integrals wird F(a) subtrahiert, nicht addiert.
Typischer Fehler
Falschμ = (b−a) · ∫ₐᵇ f(x) dx
Richtigμ = 1/(b−a) · ∫ₐᵇ f(x) dx
Der Mittelwert wird durch (b−a) geteilt, nicht multipliziert. Achte auf den Bruch 1/(b−a).
Typischer Fehler
FalschBei f(x) = x² ist μ immer 3
RichtigDer Mittelwert hängt vom Intervall ab: über [0,3] ist μ = 3, über [0,2] ist μ = 4/3
Der Mittelwert einer Funktion ist nicht konstant – er ändert sich je nach betrachtetem Intervall.
Typischer Fehler
Falschμ = f((a+b)/2)
Richtigμ = 1/(b−a) · ∫ₐᵇ f(x) dx
Der Mittelwert ist NICHT einfach der Funktionswert in der Intervallmitte. Das gilt nur für lineare Funktionen.
Typischer Fehler
FalschFür μ = (e²−1)/2 ist das Ergebnis 2.195
Richtig(e²−1)/2 ≈ (7.389−1)/2 ≈ 6.389/2 ≈ 3.195
Achte beim Rechnen mit e auf die korrekten Werte: e² ≈ 7.389, nicht 5.389.
Übungsaufgaben
Aufgabe · Mittel
Berechne den Mittelwert der Funktion f(x) = 3x² über dem Intervall [1, 4].
Hinweis Bilde zuerst die Stammfunktion F(x) = x³, berechne das bestimmte Integral und teile durch die Intervallänge.
Lösung anzeigen
Schritt 1: Stammfunktion
F(x) = x³
Schritt 2: Integral
∫₁⁴ 3x² dx = [x³]₁⁴ = 4³ − 1³ = 64 − 1 = 63
Schritt 3: Mittelwert
μ = 63/(4−1) = 63/3 = 21
Ergebnis: μ = 21
Aufgabe · Mittel
Bestimme den Mittelwert von f(x) = sin(x) über dem Intervall [0, π].
Hinweis Die Stammfunktion von sin(x) ist −cos(x). Achte auf das Vorzeichen!
Lösung anzeigen
Schritt 1: Stammfunktion
F(x) = −cos(x)
Schritt 2: Integral
∫₀^π sin(x) dx = [−cos(x)]₀^π
= −cos(π) − (−cos(0))
= −(−1) − (−1) = 1 + 1 = 2
Schritt 3: Mittelwert
μ = 2/(π−0) = 2/π ≈ 0.637
Ergebnis: μ = 2/π ≈ 0.637
Der Mittelwert der Sinusfunktion über eine halbe Periode ist 2/π.
Aufgabe · Mittel
Die Temperatur über einen Tag wird durch T(t) = −2t² + 12t + 10(in °C) beschrieben, wobei t die Zeit in Stunden (0 ≤ t ≤ 6) ist.
Berechne die durchschnittliche Temperatur über diesen Zeitraum.
Hinweis Bilde die Stammfunktion von T(t), berechne das Integral von 0 bis 6 und teile durch 6.
Lösung anzeigen
Schritt 1: Stammfunktion
T(t) = −2t² + 12t + 10
F(t) = −(2/3)t³ + 6t² + 10t
Schritt 2: Integral
∫₀⁶ T(t) dt = [−(2/3)t³ + 6t² + 10t]₀⁶
= −(2/3)·216 + 6·36 + 10·6 − 0
= −144 + 216 + 60 = 132
Schritt 3: Durchschnittstemperatur
μ = 132/6 = 22
Ergebnis: Die durchschnittliche Temperatur beträgt 22°C.
Aufgabe · Mittel
Zeige, dass für jede lineare Funktion f(x) = mx + cder Mittelwert über [a, b] gleich dem Funktionswert an der Intervallmitte ist:
μ = f((a+b)/2)
Hinweis Berechne den Mittelwert allgemein für f(x) = mx + c und vergleiche mit f((a+b)/2).
Lösung anzeigen
Schritt 1: Stammfunktion
F(x) = (m/2)x² + cx
Schritt 2: Integral
∫ₐᵇ (mx + c) dx = [(m/2)x² + cx]ₐᵇ
= [(m/2)b² + cb] − [(m/2)a² + ca]
= (m/2)(b² − a²) + c(b − a)
Schritt 3: Mittelwert
μ = [(m/2)(b² − a²) + c(b − a)] / (b − a)
= (m/2)·(b² − a²)/(b − a) + c
= (m/2)·(b + a) + c
(weil b² − a² = (b−a)(b+a))
Schritt 4: Vergleich mit f((a+b)/2)
f((a+b)/2) = m·(a+b)/2 + c = (m/2)(a+b) + c
✓ Bewiesen: μ = f((a+b)/2)
Bei linearen Funktionen entspricht der Mittelwert immer dem Funktionswert in der Intervallmitte. Dies gilt jedoch NUR für lineare Funktionen!
Zusammenfassung & Abitur-Tipps
Das Wichtigste
- →Mittelwert = Integral geteilt durch Intervallänge
- →Formel: μ = 1/(b−a) · ∫ₐᵇ f(x) dx
- →Geometrisch: Rechteckhöhe mit gleicher Fläche
Vorgehen
- 1.Stammfunktion F(x) bilden
- 2.Integral ∫ₐᵇ f(x) dx berechnen
- 3.Durch (b − a) teilen
- 4.Ergebnis interpretieren
Häufige Fehler
- ✗Division durch (b−a) vergessen
- ✗F(a) addieren statt subtrahieren
- ✗Mit (b−a) multiplizieren statt teilen
Abitur-Tipps
- 1.Formel gut merken: μ = 1/(b−a) · ∫ₐᵇ f(x) dx. Diese Formel steht meist nicht in der Formelsammlung!
- 2.Einheiten beachten: Der Mittelwert hat dieselbe Einheit wie f(x). Bei Anwendungsaufgaben (Temperatur, Geschwindigkeit) gehört die Einheit zur Antwort.
- 3.Sonderfälle erkennen: Bei linearen Funktionen ist μ = f((a+b)/2). Bei symmetrischen Funktionen kann man oft nur eine Hälfte berechnen.
- 4.Geometrische Deutung nutzen: Skizziere die Funktion und das Rechteck mit Höhe μ – das hilft beim Verständnis und zur Plausibilitätsprüfung.
- 5.Häufig kombiniert mit: Bestimmte Integrale, Flächenberechnungen, Anwendungsaufgaben (Physik, Wirtschaft). Der Mittelwert ist oft ein Zwischenschritt.
- 6.Probe: Der Mittelwert sollte zwischen dem kleinsten und größten Funktionswert im Intervall liegen. Liegt er außerhalb, hast du einen Rechenfehler gemacht.
Ein Beispiel
Bestimme den Mittelwert von f(x) = x² auf [0; 3].
- Die Intervalllänge beträgt 3 − 0 = 3.
- Das Integral ist [x³/3] von 0 bis 3, also 9.
- Teile 9 durch 3. Die mittlere Funktionshöhe ist 3. Ein Rechteck mit Breite 3 und Höhe 3 hat ebenfalls die Fläche 9.
Darauf kommt es an
Teile durch b − a, nicht nur durch b. Der Durchschnitt der Randwerte ist nur für bestimmte Funktionen, etwa lineare, gleich dem Integralmittelwert.
Aufgabe
Bestimme den Mittelwert von f(x) = 2x auf [1; 3].
Lösung und Rechenweg anzeigen
Das Integral ist [x²]₁³ = 8. Die Länge ist 2. Der Mittelwert beträgt 4.