Mittelwert einer Funktion
Integralmittelwert: durchschnittliche Funktionshöhe über ein Intervall.
Mittelwert einer Funktion
Der Integralmittelwert gibt den durchschnittlichen Funktionswert über einem Intervall an
Durchschnittswert
Der Mittelwert beschreibt die durchschnittliche Höhe einer Funktion über einem Intervall
Integralformel
μ = (1/(b−a)) · ∫ₐᵇ f(x) dx kombiniert Integration mit der Intervallänge
Geometrische Deutung
Der Mittelwert ist die Höhe eines Rechtecks mit gleichem Flächeninhalt
Was ist der Mittelwert einer Funktion?
Der Mittelwert (oder Integralmittelwert) einer Funktion f über einem Intervall [a, b] gibt den durchschnittlichen Funktionswert in diesem Bereich an.
Formel für den Integralmittelwert
μ (my) = Mittelwert
a, b = Intervallgrenzen
💡 Wichtig: Zwei Schritte
- 1. Integral berechnen: Finde ∫ₐᵇ f(x) dx (Gesamtfläche)
- 2. Durch Intervallänge teilen: Teile durch (b − a)
📐 Geometrische Interpretation
Der Mittelwert μ ist die Höhe eines Rechtecks über [a, b], das denselben Flächeninhalt wie die Fläche unter f(x) hat:
Herleitung der Formel
Die Formel für den Mittelwert lässt sich aus der geometrischen Interpretation herleiten:
Ausgangspunkt: Flächengleichheit
Rechteckfläche = Fläche unter der Kurve
Nach μ auflösen (durch (b − a) teilen)
Alternative Schreibweise
Der Faktor 1/(b−a) normiert das Integral auf die Intervallänge
🎯 Bedeutung des Faktors 1/(b−a)
Je länger das Intervall, desto größer ist die Gesamtfläche unter der Kurve. Der Faktor 1/(b−a) gleicht dies aus und gibt den durchschnittlichen Wert pro Längeneinheit an.
Vorgehen: Mittelwert berechnen
Um den Mittelwert einer Funktion f über [a, b] zu berechnen, folge diesen Schritten:
Stammfunktion bilden
Bestimme die Stammfunktion F(x) von f(x)
Bestimmtes Integral berechnen
Wende den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung an
Intervallänge berechnen
Bestimme die Länge des Intervalls
Durch Intervallänge teilen
Teile das Integral durch (b − a)
Ergebnis angeben und interpretieren
Gib den Mittelwert an und interpretiere ihn: "Der durchschnittliche Funktionswert beträgt μ."
⚠️ Häufiger Fehler
Vergiss nicht, durch (b − a) zu teilen! Ohne diese Division hast du nur das bestimmte Integral berechnet, nicht den Mittelwert.
Anwendungen des Mittelwerts
Der Integralmittelwert findet in vielen praktischen Bereichen Anwendung:
Durchschnittstemperatur
Die mittlere Temperatur über einen Tag oder eine Woche berechnen
Durchschnittsleistung
Die mittlere elektrische Leistung über einen Zeitraum ermitteln
Durchschnittsgeschwindigkeit
Die mittlere Geschwindigkeit bei variabler Fahrweise berechnen
Durchschnittlicher Gewinn
Der mittlere Gewinn oder Umsatz über einen Zeitraum
💡 Praktischer Nutzen
Der Mittelwert fasst eine kontinuierliche Veränderung in einer einzigen Zahl zusammen. Er ist besonders nützlich, wenn die Funktion stark schwankt und man einen repräsentativen Wert für das gesamte Intervall braucht.
Häufige Fehler beim Mittelwert
μ = ∫₀³ x² dx = 9
μ = (1/(3−0)) · ∫₀³ x² dx = 9/3 = 3
Vergiss nicht, durch die Intervallänge (b − a) zu teilen! Ohne Division hast du nur das bestimmte Integral berechnet.
μ = 1/(b−a) · [F(b) + F(a)]
μ = 1/(b−a) · [F(b) − F(a)]
Bei der Auswertung des bestimmten Integrals wird F(a) subtrahiert, nicht addiert.
μ = (b−a) · ∫ₐᵇ f(x) dx
μ = 1/(b−a) · ∫ₐᵇ f(x) dx
Der Mittelwert wird durch (b−a) geteilt, nicht multipliziert. Achte auf den Bruch 1/(b−a).
Bei f(x) = x² ist μ immer 3
Der Mittelwert hängt vom Intervall ab: über [0,3] ist μ = 3, über [0,2] ist μ = 4/3
Der Mittelwert einer Funktion ist nicht konstant – er ändert sich je nach betrachtetem Intervall.
μ = f((a+b)/2)
μ = 1/(b−a) · ∫ₐᵇ f(x) dx
Der Mittelwert ist NICHT einfach der Funktionswert in der Intervallmitte. Das gilt nur für lineare Funktionen.
Für μ = (e²−1)/2 ist das Ergebnis 2.195
(e²−1)/2 ≈ (7.389−1)/2 ≈ 6.389/2 ≈ 3.195
Achte beim Rechnen mit e auf die korrekten Werte: e² ≈ 7.389, nicht 5.389.
Übungsaufgaben
Berechne den Mittelwert der Funktion f(x) = 3x² über dem Intervall [1, 4].
Bestimme den Mittelwert von f(x) = sin(x) über dem Intervall [0, π].
Die Temperatur über einen Tag wird durch T(t) = −2t² + 12t + 10(in °C) beschrieben, wobei t die Zeit in Stunden (0 ≤ t ≤ 6) ist.
Berechne die durchschnittliche Temperatur über diesen Zeitraum.
Zeige, dass für jede lineare Funktion f(x) = mx + cder Mittelwert über [a, b] gleich dem Funktionswert an der Intervallmitte ist:
μ = f((a+b)/2)
Zusammenfassung & Abitur-Tipps
📐 Das Wichtigste
- →Mittelwert = Integral geteilt durch Intervallänge
- →Formel: μ = 1/(b−a) · ∫ₐᵇ f(x) dx
- →Geometrisch: Rechteckhöhe mit gleicher Fläche
🎯 Vorgehen
- 1.Stammfunktion F(x) bilden
- 2.Integral ∫ₐᵇ f(x) dx berechnen
- 3.Durch (b − a) teilen
- 4.Ergebnis interpretieren
⚠️ Häufige Fehler
- ✗Division durch (b−a) vergessen
- ✗F(a) addieren statt subtrahieren
- ✗Mit (b−a) multiplizieren statt teilen
🎓 Abitur-Tipps
- 1.Formel gut merken: μ = 1/(b−a) · ∫ₐᵇ f(x) dx. Diese Formel steht meist nicht in der Formelsammlung!
- 2.Einheiten beachten: Der Mittelwert hat dieselbe Einheit wie f(x). Bei Anwendungsaufgaben (Temperatur, Geschwindigkeit) gehört die Einheit zur Antwort.
- 3.Sonderfälle erkennen: Bei linearen Funktionen ist μ = f((a+b)/2). Bei symmetrischen Funktionen kann man oft nur eine Hälfte berechnen.
- 4.Geometrische Deutung nutzen: Skizziere die Funktion und das Rechteck mit Höhe μ – das hilft beim Verständnis und zur Plausibilitätsprüfung.
- 5.Häufig kombiniert mit: Bestimmte Integrale, Flächenberechnungen, Anwendungsaufgaben (Physik, Wirtschaft). Der Mittelwert ist oft ein Zwischenschritt.
- 6.Probe: Der Mittelwert sollte zwischen dem kleinsten und größten Funktionswert im Intervall liegen. Liegt er außerhalb, hast du einen Rechenfehler gemacht.