Monotonie untersuchen
Wo steigt/fällt die Funktion? Vorzeichentabelle der ersten Ableitung.
Monotonie untersuchen
Wo steigt und wo fällt die Funktion?
Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion: Wo nimmt sie zu, wo nimmt sie ab? Mit der ersten Ableitung f'(x) können wir diese Frage systematisch beantworten. Diese Analyse ist ein zentraler Bestandteil jeder Kurvendiskussion im Abitur.
Steigend
Wenn f'(x) > 0, dann steigt die Funktion: Je größer x wird, desto größer wird f(x).
Fallend
Wenn f'(x) < 0, dann fällt die Funktion: Je größer x wird, desto kleiner wird f(x).
Kriterium
Die erste Ableitung ist der Schlüssel: Ihr Vorzeichen verrät das Monotonieverhalten.
Was bedeutet Monotonie?
📚 Die vier Monotonie-Typen
Streng monoton steigend
strictly increasing
Bedeutung:
Für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂)
Die Funktion nimmt strikt zu, keine horizontalen Abschnitte.
✓ Kriterium:
f'(x) > 0
für alle x im Intervall
Streng monoton fallend
strictly decreasing
Bedeutung:
Für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) > f(x₂)
Die Funktion nimmt strikt ab, keine horizontalen Abschnitte.
✓ Kriterium:
f'(x) < 0
für alle x im Intervall
Monoton steigend
increasing
Bedeutung:
Für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) ≤ f(x₂)
Die Funktion nimmt zu oder bleibt konstant.
✓ Kriterium:
f'(x) ≥ 0
für alle x im Intervall
Monoton fallend
decreasing
Bedeutung:
Für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) ≥ f(x₂)
Die Funktion nimmt ab oder bleibt konstant.
✓ Kriterium:
f'(x) ≤ 0
für alle x im Intervall
⚠️ Wichtig im Abitur:
In den meisten Abituraufgaben wird "streng monoton" verlangt, also f'(x) > 0 oder f'(x) < 0. Punkte mit f'(x) = 0 werden dann aus den Monotonie-Intervallen ausgeschlossen!
Monotonie systematisch untersuchen
🎯 4-Schritte-Verfahren
Erste Ableitung bilden
Berechne f'(x), um die Steigung der Funktion zu erhalten.
Beispiel: f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5
f'(x) = 3x² - 6x - 9
Nullstellen der Ableitung finden
Löse f'(x) = 0. Diese Punkte trennen die Monotonie-Intervalle.
3x² - 6x - 9 = 0
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x₁ = -1, x₂ = 3
💡 Diese Punkte sind oft Extremstellen (Maximum oder Minimum) der Funktion.
Vorzeichen in Intervallen testen
Wähle Testwerte in jedem Intervall und prüfe das Vorzeichen von f'(x).
Intervall 1: x < -1
Testwert: x = -2
f'(-2) = 3·4 - 6·(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15
✓ f'(-2) > 0 → steigend
Intervall 2: -1 < x < 3
Testwert: x = 0
f'(0) = 3·0 - 6·0 - 9 = -9
✓ f'(0) < 0 → fallend
Intervall 3: x > 3
Testwert: x = 4
f'(4) = 3·16 - 6·4 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15
✓ f'(4) > 0 → steigend
Monotonie-Intervalle aufschreiben
Formuliere die Ergebnisse mit korrekter Intervall-Notation.
f ist streng monoton steigend für:
x ∈ (-∞; -1) ∪ (3; ∞)
f ist streng monoton fallend für:
x ∈ (-1; 3)
⚠️ Achtung: Bei "streng monoton" werden die Punkte x = -1 und x = 3 mit runden Klammern ausgeschlossen, da dort f'(x) = 0 ist!
📊 Vorzeichentabelle
| Intervall | x < -1 | x = -1 | -1 < x < 3 | x = 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| Monotonie | steigend ↗ | Maximum | fallend ↘ | Minimum | steigend ↗ |
Ausführliche Beispiele
📊 Beispiel 1: Quadratische Funktion
Aufgabe:
Untersuche f(x) = -x² + 4x - 3 auf Monotonie.
Lösung:
Schritt 1: Ableitung
f'(x) = -2x + 4
Schritt 2: Nullstellen
-2x + 4 = 0
x = 2
Schritt 3: Vorzeichentest
x = 0: f'(0) = 4 > 0 ✓
x = 3: f'(3) = -2 < 0 ✓
Ergebnis:
Steigend:
x ∈ (-∞; 2)
Fallend:
x ∈ (2; ∞)
💡 Interpretation:
Bei x = 2 hat die Parabel ihr Maximum. Links davon steigt sie, rechts davon fällt sie. Das ist typisch für nach unten geöffnete Parabeln.
f(x) = -x² + 4x - 3
📈 Beispiel 2: Kubische Funktion (bereits gezeigt oben)
Aufgabe:
Untersuche f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5 auf Monotonie.
Zusammenfassung:
f'(x) = 3x² - 6x - 9
Nullstellen: x = -1, x = 3
Steigend: x ∈ (-∞; -1) ∪ (3; ∞)
Fallend: x ∈ (-1; 3)
💡 Beobachtung:
Kubische Funktionen mit positivem x³-Koeffizient haben meist diese Form: steigend → Maximum → fallend → Minimum → steigend.
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5
🔬 Beispiel 3: e-Funktion
Aufgabe:
Untersuche f(x) = x · e^(-x) auf Monotonie.
Lösung:
Schritt 1: Ableitung (Produktregel)
f'(x) = 1 · e^(-x) + x · (-e^(-x))
f'(x) = e^(-x) - x · e^(-x)
f'(x) = e^(-x)(1 - x)
Schritt 2: Nullstellen
e^(-x)(1 - x) = 0
e^(-x) ≠ 0 für alle x
⟹ 1 - x = 0 ⟹ x = 1
Schritt 3: Vorzeichentest
x = 0: f'(0) = e⁰(1-0) = 1 > 0 ✓
x = 2: f'(2) = e^(-2)(1-2) = -e^(-2) < 0 ✓
Ergebnis:
Steigend:
x ∈ (-∞; 1)
Fallend:
x ∈ (1; ∞)
💡 Wichtig:
e^(-x) ist immer positiv! Daher hängt das Vorzeichen von f'(x) nur vom Faktor (1 - x) ab.
Bei x = 1 hat die Funktion ein Maximum mit f(1) = 1/e ≈ 0,368.
f(x) = x · e^(-x)
Übungsaufgaben
Häufige Fehler
Vorzeichen verwechselt
Wenn f'(x) < 0, dann steigt die Funktion.
f'(x) < 0 bedeutet fallend, f'(x) > 0 bedeutet steigend!
Intervall-Notation falsch
Steigend für x ∈ [-1; 3] (bei streng monoton)
Bei streng monoton: runde Klammern verwenden, da f'(x) = 0 an den Randpunkten!
Nullstellen vergessen
Nur eine Nullstelle von f'(x) = x(x-2) gefunden: x = 2
Auch x = 0 ist eine Nullstelle! Immer faktorisieren oder pq-Formel korrekt anwenden.
Vorzeichentest nicht durchgeführt
Nach dem Finden der Nullstellen direkt das Monotonieverhalten behaupten.
Immer Testwerte in jedem Intervall einsetzen, um das Vorzeichen zu prüfen!
Definitionsbereich ignoriert
Bei f(x) = 1/x das Intervall (-∞; ∞) angeben.
Definitionslücken berücksichtigen! Hier: (-∞; 0) und (0; ∞) getrennt betrachten.
Streng vs. nicht-streng verwechselt
f'(x) ≥ 0 für 'streng monoton steigend' verwenden.
Streng monoton: f'(x) > 0. Monoton (nicht streng): f'(x) ≥ 0.
Zusammenfassung & Abitur-Tipps
Das Wichtigste
- ✓ f'(x) > 0 ⟹ steigend
- ✓ f'(x) < 0 ⟹ fallend
- ✓ f'(x) = 0 ⟹ mögliche Extremstelle
- ✓ Vorzeichenwechsel prüfen!
Vorgehen
- 1. Ableitung f'(x) bilden
- 2. f'(x) = 0 lösen
- 3. Testwerte einsetzen
- 4. Intervalle notieren
Häufige Fehler
- ✗ Vorzeichen verwechseln
- ✗ Nullstellen vergessen
- ✗ Keine Testwerte prüfen
- ✗ Falsche Klammern
🎓 Abitur-Tipps
1. Immer systematisch vorgehen
Halte dich strikt an die 4 Schritte. Das gibt volle Punktzahl und verhindert Fehler.
2. Vorzeichentabelle anlegen
Eine saubere Tabelle macht deine Lösung übersichtlich und zeigt dem Korrektor dein Vorgehen.
3. Auf "streng" achten
Wenn die Aufgabe "streng monoton" verlangt, müssen die Nullstellen von f'(x) aus den Intervallen ausgeschlossen werden!
4. Rechnung zeigen
Schreibe die Testwerte explizit hin: "f'(0) = ... > 0 ✓". Das gibt Teilpunkte, selbst bei kleinen Rechenfehlern.
5. Antwort formulieren
Schreibe einen vollständigen Antwortsatz: "Die Funktion ist streng monoton steigend für x ∈ ..."
6. Definitionsbereich beachten
Bei Brüchen, Wurzeln oder Logarithmen: Definitionslücken berücksichtigen!