Monotonie untersuchen
Wo steigt und wo fällt die Funktion?
Die Monotonie beschreibt das Steigungsverhalten einer Funktion: Wo nimmt sie zu, wo nimmt sie ab? Mit der ersten Ableitung f'(x) können wir diese Frage systematisch beantworten. Diese Analyse ist ein zentraler Bestandteil jeder Kurvendiskussion im Abitur.
Steigend
Wenn f'(x) > 0, dann steigt die Funktion: Je größer x wird, desto größer wird f(x).
Fallend
Wenn f'(x) < 0, dann fällt die Funktion: Je größer x wird, desto kleiner wird f(x).
Kriterium
Die erste Ableitung ist der Schlüssel: Ihr Vorzeichen verrät das Monotonieverhalten.
Was bedeutet Monotonie?
Die vier Monotonie-Typen
Streng monoton steigend
strictly increasing
Bedeutung:
Für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) < f(x₂)
Die Funktion nimmt strikt zu, keine horizontalen Abschnitte.
✓ Kriterium:
f'(x) > 0
für alle x im Intervall
Streng monoton fallend
strictly decreasing
Bedeutung:
Für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) > f(x₂)
Die Funktion nimmt strikt ab, keine horizontalen Abschnitte.
✓ Kriterium:
f'(x) < 0
für alle x im Intervall
Monoton steigend
increasing
Bedeutung:
Für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) ≤ f(x₂)
Die Funktion nimmt zu oder bleibt konstant.
✓ Kriterium:
f'(x) ≥ 0
für alle x im Intervall
Monoton fallend
decreasing
Bedeutung:
Für alle x₁ < x₂ gilt: f(x₁) ≥ f(x₂)
Die Funktion nimmt ab oder bleibt konstant.
✓ Kriterium:
f'(x) ≤ 0
für alle x im Intervall
Wichtig im Abitur:
In den meisten Abituraufgaben wird "streng monoton" verlangt, also f'(x) > 0 oder f'(x) < 0. Punkte mit f'(x) = 0 werden dann aus den Monotonie-Intervallen ausgeschlossen!
Monotonie systematisch untersuchen
4-Schritte-Verfahren
Erste Ableitung bilden
Berechne f'(x), um die Steigung der Funktion zu erhalten.
Beispiel: f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5
f'(x) = 3x² - 6x - 9
Nullstellen der Ableitung finden
Löse f'(x) = 0. Diese Punkte trennen die Monotonie-Intervalle.
3x² - 6x - 9 = 0
x² - 2x - 3 = 0
(x - 3)(x + 1) = 0
x₁ = -1, x₂ = 3
Diese Punkte sind oft Extremstellen (Maximum oder Minimum) der Funktion.
Vorzeichen in Intervallen testen
Wähle Testwerte in jedem Intervall und prüfe das Vorzeichen von f'(x).
Intervall 1: x < -1
Testwert: x = -2
f'(-2) = 3·4 - 6·(-2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15
✓ f'(-2) > 0 → steigend
Intervall 2: -1 < x < 3
Testwert: x = 0
f'(0) = 3·0 - 6·0 - 9 = -9
✓ f'(0) < 0 → fallend
Intervall 3: x > 3
Testwert: x = 4
f'(4) = 3·16 - 6·4 - 9 = 48 - 24 - 9 = 15
✓ f'(4) > 0 → steigend
Monotonie-Intervalle aufschreiben
Formuliere die Ergebnisse mit korrekter Intervall-Notation.
f ist streng monoton steigend für:
x ∈ (-∞; -1) ∪ (3; ∞)
f ist streng monoton fallend für:
x ∈ (-1; 3)
Achtung: Bei "streng monoton" werden die Punkte x = -1 und x = 3 mit runden Klammern ausgeschlossen, da dort f'(x) = 0 ist!
Vorzeichentabelle
| Intervall | x < -1 | x = -1 | -1 < x < 3 | x = 3 | x > 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| f'(x) | + | 0 | − | 0 | + |
| Monotonie | steigend ↗ | Maximum | fallend ↘ | Minimum | steigend ↗ |
Ausführliche Beispiele
Beispiel 1: Quadratische Funktion
Aufgabe:
Untersuche f(x) = -x² + 4x - 3 auf Monotonie.
Lösung:
Schritt 1: Ableitung
f'(x) = -2x + 4
Schritt 2: Nullstellen
-2x + 4 = 0
x = 2
Schritt 3: Vorzeichentest
x = 0: f'(0) = 4 > 0 ✓
x = 3: f'(3) = -2 < 0 ✓
Ergebnis:
Steigend:
x ∈ (-∞; 2)
Fallend:
x ∈ (2; ∞)
Interpretation:
Bei x = 2 hat die Parabel ihr Maximum. Links davon steigt sie, rechts davon fällt sie. Das ist typisch für nach unten geöffnete Parabeln.
f(x) = -x² + 4x - 3
Beispiel 2: Kubische Funktion (bereits gezeigt oben)
Aufgabe:
Untersuche f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5 auf Monotonie.
Zusammenfassung:
f'(x) = 3x² - 6x - 9
Nullstellen: x = -1, x = 3
Steigend: x ∈ (-∞; -1) ∪ (3; ∞)
Fallend: x ∈ (-1; 3)
Beobachtung:
Kubische Funktionen mit positivem x³-Koeffizient haben meist diese Form: steigend → Maximum → fallend → Minimum → steigend.
f(x) = x³ - 3x² - 9x + 5
Beispiel 3: e-Funktion
Aufgabe:
Untersuche f(x) = x · e^(-x) auf Monotonie.
Lösung:
Schritt 1: Ableitung (Produktregel)
f'(x) = 1 · e^(-x) + x · (-e^(-x))
f'(x) = e^(-x) - x · e^(-x)
f'(x) = e^(-x)(1 - x)
Schritt 2: Nullstellen
e^(-x)(1 - x) = 0
e^(-x) ≠ 0 für alle x
⟹ 1 - x = 0 ⟹ x = 1
Schritt 3: Vorzeichentest
x = 0: f'(0) = e⁰(1-0) = 1 > 0 ✓
x = 2: f'(2) = e^(-2)(1-2) = -e^(-2) < 0 ✓
Ergebnis:
Steigend:
x ∈ (-∞; 1)
Fallend:
x ∈ (1; ∞)
Wichtig:
e^(-x) ist immer positiv! Daher hängt das Vorzeichen von f'(x) nur vom Faktor (1 - x) ab.
Bei x = 1 hat die Funktion ein Maximum mit f(1) = 1/e ≈ 0,368.
f(x) = x · e^(-x)
Übungsaufgaben
Aufgabe · Leicht
Aufgabe 1: Einfache Parabel
Hinweis Bilde die Ableitung und bestimme ihre Nullstelle. Teste dann die Vorzeichen.
Lösung anzeigen
Gegeben: f(x) = x² - 6x + 5
Schritt 1: Ableitung
f'(x) = 2x - 6
Schritt 2: Nullstellen
2x - 6 = 0 ⟹ x = 3
Schritt 3: Vorzeichentest
x = 0: f'(0) = -6 < 0 ✓ (fallend)
x = 4: f'(4) = 2 > 0 ✓ (steigend)
Ergebnis:
f ist streng monoton steigend für x ∈ (3; ∞)
f ist streng monoton fallend für x ∈ (-∞; 3)
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 2: Kubische Funktion
Hinweis Nach dem Ableiten erhältst du eine quadratische Gleichung. Nutze die pq-Formel oder faktorisiere.
Lösung anzeigen
Gegeben: f(x) = x³ - 12x + 10
Schritt 1: Ableitung
f'(x) = 3x² - 12
Schritt 2: Nullstellen
3x² - 12 = 0
x² = 4
x₁ = -2, x₂ = 2
Schritt 3: Vorzeichentest
x = -3: f'(-3) = 27 - 12 = 15 > 0 ✓
x = 0: f'(0) = -12 < 0 ✓
x = 3: f'(3) = 27 - 12 = 15 > 0 ✓
Ergebnis:
Steigend: x ∈ (-∞; -2) ∪ (2; ∞)
Fallend: x ∈ (-2; 2)
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 3: Polynom 4. Grades
Hinweis Die Ableitung ist ein Polynom 3. Grades. Klammere x aus und löse die verbleibende quadratische Gleichung.
Lösung anzeigen
Gegeben: f(x) = x⁴ - 4x³ + 3
Schritt 1: Ableitung
f'(x) = 4x³ - 12x²
Schritt 2: Nullstellen
4x³ - 12x² = 0
4x²(x - 3) = 0
x₁ = 0 (doppelt), x₂ = 3
Schritt 3: Vorzeichentest
x = -1: f'(-1) = -4 - 12 = -16 < 0 ✓
x = 1: f'(1) = 4 - 12 = -8 < 0 ✓
x = 4: f'(4) = 256 - 192 = 64 > 0 ✓
Ergebnis:
Steigend: x ∈ (3; ∞)
Fallend: x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; 3)
Bei x = 0 ist f'(0) = 0, aber das Vorzeichen wechselt nicht! Daher ist die Funktion links und rechts von x = 0 fallend.
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 4: e-Funktion mit Polynom
Hinweis Nutze die Produktregel. Der Faktor e^x ist immer positiv, das Vorzeichen hängt nur vom Polynom ab.
Lösung anzeigen
Gegeben: f(x) = (x² - 4) · e^x
Schritt 1: Ableitung (Produktregel)
f'(x) = 2x · e^x + (x² - 4) · e^x
f'(x) = e^x(2x + x² - 4)
f'(x) = e^x(x² + 2x - 4)
Schritt 2: Nullstellen
e^x ≠ 0, also: x² + 2x - 4 = 0
pq-Formel: x = -1 ± √(1 + 4)
x₁ ≈ -3,24, x₂ ≈ 1,24
Schritt 3: Vorzeichentest
x = -4: x² + 2x - 4 = 4 > 0 ✓
x = 0: x² + 2x - 4 = -4 < 0 ✓
x = 2: x² + 2x - 4 = 4 > 0 ✓
Ergebnis:
Steigend: x ∈ (-∞; -1-√5) ∪ (-1+√5; ∞)
Fallend: x ∈ (-1-√5; -1+√5)
Exakt: x₁ = -1-√5 ≈ -3,24 und x₂ = -1+√5 ≈ 1,24
Aufgabe · Schwer
Aufgabe 5: Gebrochenrationale Funktion
Hinweis Nutze die Quotientenregel. Achte darauf, dass der Nenner nicht null werden darf (Definitionsbereich!)
Lösung anzeigen
Gegeben: f(x) = (x² - 1)/(x² + 1)
Schritt 1: Ableitung (Quotientenregel)
f'(x) = [2x(x²+1) - (x²-1)·2x] / (x²+1)²
f'(x) = [2x³ + 2x - 2x³ + 2x] / (x²+1)²
f'(x) = 4x / (x²+1)²
Schritt 2: Nullstellen
4x / (x²+1)² = 0
Nenner ≠ 0 für alle x ∈ ℝ
⟹ 4x = 0 ⟹ x = 0
Schritt 3: Vorzeichenanalyse
Da (x²+1)² immer positiv ist, hängt das Vorzeichen nur von 4x ab:
x < 0: f'(x) < 0 (fallend)
x > 0: f'(x) > 0 (steigend)
Ergebnis:
Steigend: x ∈ (0; ∞)
Fallend: x ∈ (-∞; 0)
Die Funktion ist für alle x ∈ ℝ definiert und hat bei x = 0 ein Minimum.
Häufige Fehler
Typischer Fehler
Vorzeichen verwechselt
FalschWenn f'(x) < 0, dann steigt die Funktion.
Richtigf'(x) < 0 bedeutet fallend, f'(x) > 0 bedeutet steigend!
Typischer Fehler
Intervall-Notation falsch
FalschSteigend für x ∈ [-1; 3] (bei streng monoton)
RichtigBei streng monoton: runde Klammern verwenden, da f'(x) = 0 an den Randpunkten!
Typischer Fehler
Nullstellen vergessen
FalschNur eine Nullstelle von f'(x) = x(x-2) gefunden: x = 2
RichtigAuch x = 0 ist eine Nullstelle! Immer faktorisieren oder pq-Formel korrekt anwenden.
Typischer Fehler
Vorzeichentest nicht durchgeführt
FalschNach dem Finden der Nullstellen direkt das Monotonieverhalten behaupten.
RichtigImmer Testwerte in jedem Intervall einsetzen, um das Vorzeichen zu prüfen!
Typischer Fehler
Definitionsbereich ignoriert
FalschBei f(x) = 1/x das Intervall (-∞; ∞) angeben.
RichtigDefinitionslücken berücksichtigen! Hier: (-∞; 0) und (0; ∞) getrennt betrachten.
Typischer Fehler
Streng vs. nicht-streng verwechselt
Falschf'(x) ≥ 0 für 'streng monoton steigend' verwenden.
RichtigStreng monoton: f'(x) > 0. Monoton (nicht streng): f'(x) ≥ 0.
Zusammenfassung & Abitur-Tipps
Das Wichtigste
- ✓ f'(x) > 0 ⟹ steigend
- ✓ f'(x) < 0 ⟹ fallend
- ✓ f'(x) = 0 ⟹ mögliche Extremstelle
- ✓ Vorzeichenwechsel prüfen!
Vorgehen
- 1. Ableitung f'(x) bilden
- 2. f'(x) = 0 lösen
- 3. Testwerte einsetzen
- 4. Intervalle notieren
Häufige Fehler
- ✗ Vorzeichen verwechseln
- ✗ Nullstellen vergessen
- ✗ Keine Testwerte prüfen
- ✗ Falsche Klammern
Abitur-Tipps
1. Immer systematisch vorgehen
Halte dich strikt an die 4 Schritte. Das gibt volle Punktzahl und verhindert Fehler.
2. Vorzeichentabelle anlegen
Eine saubere Tabelle macht deine Lösung übersichtlich und zeigt dem Korrektor dein Vorgehen.
3. Auf "streng" achten
Wenn die Aufgabe "streng monoton" verlangt, müssen die Nullstellen von f'(x) aus den Intervallen ausgeschlossen werden!
4. Rechnung zeigen
Schreibe die Testwerte explizit hin: "f'(0) = ... > 0 ✓". Das gibt Teilpunkte, selbst bei kleinen Rechenfehlern.
5. Antwort formulieren
Schreibe einen vollständigen Antwortsatz: "Die Funktion ist streng monoton steigend für x ∈ ..."
6. Definitionsbereich beachten
Bei Brüchen, Wurzeln oder Logarithmen: Definitionslücken berücksichtigen!
Ein Beispiel
Untersuche f(x) = x² − 4x.
- Leite ab: f′(x) = 2x − 4. Die Ableitung wird bei x = 2 null.
- Links von 2 ist 2x − 4 negativ, zum Beispiel f′(0) = −4. Dort fällt der Graph.
- Rechts von 2 ist die Ableitung positiv, zum Beispiel f′(3) = 2. Dort steigt der Graph.
Darauf kommt es an
f′(x₀) = 0 allein sagt noch nicht, ob ein Hoch- oder Tiefpunkt vorliegt. Prüfe das Vorzeichen links und rechts der Stelle.
Aufgabe
Untersuche die Monotonie von f(x) = −x².
Lösung und Rechenweg anzeigen
f′(x) = −2x ist für x < 0 positiv und für x > 0 negativ. f steigt bis 0 und fällt danach.