Newton-Verfahren
Numerische Nullstellenbestimmung durch iterative Tangentenmethode.
🎯 Newton-Verfahren
Numerische Nullstellenbestimmung durch iterative Tangentenmethode – wenn algebraische Lösungen versagen.
Numerisch
Findet Näherungslösungen für Nullstellen, die nicht exakt berechenbar sind.
Tangenten
Nutzt Tangenten als lineare Näherung, um sich der Nullstelle anzunähern.
Iterativ
Wiederholt den Prozess, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Warum brauchen wir das Newton-Verfahren?
🤔 Das Problem
Viele Gleichungen lassen sich nicht exakt lösen. Die Formel für quadratische Gleichungen kennen wir, aber was ist mit:
x³ - 2x - 5 = 0
Kubische Gleichung ohne einfache Lösung
eˣ = 3x
Transzendente Gleichung
💡 Die Lösung: Wir nähern uns der Nullstelle schrittweise an, bis wir sie mit beliebiger Genauigkeit kennen!
Die Grundidee: Tangente als Näherung
📐 Die geniale Idee von Newton
Schritt 1: Startwert wählen
Wähle einen Startwert x₀ in der Nähe der gesuchten Nullstelle. Der Graph gibt dir einen Hinweis, wo die Kurve die x-Achse kreuzt.
Schritt 2: Tangente anlegen
Lege die Tangente an den Graphen von f im Punkt (x₀ | f(x₀)) an. Die Tangente ist eine lineare Näherung der Kurve!
Schritt 3: Nullstelle der Tangente
Berechne, wo die Tangente die x-Achse schneidet. Dieser x-Wert (x₁) ist näher an der echten Nullstelle als x₀!
Schritt 4: Wiederholen
Nimm x₁ als neuen Startwert und wiederhole. Mit jeder Iteration kommst du näher an die echte Nullstelle!
📊 Visualisierung
Newton-Verfahren: f(x) = x² - 2
Beobachtung: Die Tangente (rot) schneidet die x-Achse bei x₁ = 1.5, was näher an √2 ≈ 1.414 liegt als unser Startwert x₀ = 2.
Die Newton-Formel
📐 Herleitung aus der Tangentengleichung
Tangentengleichung an der Stelle x₀:
y = f(x₀) + f'(x₀) · (x - x₀)
Nullstelle der Tangente (setze y = 0):
0 = f(x₀) + f'(x₀) · (x - x₀)
-f(x₀) = f'(x₀) · (x - x₀)
x - x₀ = -f(x₀) / f'(x₀)
x = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)
Newton-Formel (Iterationsvorschrift)
xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)
Der neue Wert xn+1 wird aus dem vorherigen Wert xn berechnet.
Schritt-für-Schritt Anleitung
📋 So gehst du vor
Funktion und Ableitung
Stelle die Funktion f(x) auf und berechne die Ableitung f'(x).
Startwert x₀ wählen
Wähle einen Startwert in der Nähe der Nullstelle. Nutze den Graphen oder eine Wertetabelle.
Newton-Formel anwenden
Berechne f(x₀) und f'(x₀), dann setze in die Formel ein:
Wiederholen
Nimm x₁ als neuen Startwert und berechne x₂, dann x₃, usw.
Abbruchkriterium
Stoppe, wenn |xn+1 - xn| kleiner als die gewünschte Genauigkeit ist (z.B. 0.0001) oder wenn |f(xn)| ≈ 0.
Konvergenz und mögliche Probleme
⚠️ Wann funktioniert das Verfahren (nicht)?
✅ Gut funktioniert es wenn:
- • Der Startwert nahe der Nullstelle liegt
- • Die Funktion "glatt" ist (stetig differenzierbar)
- • f'(x) ≠ 0 nahe der Nullstelle
- • Die Funktion nicht zu stark gekrümmt ist
❌ Probleme gibt es bei:
- • f'(xₙ) = 0 (Division durch Null!)
- • Schlechtem Startwert (zu weit weg)
- • Mehreren Nullstellen (falsche wird gefunden)
- • Oszillation zwischen Werten
💡 Tipp für die Klausur: Wenn das Verfahren nicht konvergiert, probiere einen anderen Startwert. Schau dir den Graphen an!