Numerisch
Findet Näherungslösungen für Nullstellen, die nicht exakt berechenbar sind.
Tangenten
Nutzt Tangenten als lineare Näherung, um sich der Nullstelle anzunähern.
Iterativ
Wiederholt den Prozess, bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.
Warum brauchen wir das Newton-Verfahren?
Das Problem
Viele Gleichungen lassen sich nicht exakt lösen. Die Formel für quadratische Gleichungen kennen wir, aber was ist mit:
x³ - 2x - 5 = 0
Kubische Gleichung ohne einfache Lösung
eˣ = 3x
Transzendente Gleichung
Die Lösung: Wir nähern uns der Nullstelle schrittweise an, bis wir sie mit beliebiger Genauigkeit kennen!
Die Grundidee: Tangente als Näherung
Die geniale Idee von Newton
Schritt 1: Startwert wählen
Wähle einen Startwert x₀ in der Nähe der gesuchten Nullstelle. Der Graph gibt dir einen Hinweis, wo die Kurve die x-Achse kreuzt.
Schritt 2: Tangente anlegen
Lege die Tangente an den Graphen von f im Punkt (x₀ | f(x₀)) an. Die Tangente ist eine lineare Näherung der Kurve!
Schritt 3: Nullstelle der Tangente
Berechne, wo die Tangente die x-Achse schneidet. Dieser x-Wert (x₁) ist näher an der echten Nullstelle als x₀!
Schritt 4: Wiederholen
Nimm x₁ als neuen Startwert und wiederhole. Mit jeder Iteration kommst du näher an die echte Nullstelle!
Visualisierung
Newton-Verfahren: f(x) = x² - 2
Beobachtung: Die Tangente (rot) schneidet die x-Achse bei x₁ = 1.5, was näher an √2 ≈ 1.414 liegt als unser Startwert x₀ = 2.
Die Newton-Formel
Herleitung aus der Tangentengleichung
Tangentengleichung an der Stelle x₀:
y = f(x₀) + f'(x₀) · (x - x₀)
Nullstelle der Tangente (setze y = 0):
0 = f(x₀) + f'(x₀) · (x - x₀)
-f(x₀) = f'(x₀) · (x - x₀)
x - x₀ = -f(x₀) / f'(x₀)
x = x₀ - f(x₀) / f'(x₀)
Newton-Formel (Iterationsvorschrift)
xn+1 = xn - f(xn) / f'(xn)
Der neue Wert xn+1 wird aus dem vorherigen Wert xn berechnet.
Schritt-für-Schritt Anleitung
So gehst du vor
Funktion und Ableitung
Stelle die Funktion f(x) auf und berechne die Ableitung f'(x).
Startwert x₀ wählen
Wähle einen Startwert in der Nähe der Nullstelle. Nutze den Graphen oder eine Wertetabelle.
Newton-Formel anwenden
Berechne f(x₀) und f'(x₀), dann setze in die Formel ein:
Wiederholen
Nimm x₁ als neuen Startwert und berechne x₂, dann x₃, usw.
Abbruchkriterium
Stoppe, wenn |xn+1 - xn| kleiner als die gewünschte Genauigkeit ist (z.B. 0.0001) oder wenn |f(xn)| ≈ 0.
Konvergenz und mögliche Probleme
Wann funktioniert das Verfahren (nicht)?
Gut funktioniert es wenn:
- • Der Startwert nahe der Nullstelle liegt
- • Die Funktion "glatt" ist (stetig differenzierbar)
- • f'(x) ≠ 0 nahe der Nullstelle
- • Die Funktion nicht zu stark gekrümmt ist
Probleme gibt es bei:
- • f'(xₙ) = 0 (Division durch Null!)
- • Schlechtem Startwert (zu weit weg)
- • Mehreren Nullstellen (falsche wird gefunden)
- • Oszillation zwischen Werten
Tipp für die Klausur: Wenn das Verfahren nicht konvergiert, probiere einen anderen Startwert. Schau dir den Graphen an!
Ein Beispiel
Nähere die positive Nullstelle von f(x) = x² − 2 mit x₀ = 1 an.
- Es gilt f′(x) = 2x. Für den ersten Schritt erhältst du x₁ = 1 − = 1,5.
- Der zweite Schritt liefert x₂ = 1,5 − ≈ 1,41667.
- Ein weiterer Schritt ergibt ungefähr 1,41422. Die Werte nähern sich √2. Prüfe zusätzlich den Restfehler |x² − 2|.
Darauf kommt es an
Bei f′(xₙ) = 0 ist der Schritt nicht definiert. Kleine Änderungen der Näherung allein garantieren noch keinen kleinen Funktionswert.
Aufgabe
Führe für f(x) = x² − 9 mit x₀ = 4 einen Newton-Schritt aus.
Lösung und Rechenweg anzeigen
f(4) = 7 und f′(4) = 8. Somit x₁ = 4 − = 3,125.