Rotationskörper
Volumen von Körpern berechnen, die durch Rotation um die x-Achse entstehen.
Rotationskörper
Volumen von Körpern berechnen, die durch Rotation einer Funktion um die x-Achse entstehen
Rotation um x-Achse
Der Graph rotiert um die x-Achse und erzeugt einen dreidimensionalen Körper
Volumenformel
V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx summiert die Kreisscheiben entlang der x-Achse
Wichtig: Quadrat!
Die Funktion wird quadriert: [f(x)]², nicht nur f(x) – das ist entscheidend!
Was ist ein Rotationskörper?
Ein Rotationskörper entsteht, wenn der Graph einer Funktion f(x) über dem Intervall [a, b] um die x-Achse rotiert wird. Dabei entsteht ein dreidimensionaler Körper.
Volumenformel für Rotationskörper
V = Volumen des Rotationskörpers
f(x) = rotierende Funktion
a, b = Integrationsgrenzen
⚠️ Wichtig: Quadrieren nicht vergessen!
Die Funktion wird quadriert: [f(x)]². Dies ist der häufigste Fehler! Der Radius jeder Kreisscheibe ist f(x), und die Fläche eines Kreises ist πr² = π[f(x)]².
🎨 Anschauliche Vorstellung
Stelle dir vor, du rotierst den Graphen wie eine Töpferscheibe um die x-Achse:
- →Jeder Punkt (x, f(x)) beschreibt einen Kreis mit Radius f(x)
- →Die Fläche dieser Kreisscheibe ist π[f(x)]²
- →Das Integral summiert alle Kreisscheiben von a bis b
Herleitung der Formel
Die Volumenformel basiert auf dem Prinzip der Kreisscheiben:
Kreisscheibe an der Stelle x
Bei der Rotation entsteht ein Kreis mit Radius r = f(x)
Unendlich dünne Scheiben
Eine infinitesimal dünne Scheibe der Dicke dx hat das Volumen:
Integration über das Intervall
Das Gesamtvolumen ist die Summe aller Scheiben:
π vor das Integral ziehen
Da π konstant ist, kann man es vor das Integral ziehen:
💡 Warum [f(x)]² und nicht f(x)?
Der Funktionswert f(x) ist der Radius der Kreisscheibe. Die Fläche eines Kreises beträgt aber πr², daher muss f(x) quadriert werden. Bei normalen Flächenberechnungen integrieren wir f(x) (Höhe), hier aber π[f(x)]² (Kreisfläche).
Vorgehen: Volumen berechnen
Um das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, folge diesen Schritten:
Funktion quadrieren
Bilde [f(x)]² – quadriere die gesamte Funktion
Achtung: Klammern nicht vergessen! (2x)² = 4x², nicht 2x²
Stammfunktion von [f(x)]² bilden
Bestimme die Stammfunktion F(x) von [f(x)]²
Bestimmtes Integral berechnen
Wende den Hauptsatz an: F(b) − F(a)
Mit π multiplizieren
Multipliziere das Ergebnis mit π
Ergebnis mit Einheit angeben
Gib das Volumen mit der richtigen Einheit an (meist VE = Volumeneinheiten)
💡 Merkhilfe
Die Reihenfolge ist: Quadrieren → Integrieren → Mit π multiplizieren. Viele vergessen das Quadrieren oder multiplizieren vergessen mit π!
Spezialfälle und Tipps
📌 Lineare Funktionen
Bei f(x) = mx + c entsteht meist ein Kegelstumpf
Ergebnis: Kegel oder Kegelstumpf
🔵 Konstante Funktionen
Bei f(x) = r (konstant) entsteht ein Zylinder
Formel: V = πr²h (klassische Zylinderformel)
🌓 Wurzelfunktionen
Quadrieren vereinfacht oft die Rechnung
Die Wurzel verschwindet beim Quadrieren!
⚪ Kreisfunktionen
Halbkreis rotiert → Kugel mit V = (4/3)πr³
Spezialfall: Bestätigt die bekannte Kugelformel
🎯 Praktischer Tipp
Skizziere den Graphen und stelle dir die Rotation vor! Das hilft beim Verständnis und bei der Plausibilitätsprüfung des Ergebnisses. Ein Rotationskörper sollte immer symmetrisch zur x-Achse sein.
Häufige Fehler bei Rotationskörpern
V = π · ∫₀³ 2x dx
V = π · ∫₀³ (2x)² dx = π · ∫₀³ 4x² dx
Die häufigste Fehlerquelle! Die Funktion muss quadriert werden: [f(x)]², nicht f(x).
(2x)² = 2x²
(2x)² = 4x²
Beim Quadrieren müssen beide Faktoren quadriert werden: (2x)² = 2² · x² = 4x².
V = ∫ₐᵇ [f(x)]² dx (π vergessen)
V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx
Vergiss nicht, das Ergebnis mit π zu multiplizieren! Die Formel enthält immer π.
∫ x² dx = x³
∫ x² dx = (1/3)x³
Beim Integrieren von xⁿ nicht den Faktor 1/(n+1) vergessen!
[√x]² = √x²
[√x]² = x
Das Quadrieren hebt die Wurzel auf: (√x)² = x, nicht √(x²).
V = π · r² · h (bei allen Funktionen)
V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx (allgemeine Formel)
Die Zylinderformel V = πr²h gilt nur bei konstanten Funktionen f(x) = r. Sonst muss integriert werden!
Übungsaufgaben
Berechne das Volumen des Rotationskörpers von f(x) = 3über [0, 5] (Zylinder).
Bestimme das Volumen des Rotationskörpers von f(x) = xüber [0, 4] (Kegel).
Die Funktion f(x) = eˣ rotiert über [0, 1] um die x-Achse. Berechne das Volumen.
Eine Halbkugel wird durch Rotation von f(x) = √(r²−x²)über [−r, r] erzeugt. Zeige, dass das Volumen einer Kugel V = (4/3)πr³ ist.
Zusammenfassung & Abitur-Tipps
📐 Das Wichtigste
- →Formel: V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx
- →Funktion wird quadriert: [f(x)]²
- →Ergebnis mit π multiplizieren
🎯 Vorgehen
- 1.Funktion quadrieren: [f(x)]²
- 2.Stammfunktion bilden
- 3.Integral berechnen: F(b) − F(a)
- 4.Mit π multiplizieren
⚠️ Häufige Fehler
- ✗Quadrieren vergessen
- ✗Falsch: (2x)² = 2x²
- ✗π vergessen
🎓 Abitur-Tipps
- 1.Formel auswendig kennen: V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Das [f(x)]² ist der kritische Teil – ohne Quadrieren ist das Ergebnis falsch!
- 2.Klammern beachten: Bei (ax + b)² beide Terme quadrieren! Nutze ggf. binomische Formeln: (2x)² = 4x², (x+1)² = x² + 2x + 1.
- 3.Spezialfälle erkennen: Konstante Funktion → Zylinder, Lineare Funktion → Kegel, √(r²−x²) → Kugel. Die bekannten Formeln gelten!
- 4.Einheiten prüfen: Volumen hat immer die Einheit [Länge]³. Bei Anwendungsaufgaben: cm³, m³, etc. Im Abitur oft VE (Volumeneinheiten).
- 5.Visualisierung hilft: Skizziere den Graphen und stelle dir die Rotation vor. Der Rotationskörper ist symmetrisch zur x-Achse.
- 6.Plausibilität: Das Volumen muss positiv sein. Wenn negativ, hast du einen Vorzeichenfehler. Vergleiche mit bekannten Körpern (Zylinder, Kegel).