Rotation um x-Achse
Der Graph rotiert um die x-Achse und erzeugt einen dreidimensionalen Körper
Volumenformel
V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx summiert die Kreisscheiben entlang der x-Achse
Wichtig: Quadrat!
Die Funktion wird quadriert: [f(x)]², nicht nur f(x) – das ist entscheidend!
Was ist ein Rotationskörper?
Ein Rotationskörper entsteht, wenn der Graph einer Funktion f(x) über dem Intervall [a, b] um die x-Achse rotiert wird. Dabei entsteht ein dreidimensionaler Körper.
Volumenformel für Rotationskörper
V = Volumen des Rotationskörpers
f(x) = rotierende Funktion
a, b = Integrationsgrenzen
Wichtig: Quadrieren nicht vergessen!
Die Funktion wird quadriert: [f(x)]². Dies ist der häufigste Fehler! Der Radius jeder Kreisscheibe ist f(x), und die Fläche eines Kreises ist πr² = π[f(x)]².
Anschauliche Vorstellung
Stelle dir vor, du rotierst den Graphen wie eine Töpferscheibe um die x-Achse:
- →Jeder Punkt (x, f(x)) beschreibt einen Kreis mit Radius f(x)
- →Die Fläche dieser Kreisscheibe ist π[f(x)]²
- →Das Integral summiert alle Kreisscheiben von a bis b
Herleitung der Formel
Die Volumenformel basiert auf dem Prinzip der Kreisscheiben:
Kreisscheibe an der Stelle x
Bei der Rotation entsteht ein Kreis mit Radius r = f(x)
Unendlich dünne Scheiben
Eine infinitesimal dünne Scheibe der Dicke dx hat das Volumen:
Integration über das Intervall
Das Gesamtvolumen ist die Summe aller Scheiben:
π vor das Integral ziehen
Da π konstant ist, kann man es vor das Integral ziehen:
Warum [f(x)]² und nicht f(x)?
Der Funktionswert f(x) ist der Radius der Kreisscheibe. Die Fläche eines Kreises beträgt aber πr², daher muss f(x) quadriert werden. Bei normalen Flächenberechnungen integrieren wir f(x) (Höhe), hier aber π[f(x)]² (Kreisfläche).
Vorgehen: Volumen berechnen
Um das Volumen eines Rotationskörpers zu berechnen, folge diesen Schritten:
Funktion quadrieren
Bilde [f(x)]² – quadriere die gesamte Funktion
Achtung: Klammern nicht vergessen! (2x)² = 4x², nicht 2x²
Stammfunktion von [f(x)]² bilden
Bestimme die Stammfunktion F(x) von [f(x)]²
Bestimmtes Integral berechnen
Wende den Hauptsatz an: F(b) − F(a)
Mit π multiplizieren
Multipliziere das Ergebnis mit π
Ergebnis mit Einheit angeben
Gib das Volumen mit der richtigen Einheit an (meist VE = Volumeneinheiten)
Merkhilfe
Die Reihenfolge ist: Quadrieren → Integrieren → Mit π multiplizieren. Viele vergessen das Quadrieren oder multiplizieren vergessen mit π!
Spezialfälle und Tipps
Lineare Funktionen
Bei f(x) = mx + c entsteht meist ein Kegelstumpf
Ergebnis: Kegel oder Kegelstumpf
Konstante Funktionen
Bei f(x) = r (konstant) entsteht ein Zylinder
Formel: V = πr²h (klassische Zylinderformel)
Wurzelfunktionen
Quadrieren vereinfacht oft die Rechnung
Die Wurzel verschwindet beim Quadrieren!
Kreisfunktionen
Halbkreis rotiert → Kugel mit V = (4/3)πr³
Spezialfall: Bestätigt die bekannte Kugelformel
Praktischer Tipp
Skizziere den Graphen und stelle dir die Rotation vor! Das hilft beim Verständnis und bei der Plausibilitätsprüfung des Ergebnisses. Ein Rotationskörper sollte immer symmetrisch zur x-Achse sein.
Häufige Fehler bei Rotationskörpern
Typischer Fehler
FalschV = π · ∫₀³ 2x dx
RichtigV = π · ∫₀³ (2x)² dx = π · ∫₀³ 4x² dx
Die häufigste Fehlerquelle! Die Funktion muss quadriert werden: [f(x)]², nicht f(x).
Typischer Fehler
Falsch(2x)² = 2x²
Richtig(2x)² = 4x²
Beim Quadrieren müssen beide Faktoren quadriert werden: (2x)² = 2² · x² = 4x².
Typischer Fehler
FalschV = ∫ₐᵇ [f(x)]² dx (π vergessen)
RichtigV = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx
Vergiss nicht, das Ergebnis mit π zu multiplizieren! Die Formel enthält immer π.
Typischer Fehler
Falsch∫ x² dx = x³
Richtig∫ x² dx = (1/3)x³
Beim Integrieren von xⁿ nicht den Faktor 1/(n+1) vergessen!
Typischer Fehler
Falsch[√x]² = √x²
Richtig[√x]² = x
Das Quadrieren hebt die Wurzel auf: (√x)² = x, nicht √(x²).
Typischer Fehler
FalschV = π · r² · h (bei allen Funktionen)
RichtigV = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx (allgemeine Formel)
Die Zylinderformel V = πr²h gilt nur bei konstanten Funktionen f(x) = r. Sonst muss integriert werden!
Übungsaufgaben
Aufgabe · Mittel
Berechne das Volumen des Rotationskörpers von f(x) = 3über [0, 5] (Zylinder).
Hinweis Bei konstanten Funktionen entsteht ein Zylinder. [f(x)]² = 9.
Lösung anzeigen
Schritt 1: Quadrieren
[f(x)]² = 3² = 9
Schritt 2: Integrieren
∫₀⁵ 9 dx = [9x]₀⁵ = 45
Schritt 3: Mit π multiplizieren
V = π · 45 = 45π ≈ 141.37 VE
Kontrolle: V = πr²h = π · 3² · 5 = 45π ✓
Aufgabe · Mittel
Bestimme das Volumen des Rotationskörpers von f(x) = xüber [0, 4] (Kegel).
Hinweis [f(x)]² = x². Die Stammfunktion von x² ist (1/3)x³.
Lösung anzeigen
Quadrieren und Integrieren
[f(x)]² = x²
∫₀⁴ x² dx = [(1/3)x³]₀⁴ = (1/3)·64 = 64/3
Volumen
V = π · 64/3 = 64π/3 ≈ 67.02 VE
Ergebnis: V = 64π/3 ≈ 67.02 VE
Kontrolle: Kegelformel V = (1/3)πr²h = (1/3)π·4²·4 = 64π/3 ✓
Aufgabe · Mittel
Die Funktion f(x) = eˣ rotiert über [0, 1] um die x-Achse. Berechne das Volumen.
Hinweis [eˣ]² = e²ˣ. Die Stammfunktion von e²ˣ ist (1/2)e²ˣ.
Lösung anzeigen
Schritt 1: Quadrieren
[f(x)]² = (eˣ)² = e²ˣ
Schritt 2: Integrieren
∫₀¹ e²ˣ dx = [(1/2)e²ˣ]₀¹
= (1/2)e² − (1/2)e⁰ = (1/2)e² − 1/2
= (1/2)(e² − 1) ≈ (1/2)(7.389 − 1) ≈ 3.195
Schritt 3: Mit π multiplizieren
V = π · (1/2)(e² − 1) = π(e² − 1)/2 ≈ 10.04 VE
Ergebnis: V = π(e² − 1)/2 ≈ 10.04 VE
Aufgabe · Mittel
Eine Halbkugel wird durch Rotation von f(x) = √(r²−x²)über [−r, r] erzeugt. Zeige, dass das Volumen einer Kugel V = (4/3)πr³ ist.
Hinweis [√(r²−x²)]² = r²−x². Nutze Symmetrie: berechne für [0, r] und verdopple.
Lösung anzeigen
Ansatz mit Symmetrie
Wegen Symmetrie: V = 2 · V[0,r]
Quadrieren
[f(x)]² = [√(r²−x²)]² = r² − x²
Integral für [0, r]
∫₀ʳ (r²−x²) dx = [r²x − (1/3)x³]₀ʳ
= r³ − (1/3)r³ = (2/3)r³
Volumen der ganzen Kugel
V = π · 2 · (2/3)r³ = (4/3)πr³
✓ Bewiesen: V = (4/3)πr³
Die Rotationskörperformel bestätigt die bekannte Kugelformel!
Zusammenfassung & Abitur-Tipps
Das Wichtigste
- →Formel: V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx
- →Funktion wird quadriert: [f(x)]²
- →Ergebnis mit π multiplizieren
Vorgehen
- 1.Funktion quadrieren: [f(x)]²
- 2.Stammfunktion bilden
- 3.Integral berechnen: F(b) − F(a)
- 4.Mit π multiplizieren
Häufige Fehler
- ✗Quadrieren vergessen
- ✗Falsch: (2x)² = 2x²
- ✗π vergessen
Abitur-Tipps
- 1.Formel auswendig kennen: V = π · ∫ₐᵇ [f(x)]² dx. Das [f(x)]² ist der kritische Teil – ohne Quadrieren ist das Ergebnis falsch!
- 2.Klammern beachten: Bei (ax + b)² beide Terme quadrieren! Nutze ggf. binomische Formeln: (2x)² = 4x², (x+1)² = x² + 2x + 1.
- 3.Spezialfälle erkennen: Konstante Funktion → Zylinder, Lineare Funktion → Kegel, √(r²−x²) → Kugel. Die bekannten Formeln gelten!
- 4.Einheiten prüfen: Volumen hat immer die Einheit [Länge]³. Bei Anwendungsaufgaben: cm³, m³, etc. Im Abitur oft VE (Volumeneinheiten).
- 5.Visualisierung hilft: Skizziere den Graphen und stelle dir die Rotation vor. Der Rotationskörper ist symmetrisch zur x-Achse.
- 6.Plausibilität: Das Volumen muss positiv sein. Wenn negativ, hast du einen Vorzeichenfehler. Vergleiche mit bekannten Körpern (Zylinder, Kegel).
Ein Beispiel
Rotiere die Fläche unter f(x) = x auf [0; 2] um die x-Achse.
- Der Radius an der Stelle x ist x. Die Querschnittsfläche ist daher πx².
- Integriere: V = π[x³/3] von 0 bis 2 = 8π/3.
- Zur Kontrolle entsteht ein Kegel mit Radius 2 und Höhe 2. Seine Volumenformel liefert ebenfalls 8π/3.
Darauf kommt es an
Quadriere die Funktion vor dem Integrieren. Das Quadrat eines Integrals beschreibt hier nicht das Volumen. Bei Hohlkörpern brauchst du äußere minus innere Querschnittsfläche.
Aufgabe
Rotiere die Fläche unter f(x) = 3 auf [0; 4] um die x-Achse.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Es entsteht ein Zylinder: V = π∫₀⁴ 9 dx = 36π Volumeneinheiten.