Stammfunktionen bilden – Analysis

Umkehrung der Ableitung

Eine Stammfunktion ist eine Funktion, deren Ableitung die gegebene Funktion ergibt. Aufleiten statt ableiten!

Integrationsregeln

Potenzregel, Faktorregel, Summenregel – die wichtigsten Regeln zum Bilden von Stammfunktionen.

Integrationskonstante

Stammfunktionen sind nie eindeutig – sie unterscheiden sich durch die Konstante C.

Was ist eine Stammfunktion?

Definition: Stammfunktion

Eine Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn gilt:

F'(x) = f(x)

Das bedeutet: Die Ableitung von F(x) ergibt die ursprüngliche Funktion f(x).

Wichtig: Die Integrationskonstante C

Stammfunktionen sind nicht eindeutig! Wenn F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist, dann ist auch F(x) + C eine Stammfunktion (für jede beliebige Konstante C).

Allgemeine Form:F(x) + C

Begründung: Die Ableitung einer Konstanten ist immer 0, also: (F(x) + C)' = F'(x) + 0 = f(x).

✓ Ableitung

Von F(x) zu f(x):

f(x) = F'(x)

↻ Integration

Von f(x) zu F(x):

F(x) = ∫ f(x) dx

Die wichtigsten Integrationsregeln

Hier sind die grundlegenden Regeln zum Bilden von Stammfunktionen. Diese solltest du sicher beherrschen!

Potenzregel

∫ xⁿ dx =xⁿ⁺¹n+1+ C

Voraussetzung: n ≠ -1

Merksatz: Exponenten um 1 erhöhen, durch neuen Exponenten teilen, + C nicht vergessen!

Beispiel 1:

∫ x³ dx = x⁴/4 + C

Beispiel 2:

∫ x² dx = x³/3 + C

Faktorregel

∫ c · f(x) dx = c ·∫ f(x) dx

Merksatz: Konstante Faktoren dürfen vor das Integral gezogen werden.

Beispiel:

∫ 5x² dx = 5 · ∫ x² dx = 5 · x³/3 + C

Summenregel

∫ (f(x) ± g(x)) dx =∫ f(x) dx ± ∫ g(x) dx

Merksatz: Summen und Differenzen dürfen Term für Term integriert werden.

Beispiel:

∫ (x³ + 2x) dx = x⁴/4 + x² + C

Wichtige Spezialfälle

∫ 1 dx=x + C

∫ e^x dx=e^x + C

∫ 1/x dx=ln|x| + C(x ≠ 0)

∫ sin(x) dx=-cos(x) + C

∫ cos(x) dx=sin(x) + C

Vorgehen beim Bilden von Stammfunktionen

Folge diesen Schritten, um systematisch Stammfunktionen zu bilden:

Funktion analysieren

Betrachte die gegebene Funktion f(x). Ist sie eine einfache Potenzfunktion, eine Summe, oder eine spezielle Funktion (e^x, 1/x, sin, cos)?

Beispiel: f(x) = 3x² + 2x − 5 ist eine Summe von Termen.

Passende Regel wählen

Wähle die richtige Integrationsregel: Potenzregel für xⁿ, Summenregel für mehrere Terme, Faktorregel für konstante Faktoren.

3x²: Faktorregel + Potenzregel

2x: Faktorregel + Potenzregel

−5: Konstante (wie x⁰)

Term für Term integrieren

Wende die Regeln an: Exponent erhöhen, durch neuen Exponent teilen, konstante Faktoren beibehalten.

∫ 3x² dx = 3 · x³/3 = x³

∫ 2x dx = 2 · x²/2 = x²

∫ (−5) dx = −5x

Integrationskonstante C hinzufügen

Vergiss nicht die Integrationskonstante C am Ende! Sie ist zwingend erforderlich.

Endergebnis: F(x) = x³ + x² − 5x + C

Probe durch Ableiten (optional)

Kontrolliere dein Ergebnis: Leite F(x) ab und prüfe, ob du f(x) erhältst.

F'(x) = (x³ + x² − 5x + C)'

= 3x² + 2x − 5 + 0

= 3x² + 2x − 5 = f(x) ✓

Häufige Fehler vermeiden

Typischer Fehler

Falsch∫ x³ dx = x⁴

Richtig∫ x³ dx = x⁴/4 + C

Zwei Fehler: Nach dem Erhöhen des Exponenten muss durch den neuen Exponenten geteilt werden. Außerdem fehlt die Integrationskonstante C!

Typischer Fehler

Falsch∫ 5x² dx = 5x³/3

Richtig∫ 5x² dx = 5x³/3 + C

Die Rechnung ist richtig, aber die Integrationskonstante C darf niemals vergessen werden!

Typischer Fehler

Falsch∫ (x² + 3x) dx = x³/3 + 3x²/2 + C + C

Richtig∫ (x² + 3x) dx = x³/3 + 3x²/2 + C

Man schreibt nur EIN C am Ende, nicht für jeden Term ein eigenes. Die Konstante fasst alle möglichen konstanten Summanden zusammen.

Typischer Fehler

Falsch∫ 1/x² dx = ln|x| + C

Richtig∫ 1/x² dx = ∫ x⁻² dx = −x⁻¹ + C = −1/x + C

Nur ∫ 1/x dx = ln|x| + C. Bei 1/x² musst du die Potenzregel anwenden: x⁻² → x⁻¹/(-1).

Typischer Fehler

Falsch∫ 2x dx = x²

Richtig∫ 2x dx = x² + C

Auch wenn die Konstante 2 das Ergebnis vereinfacht, darf C nicht fehlen!

Typischer Fehler

Falsch∫ √x dx = x√x/2 + C

Richtig∫ √x dx = ∫ x^(1/2) dx = x^(3/2)/(3/2) + C = (2/3)x√x + C

Schreibe √x als x^(1/2) und wende die Potenzregel an: Exponent 1/2 + 1 = 3/2, dann durch 3/2 teilen.

Übungsaufgaben

Aufgabe · Mittel

Aufgabe 1: Einfache Stammfunktionen

Bestimme jeweils eine Stammfunktion:

a) f(x) = x⁵

b) f(x) = 8x³

c) f(x) = 12

Hinweis Verwende die Potenzregel: Exponent um 1 erhöhen und durch den neuen Exponenten teilen. Bei Konstanten beachte: 12 = 12x⁰.

Lösung anzeigen

a) f(x) = x⁵

Potenzregel: ∫ x⁵ dx = x⁶/6 + C

F(x) = x⁶/6 + C

b) f(x) = 8x³

Faktorregel + Potenzregel: ∫ 8x³ dx = 8 · x⁴/4 = 2x⁴ + C

F(x) = 2x⁴ + C

c) f(x) = 12

Konstante integrieren: ∫ 12 dx = 12x + C

F(x) = 12x + C

Aufgabe · Mittel

Aufgabe 2: Polynom integrieren

Bestimme eine Stammfunktion von:

f(x) = 4x³ − 6x² + 9x − 2

Hinweis Integriere jeden Term einzeln mit der Summenregel. Vergiss die Integrationskonstante C nicht!

Lösung anzeigen

Schritt-für-Schritt:

∫ 4x³ dx = 4 · x⁴/4 = x⁴

∫ (−6x²) dx = −6 · x³/3 = −2x³

∫ 9x dx = 9 · x²/2 = 9x²/2

∫ (−2) dx = −2x

Endergebnis:

F(x) = x⁴ − 2x³ + 9x²/2 − 2x + C

Probe:

F'(x) = 4x³ − 6x² + 9x − 2 = f(x) ✓

Aufgabe · Mittel

Aufgabe 3: Funktion mit Brüchen

Bestimme eine Stammfunktion von:

f(x) = 2/x³ + 3√x

Hinweis Schreibe um als Potenzen: 1/x³ = x⁻³ und √x = x^(1/2). Dann Potenzregel anwenden.

Lösung anzeigen

Schritt 1: Als Potenzen schreiben

f(x) = 2x⁻³ + 3x^(1/2)

Schritt 2: Term für Term integrieren

∫ 2x⁻³ dx = 2 · x⁻²/(-2) = −x⁻² = −1/x²

∫ 3x^(1/2) dx = 3 · x^(3/2)/(3/2) = 3 · (2/3) · x^(3/2) = 2x^(3/2) = 2x√x

Endergebnis:

F(x) = −1/x² + 2x√x + C

oder: F(x) = −x⁻² + 2x^(3/2) + C

Aufgabe · Mittel

Aufgabe 4: Bestimmung der Konstante C

Gegeben ist f(x) = 2x + 3. Bestimme die Stammfunktion F(x), für die gilt: F(1) = 5.

Hinweis Bestimme zuerst die allgemeine Stammfunktion mit C. Dann setze x=1 ein und nutze F(1)=5, um C zu berechnen.

Lösung anzeigen

Schritt 1: Allgemeine Stammfunktion

∫ (2x + 3) dx = x² + 3x + C

F(x) = x² + 3x + C

Schritt 2: Bedingung F(1) = 5 einsetzen

F(1) = 1² + 3·1 + C = 5

1 + 3 + C = 5

4 + C = 5

C = 1

Spezielle Stammfunktion:

F(x) = x² + 3x + 1

Wichtig:

Wenn eine zusätzliche Bedingung gegeben ist, kann man C eindeutig bestimmen.

Zusammenfassung

Das Wichtigste

•Stammfunktion ist die Umkehrung der Ableitung: F'(x) = f(x)
•Integrationskonstante C ist zwingend erforderlich
•Potenzregel: ∫ xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C

Vorgehen

1.Funktion als Potenzen schreiben
2.Passende Regel wählen
3.Term für Term integrieren
4.+ C hinzufügen

Häufige Fehler

✗Konstante C vergessen
✗Nicht durch neuen Exponenten teilen
✗Mehrere C schreiben (nur ein C am Ende!)

Tipps fürs Abitur

1. Probe durchführen

Leite dein Ergebnis ab – du musst die ursprüngliche Funktion erhalten.

2. Umschreiben hilft

Brüche und Wurzeln als Potenzen schreiben macht vieles einfacher.

3. C nicht vergessen

In jeder Klausur wird geprüft, ob du die Integrationskonstante kennst!

4. Faktorregel nutzen

Konstante Faktoren vor das Integral ziehen vereinfacht die Rechnung.

5. Spezialfälle merken

∫ e^x dx = e^x + C und ∫ 1/x dx = ln|x| + C sind wichtig!

6. Sauber aufschreiben

Zeige jeden Schritt – das gibt Teilpunkte, auch bei Rechenfehlern.

Ein Beispiel

Finde die Stammfunktionen von f(x) = 3x² − 4.

Erhöhe bei x² den Exponenten auf 3 und teile durch 3. Mit dem Vorfaktor ergibt das x³.
Eine Stammfunktion der Konstante −4 ist −4x. Ergänze die Integrationskonstante.
F(x) = x³ − 4x + C. Zur Kontrolle: F′(x) = 3x² − 4 = f(x).

Darauf kommt es an

Die Potenzregel für Stammfunktionen gilt nicht bei n = −1. Eine Stammfunktion von $\frac{1}{x}$ ist ln|x| auf einem Intervall ohne 0.

Aufgabe

Bestimme eine Stammfunktion von f(x) = 4x³ + 2x.

Lösung und Rechenweg anzeigen

F(x) = x⁴ + x² ist eine Stammfunktion. Alle Stammfunktionen erhältst du durch + C.