Tangente und Normale
Tangentengleichung aufstellen, Normale berechnen, geometrische Bedeutung.
Tangente und Normale
Berührende und senkrechte Geraden am Graphen
Eine Tangente ist eine Gerade, die den Funktionsgraphen in einem Punkt berührt und dort die gleiche Steigung hat. Die Normale steht senkrecht auf der Tangente. Diese beiden Geraden sind wichtige Werkzeuge für die Analyse von Funktionen und kommen in fast jeder Kurvendiskussion vor.
Tangentengleichung
Die Gleichung der Geraden, die den Graphen im Punkt P berührt und die gleiche Steigung wie f hat.
Normalengleichung
Die senkrecht zur Tangente stehende Gerade durch den Berührpunkt.
Anwendungen
Finde Tangenten mit bestimmten Eigenschaften: parallel, senkrecht, durch einen Punkt.
Was sind Tangente und Normale?
📏 Die Tangente
Die Tangente ist eine Gerade, die:
- ✓den Graphen im Punkt P berührt
- ✓die gleiche Steigung wie f in P hat
- ✓den Graphen nicht schneidet (lokal)
🎯 Geometrische Bedeutung:
Die Tangente ist die beste lineare Approximation der Funktion im Punkt P. Sie zeigt die "momentane Richtung" des Graphen.
📐 Formeln:
Punkt-Steigungs-Form:
Allgemeine Form (y = mx + c):
mit m = f'(x₀) und c = f(x₀) - f'(x₀) · x₀
⊥ Die Normale
Die Normale ist eine Gerade, die:
- ✓durch den Punkt P geht
- ✓senkrecht zur Tangente steht
- ✓Steigung = negativer Kehrwert der Tangentensteigung
🎯 Wichtig:
Wenn die Tangentensteigung m ist, dann ist die Normalensteigung -1/m. Das gilt für alle Geraden, die senkrecht zueinander stehen!
📐 Formeln:
Punkt-Steigungs-Form:
Allgemeine Form (y = mx + c):
mit m = -1/f'(x₀) und c = f(x₀) + x₀/f'(x₀)
📊 Interaktive Visualisierung
Hier siehst du alle drei Funktionen gleichzeitig: f(x) = 0.2x² (cyan), Tangente (blau) und Normale (violett) im Punkt P(2, 0.8):
Funktion mit Tangente und Normale
f(x)
Funktion
t(x)
Tangente
n(x)
Normale
Funktion f(x)
f(x) = 0.2x²
f'(x) = 0.4x
Bei x₀ = 2:
f(2) = 0.8
f'(2) = 0.8
Tangente t(x)
Steigung: m = 0.8
Punkt-Steigung:
t(x) = 0.8(x-2) + 0.8
y = mx + c:
t(x) = 0.8x - 0.8
(m = 0.8, c = -0.8)
Normale n(x)
m = -1/0.8 = -1.25
Punkt-Steigung:
n(x) = -1.25(x-2) + 0.8
y = mx + c:
n(x) = -1.25x + 3.3
(m = -1.25, c = 3.3)
✓ Kontrolle:
Steigungsprodukt:
0.8 × (-1.25) = -1 ✓
Berührpunkt P(2 | 0.8):
f(2) = 0.8 ✓
t(2) = 0.8 ✓
n(2) = 0.8 ✓
Tangentengleichung berechnen
🎯 4-Schritte-Verfahren
Ableitung bilden
Bestimme die erste Ableitung f'(x) der Funktion.
Gegeben: f(x) = x³ - 2x² + 1
f'(x) = 3x² - 4x
Steigung berechnen
Setze die x-Koordinate des Berührpunkts in f'(x) ein, um die Steigung m zu erhalten.
Berührpunkt: x₀ = 1
m = f'(1) = 3·1² - 4·1 = -1
y-Koordinate bestimmen
Berechne f(x₀) für die y-Koordinate des Berührpunkts.
y₀ = f(1) = 1³ - 2·1² + 1 = 0
Berührpunkt: P(1 | 0)
Gleichung aufstellen
Setze alle Werte in die Tangentenformel ein.
Punkt-Steigungs-Form:
t(x) = -1 · (x - 1) + 0
t(x) = -x + 1
y = mx + c Form:
t(x) = -1 · x + 1
(m = -1, c = 1)
✅ Komplette Lösung
f(x) = x³ - 2x² + 1, Berührpunkt bei x₀ = 1
1. f'(x) = 3x² - 4x
2. m = f'(1) = -1
3. y₀ = f(1) = 0
4. t(x) = -x + 1
Normalengleichung berechnen
⊥ Normale berechnen
📐 Steigungsregel
Wenn Tangente die Steigung m hat:
Negativer Kehrwert
⚠️ Wichtig
• Die Normale geht durch denselben Punkt wie die Tangente
• Sie steht senkrecht zur Tangente
• Wenn m = 0 (horizontal), ist die Normale vertikal
Wie bei Tangente
Führe die ersten drei Schritte genau wie bei der Tangente durch:
1. f'(x) = 3x² - 4x
2. mTangente = f'(1) = -1
3. P(1 | 0)
Steigung der Normale
Bilde den negativen Kehrwert der Tangentensteigung.
mTangente = -1
mNormale = -1/(-1) = 1
Gleichung aufstellen
Setze die Normalensteigung in die Geradengleichung ein.
Punkt-Steigungs-Form:
n(x) = 1 · (x - 1) + 0
n(x) = x - 1
y = mx + c Form:
n(x) = 1 · x - 1
(m = 1, c = -1)
Beispiel 1:
mT = 2
mN = -1/2 = -0.5
Beispiel 2:
mT = -3
mN = -1/(-3) = 1/3
Beispiel 3:
mT = 0.25
mN = -1/0.25 = -4
Ausführliche Beispiele
📊 Beispiel 1: Quadratische Funktion
Aufgabe:
Bestimme die Gleichungen von Tangente und Normale an f(x) = x² - 4x + 3 im Punkt mit x₀ = 2.
📏 Tangente
Schritt 1: Ableitung
f'(x) = 2x - 4
Schritt 2: Steigung
m = f'(2) = 2·2 - 4 = 0
Schritt 3: y-Koordinate
y₀ = f(2) = 4 - 8 + 3 = -1
P(2 | -1)
Schritt 4: Gleichung
t(x) = -1
Horizontale Tangente!
⊥ Normale
Schritt 1-3: Wie Tangente
mT = 0, P(2 | -1)
Schritt 4: Normalensteigung
mN = -1/0 = ∞
⚠️ Undefiniert!
Schritt 5: Gleichung
n: x = 2
Vertikale Gerade!
Bei horizontaler Tangente ist die Normale vertikal (und umgekehrt).
💡 Interpretation:
Bei x = 2 hat die Parabel ihr Minimum. Die Tangente ist horizontal (Steigung 0), die Normale ist die vertikale Gerade durch den Scheitelpunkt.
📈 Beispiel 2: Kubische Funktion
Aufgabe:
Bestimme Tangente und Normale an f(x) = x³ - 3x² + 2 im Punkt P(1 | 0).
Berechnung:
f(x) = x³ - 3x² + 2
f'(x) = 3x² - 6x
Bei x₀ = 1:
m = f'(1) = 3 - 6 = -3
y₀ = f(1) = 0
Ergebnisse:
Tangente:
t(x) = -3(x - 1)
t(x) = -3x + 3
Normale:
mN = -1/(-3) = 1/3
n(x) = 1/3(x - 1)
n(x) = 1/3·x - 1/3
Kontrolle:
Steigungsprodukt:
-3 · 1/3 = -1 ✓
Senkrecht zueinander!
Beide durch P(1 | 0):
t(1) = 0 ✓
n(1) = 0 ✓
🔬 Beispiel 3: e-Funktion
Aufgabe:
Bestimme Tangente und Normale an f(x) = 2e^x bei x₀ = 0.
Ableitung:
f'(x) = 2e^x
Bei x₀ = 0:
m = f'(0) = 2e⁰ = 2
y₀ = f(0) = 2
Tangente:
t(x) = 2(x - 0) + 2
t(x) = 2x + 2
Normale:
mN = -1/2 = -0.5
n(x) = -0.5x + 2
💡 Besonderheit:
Bei e-Funktionen ist die Ableitung wieder eine e-Funktion! Bei x = 0 schneiden sich f(x) und die Tangente im Punkt (0 | 2).