Uneigentliche Integrale

Integration über unbeschränkte Intervalle oder mit Polstellen.

Integralrechnung · Thema 7

Uneigentliche Integrale

Integration über unendliche Intervalle oder an Polstellen

∞

Unendliche Grenzen

Integration bis ∞: Grenzwertbildung mit ∫ₐ^∞ f(x) dx = lim(b→∞) ∫ₐᵇ f(x) dx

📊

Konvergenz oder Divergenz

Das Integral konvergiert (endlicher Wert) oder divergiert (∞)

⚠️

Polstellen beachten

Auch Definitionslücken im Intervall erfordern uneigentliche Integrale

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Definition

Ein uneigentliches Integral liegt vor, wenn mindestens eine der folgenden Bedingungen erfüllt ist:

Typ I: Unendliche Grenzen

Mindestens eine Integrationsgrenze ist ±∞

Typ II: Polstellen

Der Integrand hat eine Definitionslücke (Polstelle) im Intervall

Allgemeine Vorgehensweise:

Uneigentliche Integrale werden durch Grenzwertbildung berechnet:

  1. 1. Ersetze die kritische Grenze durch eine Variable (z.B. b oder c)
  2. 2. Berechne das bestimmte Integral mit dieser Variable
  3. 3. Bilde den Grenzwert für b → ∞ (oder c → a bei Polstellen)
💡

Wichtig:

Ein uneigentliches Integral konvergiert, wenn der Grenzwert existiert und endlich ist. Es divergiert, wenn der Grenzwert ±∞ oder nicht existent ist.

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Typ I: Unendliche Integrationsgrenzen

Bei Integralen mit unendlichen Grenzen wird die Grenze durch eine Variable ersetzt und anschließend der Grenzwert gebildet.

Fall 1: Obere Grenze unendlich

∫a∞f(x) dx=limb→∞∫abf(x) dx

Schritt 1: Berechne F(b) - F(a) mit Stammfunktion F

Schritt 2: Bilde limb→∞ [F(b) - F(a)]

✓ Konvergiert, wenn Grenzwert endlich ist
✗ Divergiert, wenn Grenzwert ±∞ ist

Fall 2: Untere Grenze unendlich

∫-∞bf(x) dx=lima→-∞∫abf(x) dx

Schritt 1: Berechne F(b) - F(a) mit Stammfunktion F

Schritt 2: Bilde lima→-∞ [F(b) - F(a)]

Fall 3: Beide Grenzen unendlich

∫-∞∞f(x) dx=∫-∞cf(x) dx+∫c∞f(x) dx

Wichtig: Integral muss in zwei Teile zerlegt werden (z.B. bei c = 0)

Konvergenz: Nur wenn BEIDE Teilintegrale konvergieren

⚠️ Wenn eines divergiert, divergiert das gesamte Integral!

⚡Merkhilfe: Konvergenzverhalten

  • • ∫₁^∞ 1/xⁿ dx konvergiert für n > 1 (z.B. 1/x² ✓)
  • • ∫₁^∞ 1/x dx divergiert (logarithmisch)
  • • ∫₁^∞ e⁻ˣ dx konvergiert (exponentielle Abklingung)
  • • ∫₁^∞ 1/√x dx divergiert (zu langsames Abklingen)
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Typ II: Integrale mit Polstellen

Wenn der Integrand f(x) an einer Stelle im Integrationsintervall nicht definiert ist (Polstelle), muss das Integral als Grenzwert betrachtet werden.

Fall 1: Polstelle am linken Rand

∫abf(x) dx=limc→a⁺∫cbf(x) dx

Die Polstelle liegt bei x = a. Wir nähern uns von rechts (c → a⁺).

Fall 2: Polstelle am rechten Rand

∫abf(x) dx=limc→b⁻∫acf(x) dx

Die Polstelle liegt bei x = b. Wir nähern uns von links (c → b⁻).

Fall 3: Polstelle im Inneren

∫abf(x) dx=∫apf(x) dx+∫pbf(x) dx

Die Polstelle liegt bei x = p mit a < p < b.

Vorgehen: Zerlege das Integral an der Polstelle!

∫ap = limc→p⁻ ∫ac (von links)
∫pb = limc→p⁺ ∫cb (von rechts)

🔍Polstellen erkennen

Nenner = 0

1/x hat Polstelle bei x = 0

ln(x) bei x = 0

Logarithmus divergiert für x → 0⁺

tan(x) bei π/2

Tangente hat Polstellen

Wurzel bei 0

1/√x hat Polstelle bei x = 0

🧩

Systematisches Vorgehen

So berechnest du uneigentliche Integrale Schritt für Schritt:

1

Problem identifizieren

Typ I: Ist eine Integrationsgrenze ±∞?
Typ II: Hat f(x) eine Definitionslücke (Polstelle) im Intervall [a, b]?

💡 Prüfe: Gibt es x-Werte, bei denen der Nenner 0 wird?
2

Grenzwert aufstellen

Ersetze die kritische Grenze durch eine Variable:
• Bei ∞: Verwende Variable b (oder a bei -∞)
• Bei Polstelle: Verwende Variable c, die sich der Polstelle nähert

∫1∞ f(x) dx = limb→∞ ∫1b f(x) dx
3

Stammfunktion bestimmen

Finde die Stammfunktion F(x) von f(x) mit den üblichen Integrationsregeln.

⚠️ Achtung: Stammfunktion muss auch an kritischen Stellen definierbar sein!
4

Bestimmtes Integral berechnen

Berechne [F(x)]ab = F(b) - F(a), wobei b (oder a bzw. c) noch eine Variable ist.

[F(x)]1b = F(b) - F(1)
5

Grenzwert berechnen

Bilde den Grenzwert limb→∞ [F(b) - F(a)] (oder entsprechend bei anderen Fällen).

💡 Tipp: limx→∞ e⁻ˣ = 0, limx→∞ 1/x = 0, limx→∞ x = ∞
6

Konvergenz prüfen

Konvergiert: Grenzwert ist eine endliche Zahl
Divergiert: Grenzwert ist ±∞ oder existiert nicht

📝Merkhilfe

Typischer Ablauf:

Problem erkennen → Grenzwert aufschreiben → F(x) finden → F(b) - F(a) → lim bilden → Konvergenz prüfen

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