Warum zusammengesetzte Funktionen?
Stell dir vor: Du hast zwei Funktionen f(x) = x² und g(x) = 2x + 1. Was passiert, wenn du sie kombinierst?
Zusammengesetzte Funktionen erlauben es dir, aus einfachen Funktionen komplexere zu bauen – durch Addition, Multiplikation oder Verkettung.
Im Mathe-Abi brauchst du das für:
- Funktionen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren
- Verkettung von Funktionen (f ∘ g)(x) verstehen
- Umkehrfunktionen bestimmen und deren Eigenschaften nutzen
- Definitions- und Wertebereiche zusammengesetzter Funktionen
Was sind zusammengesetzte Funktionen?
Grundoperationen: Seien f und g zwei Funktionen. Dann können wir bilden:
Summe:
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
Differenz:
(f − g)(x) = f(x) − g(x)
Produkt:
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
Quotient:
(f / g)(x) = f(x) / g(x), wobei g(x) ≠ 0
Verkettung (Komposition):
(f ∘ g)(x) = f(g(x))
Lies: "f nach g" oder "f verkettet mit g"
Bedeutung: Erst g anwenden, dann f auf das Ergebnis.
Umkehrfunktion:
Die Umkehrfunktion f⁻¹ macht die Wirkung von f rückgängig:
f⁻¹(f(x)) = x und f(f⁻¹(y)) = y
Bedingung: f muss umkehrbar sein (bijektiv: injektiv und surjektiv)
Schritt-für-Schritt: Umkehrfunktion bestimmen
Funktion umstellen
Schreibe y = f(x) und löse die Gleichung nach x auf.Variablen tauschen
Tausche x und y: Was vorher y war, ist jetzt x und umgekehrt.Umkehrfunktion notieren
Das Ergebnis ist f⁻¹(x).Definitions- und Wertebereich prüfen
Df⁻¹ = Wf und Wf⁻¹ = DfBeispiele
Beispiel 1: Grundoperationen mit Funktionen
Gegeben:
f(x) = x² und g(x) = 2x + 3
a) Summe (f + g)(x):
(f + g)(x) = f(x) + g(x)
= x² + (2x + 3)
= x² + 2x + 3
b) Produkt (f · g)(x):
(f · g)(x) = f(x) · g(x)
= x² · (2x + 3)
= 2x³ + 3x²
c) Quotient (f / g)(x):
(f / g)(x) = f(x) / g(x)
= x² / (2x + 3)
Definitionsbereich: D = ℝ \ {-3/2}
(Nenner darf nicht 0 sein: 2x + 3 ≠ 0)
Beispiel 2: Verkettung von Funktionen
Gegeben:
f(x) = x² und g(x) = 2x + 1
a) (f ∘ g)(x) = f(g(x)):
Erst g anwenden: g(x) = 2x + 1
Dann f auf das Ergebnis:
f(g(x)) = f(2x + 1)
= (2x + 1)²
= 4x² + 4x + 1
b) (g ∘ f)(x) = g(f(x)):
Erst f anwenden: f(x) = x²
Dann g auf das Ergebnis:
g(f(x)) = g(x²)
= 2 · x² + 1
= 2x² + 1
Achtung:
(f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x) im Allgemeinen!
Die Reihenfolge bei der Verkettung ist wichtig.
Beispiel 3: Umkehrfunktion bestimmen
Gegeben:
f(x) = 2x + 3
Bestimme die Umkehrfunktion f⁻¹(x).
Schritt 1: Umstellen
y = 2x + 3
y − 3 = 2x
x = (y − 3) / 2
Schritt 2: Variablen tauschen
y = (x − 3) / 2
Schritt 3: Umkehrfunktion
f⁻¹(x) = (x − 3) / 2
Probe:
f(f⁻¹(x)) = f((x − 3) / 2)
= 2 · ((x − 3) / 2) + 3
= (x − 3) + 3
= x ✓
Beispiel 4: Umkehrfunktion einer Wurzelfunktion
Gegeben:
f(x) = √x + 2, x ≥ 0
Schritt 1: Umstellen
y = √x + 2
y − 2 = √x
(y − 2)² = x
Schritt 2 & 3: Tauschen und notieren
f⁻¹(x) = (x − 2)²
mit Df⁻¹ = [2, ∞)
Wichtig:
Wf = [2, ∞) wird zu Df⁻¹ = [2, ∞)
Df = [0, ∞) wird zu Wf⁻¹ = [0, ∞)
Häufige Fehler
Typischer Fehler
Falsch(f ∘ g)(x) = f(x) · g(x)
Richtig(f ∘ g)(x) = f(g(x))
Das Verkettungssymbol ∘ bedeutet NICHT Multiplikation! Bei der Verkettung wird g(x) in f eingesetzt.
Typischer Fehler
FalschDie Umkehrfunktion von f(x) = x² ist f⁻¹(x) = √x
Richtigf⁻¹ existiert nur für eingeschränkten Definitionsbereich, z.B. f: [0,∞) → [0,∞), dann f⁻¹(x) = √x
Eine Funktion muss bijektiv (umkehrbar eindeutig) sein, um eine Umkehrfunktion zu haben. x² ist nicht injektiv auf ℝ.
Typischer Fehler
Falschf⁻¹(x) = 1/f(x)
Richtigf⁻¹ ist die Umkehrfunktion, NICHT der Kehrwert!
Das hochgestellte −1 bedeutet bei Funktionen die Umkehrung, nicht den Kehrwert. Der Kehrwert wäre [f(x)]⁻¹.
Übungsaufgaben
Leicht · Mittel
Aufgabe 1: Grundoperationen
Gegeben sind f(x) = x² − 1 und g(x) = 3x + 2.
Bestimme:
- a) (f + g)(x)
- b) (f − g)(x)
- c) (f · g)(x)
Hinweis Setze einfach die Funktionen in die Definitionen ein: (f + g)(x) = f(x) + g(x), usw.
Lösung anzeigen
a) (f + g)(x):
(f + g)(x) = (x² − 1) + (3x + 2)
= x² + 3x + 1
b) (f − g)(x):
(f − g)(x) = (x² − 1) − (3x + 2)
= x² − 1 − 3x − 2
= x² − 3x − 3
c) (f · g)(x):
(f · g)(x) = (x² − 1) · (3x + 2)
= 3x³ + 2x² − 3x − 2
= 3x³ + 2x² − 3x − 2
Mittel · Mittel
Aufgabe 2: Verkettung
Gegeben sind f(x) = 2x − 3 und g(x) = x² + 1.
Bestimme:
- a) (f ∘ g)(x)
- b) (g ∘ f)(x)
- c) Berechne (f ∘ g)(2)
Hinweis Bei (f ∘ g)(x) wird erst g angewendet, dann f auf das Ergebnis. Denk an: f(g(x)).
Lösung anzeigen
a) (f ∘ g)(x) = f(g(x)):
g(x) = x² + 1
f(g(x)) = f(x² + 1)
= 2(x² + 1) − 3
= 2x² + 2 − 3
= 2x² − 1
b) (g ∘ f)(x) = g(f(x)):
f(x) = 2x − 3
g(f(x)) = g(2x − 3)
= (2x − 3)² + 1
= 4x² − 12x + 9 + 1
= 4x² − 12x + 10
c) (f ∘ g)(2):
Wir nutzen (f ∘ g)(x) = 2x² − 1:
(f ∘ g)(2) = 2 · 2² − 1
= 2 · 4 − 1
= 7
Mittel · Mittel
Aufgabe 3: Umkehrfunktion bestimmen
Gegeben ist f(x) = 3x − 5.
a) Bestimme die Umkehrfunktion f⁻¹(x).
b) Prüfe durch Einsetzen, dass f(f⁻¹(x)) = x gilt.
Hinweis Setze y = f(x), löse nach x auf, tausche dann x und y.
Lösung anzeigen
a) Umkehrfunktion bestimmen:
y = 3x − 5
y + 5 = 3x
x = (y + 5) / 3
Variablen tauschen:
f⁻¹(x) = (x + 5) / 3
b) Probe:
f(f⁻¹(x)) = f((x + 5) / 3)
= 3 · ((x + 5) / 3) − 5
= (x + 5) − 5
= x ✓
Schwer · Mittel
Aufgabe 4: Umkehrfunktion bei quadratischer Funktion
Gegeben ist f(x) = x² + 4x + 1 mit Definitionsbereich Df = [−2, ∞).
a) Bestimme die Umkehrfunktion f⁻¹(x).
b) Gib den Definitions- und Wertebereich von f⁻¹ an.
Hinweis Schreibe die Funktion zuerst in Scheitelpunktform. Beachte den eingeschränkten Definitionsbereich!
Lösung anzeigen
Vorbereitung: Scheitelpunktform
f(x) = x² + 4x + 1
= (x + 2)² − 4 + 1
= (x + 2)² − 3
Scheitelpunkt: S(−2, −3)
a) Umkehrfunktion bestimmen:
y = (x + 2)² − 3
y + 3 = (x + 2)²
√(y + 3) = x + 2
(nur positive Wurzel, da x ≥ −2)
x = √(y + 3) − 2
Variablen tauschen:
f⁻¹(x) = √(x + 3) − 2
b) Definitions- und Wertebereich:
Für f:
Df = [−2, ∞)
Wf = [−3, ∞)
(Minimum bei x = −2: f(−2) = −3)
Für f⁻¹:
Df⁻¹ = Wf = [−3, ∞)
Wf⁻¹ = Df = [−2, ∞)
Wichtige Tipps
Definitionsbereiche beachten!
Bei zusammengesetzten Funktionen ist D = Df ∩ Dg, beim Quotienten zusätzlich g(x) ≠ 0, bei der Verkettung (f ∘ g): Wg ⊆ Df.
Verkettung ist nicht kommutativ!
Im Allgemeinen gilt: (f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x). Die Reihenfolge ist wichtig!
Umkehrfunktion: Graph spiegeln!
Der Graph von f⁻¹ entsteht durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalbierenden y = x.
✓ Probe durchführen!
Bei Umkehrfunktionen immer prüfen: f(f⁻¹(x)) = x und f⁻¹(f(x)) = x.
Zusammenhänge zu anderen Themen
Ableitungsregeln
Die Kettenregel ist die Ableitung einer verketteten Funktion: (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x)
Logarithmus
Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: ln(ex) = x und eln(x) = x
Kurvendiskussion
Symmetrie nutzen: Ist f gerade (f(−x) = f(x)), dann ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.
Nullstellen
Nullstellen von f sind die x-Werte von Schnittpunkten des Graphen von f⁻¹ mit der y-Achse.
Ein Beispiel
Verkette g(x) = 2x + 1 mit f(x) = x².
- Die innere Funktion liefert 2x + 1. Setze diesen gesamten Ausdruck für das Argument von f ein.
- Du erhältst f(g(x)) = (2x + 1)². Bei x = 2 wird daraus 5² = 25.
- Vertauschte Reihenfolge: g(f(x)) = 2x² + 1. Bei x = 2 ist das 9; die Reihenfolge ist entscheidend.
Darauf kommt es an
f⁻¹ bezeichnet die Umkehrfunktion und nicht den Kehrwert . Bei x² musst du etwa auf x ≥ 0 einschränken, um √x als Umkehrfunktion zu erhalten.
Aufgabe
Bestimme die Umkehrfunktion von f(x) = 3x − 6.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Setze y = 3x − 6 und löse nach x: x = Nach Umbenennung lautet f⁻¹(x) =