Zusammengesetzte Funktionen und Umkehrfunktionen

Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten, Verkettungen und das Finden der Umkehrfunktion.

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Warum zusammengesetzte Funktionen?

Stell dir vor: Du hast zwei Funktionen f(x) = x² und g(x) = 2x + 1. Was passiert, wenn du sie kombinierst?

Zusammengesetzte Funktionen erlauben es dir, aus einfachen Funktionen komplexere zu bauen – durch Addition, Multiplikation oder Verkettung.

💡 Im Mathe-Abi brauchst du das für:

Funktionen addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren
Verkettung von Funktionen (f ∘ g)(x) verstehen
Umkehrfunktionen bestimmen und deren Eigenschaften nutzen
Definitions- und Wertebereiche zusammengesetzter Funktionen

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Was sind zusammengesetzte Funktionen?

Grundoperationen: Seien f und g zwei Funktionen. Dann können wir bilden:

Summe:

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

Differenz:

(f − g)(x) = f(x) − g(x)

Produkt:

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

Quotient:

(f / g)(x) = f(x) / g(x), wobei g(x) ≠ 0

Verkettung (Komposition):

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

Lies: "f nach g" oder "f verkettet mit g"

Bedeutung: Erst g anwenden, dann f auf das Ergebnis.

Umkehrfunktion:

Die Umkehrfunktion f⁻¹ macht die Wirkung von f rückgängig:

f⁻¹(f(x)) = x und f(f⁻¹(y)) = y

Bedingung: f muss umkehrbar sein (bijektiv: injektiv und surjektiv)

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Schritt-für-Schritt: Umkehrfunktion bestimmen

Funktion umstellen

Schreibe y = f(x) und löse die Gleichung nach x auf.

Variablen tauschen

Tausche x und y: Was vorher y war, ist jetzt x und umgekehrt.

Umkehrfunktion notieren

Das Ergebnis ist f⁻¹(x).

Definitions- und Wertebereich prüfen

D_f⁻¹ = W_f und W_f⁻¹ = D_f

✏️

Beispiele

Beispiel 1: Grundoperationen mit Funktionen

Gegeben:

f(x) = x² und g(x) = 2x + 3

a) Summe (f + g)(x):

(f + g)(x) = f(x) + g(x)

= x² + (2x + 3)

= x² + 2x + 3

b) Produkt (f · g)(x):

(f · g)(x) = f(x) · g(x)

= x² · (2x + 3)

= 2x³ + 3x²

c) Quotient (f / g)(x):

(f / g)(x) = f(x) / g(x)

= x² / (2x + 3)

Definitionsbereich: D = ℝ \ {-3/2}

(Nenner darf nicht 0 sein: 2x + 3 ≠ 0)

Beispiel 2: Verkettung von Funktionen

Gegeben:

f(x) = x² und g(x) = 2x + 1

a) (f ∘ g)(x) = f(g(x)):

Erst g anwenden: g(x) = 2x + 1

Dann f auf das Ergebnis:

f(g(x)) = f(2x + 1)

= (2x + 1)²

= 4x² + 4x + 1

b) (g ∘ f)(x) = g(f(x)):

Erst f anwenden: f(x) = x²

Dann g auf das Ergebnis:

g(f(x)) = g(x²)

= 2 · x² + 1

= 2x² + 1

⚠️ Achtung:

(f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x) im Allgemeinen!
Die Reihenfolge bei der Verkettung ist wichtig.

Beispiel 3: Umkehrfunktion bestimmen

Gegeben:

f(x) = 2x + 3

Bestimme die Umkehrfunktion f⁻¹(x).

Schritt 1: Umstellen

y = 2x + 3

y − 3 = 2x

x = (y − 3) / 2

Schritt 2: Variablen tauschen

y = (x − 3) / 2

Schritt 3: Umkehrfunktion

f⁻¹(x) = (x − 3) / 2

Probe:

f(f⁻¹(x)) = f((x − 3) / 2)

= 2 · ((x − 3) / 2) + 3

= (x − 3) + 3

= x ✓

Beispiel 4: Umkehrfunktion einer Wurzelfunktion

Gegeben:

f(x) = √x + 2, x ≥ 0

Schritt 1: Umstellen

y = √x + 2

y − 2 = √x

(y − 2)² = x

Schritt 2 & 3: Tauschen und notieren

f⁻¹(x) = (x − 2)²

mit D_f⁻¹ = [2, ∞)

💡 Wichtig:

W_f = [2, ∞) wird zu D_f⁻¹ = [2, ∞)
D_f = [0, ∞) wird zu W_f⁻¹ = [0, ∞)

🚨

Häufige Fehler

⚠️

✗ Falsch:

(f ∘ g)(x) = f(x) · g(x)

✓ Richtig:

(f ∘ g)(x) = f(g(x))

Das Verkettungssymbol ∘ bedeutet NICHT Multiplikation! Bei der Verkettung wird g(x) in f eingesetzt.

⚠️

✗ Falsch:

Die Umkehrfunktion von f(x) = x² ist f⁻¹(x) = √x

✓ Richtig:

f⁻¹ existiert nur für eingeschränkten Definitionsbereich, z.B. f: [0,∞) → [0,∞), dann f⁻¹(x) = √x

Eine Funktion muss bijektiv (umkehrbar eindeutig) sein, um eine Umkehrfunktion zu haben. x² ist nicht injektiv auf ℝ.

⚠️

✗ Falsch:

f⁻¹(x) = 1/f(x)

✓ Richtig:

f⁻¹ ist die Umkehrfunktion, NICHT der Kehrwert!

Das hochgestellte −1 bedeutet bei Funktionen die Umkehrung, nicht den Kehrwert. Der Kehrwert wäre [f(x)]⁻¹.

💡

Übungsaufgaben

Leicht

Aufgabe 1: Grundoperationen

Gegeben sind f(x) = x² − 1 und g(x) = 3x + 2.

Bestimme:

a) (f + g)(x)
b) (f − g)(x)
c) (f · g)(x)

💡 Hinweis: Setze einfach die Funktionen in die Definitionen ein: (f + g)(x) = f(x) + g(x), usw.

Mittel

Aufgabe 2: Verkettung

Gegeben sind f(x) = 2x − 3 und g(x) = x² + 1.

Bestimme:

a) (f ∘ g)(x)
b) (g ∘ f)(x)
c) Berechne (f ∘ g)(2)

💡 Hinweis: Bei (f ∘ g)(x) wird erst g angewendet, dann f auf das Ergebnis. Denk an: f(g(x)).

Mittel

Aufgabe 3: Umkehrfunktion bestimmen

Gegeben ist f(x) = 3x − 5.

a) Bestimme die Umkehrfunktion f⁻¹(x).

b) Prüfe durch Einsetzen, dass f(f⁻¹(x)) = x gilt.

💡 Hinweis: Setze y = f(x), löse nach x auf, tausche dann x und y.

Schwer

Aufgabe 4: Umkehrfunktion bei quadratischer Funktion

Gegeben ist f(x) = x² + 4x + 1 mit Definitionsbereich D_f = [−2, ∞).

a) Bestimme die Umkehrfunktion f⁻¹(x).

b) Gib den Definitions- und Wertebereich von f⁻¹ an.

💡 Hinweis: Schreibe die Funktion zuerst in Scheitelpunktform. Beachte den eingeschränkten Definitionsbereich!

💡

Wichtige Tipps

🎯 Definitionsbereiche beachten!

Bei zusammengesetzten Funktionen ist D = D_f ∩ D_g, beim Quotienten zusätzlich g(x) ≠ 0, bei der Verkettung (f ∘ g): W_g ⊆ D_f.

🔄 Verkettung ist nicht kommutativ!

Im Allgemeinen gilt: (f ∘ g)(x) ≠ (g ∘ f)(x). Die Reihenfolge ist wichtig!

↔️ Umkehrfunktion: Graph spiegeln!

Der Graph von f⁻¹ entsteht durch Spiegelung des Graphen von f an der Winkelhalbierenden y = x.

✓ Probe durchführen!

Bei Umkehrfunktionen immer prüfen: f(f⁻¹(x)) = x und f⁻¹(f(x)) = x.

🔗

Zusammenhänge zu anderen Themen

🔗 Ableitungsregeln

Die Kettenregel ist die Ableitung einer verketteten Funktion: (f ∘ g)'(x) = f'(g(x)) · g'(x)

🔗 Logarithmus

Der Logarithmus ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion: ln(e^x) = x und e^ln(x) = x

🔗 Kurvendiskussion

Symmetrie nutzen: Ist f gerade (f(−x) = f(x)), dann ist der Graph achsensymmetrisch zur y-Achse.

🔗 Nullstellen

Nullstellen von f sind die x-Werte von Schnittpunkten des Graphen von f⁻¹ mit der y-Achse.

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