Abstand eines Punktes von einer Geraden
Verschiedene Methoden: Lotfußpunkt, Hilfsebene und Kreuzprodukt-Formel.
Worum geht es?
Wie weit ist ein Punkt von einer Geraden entfernt? Diese Frage ist eine der häufigsten Abituraufgaben in der Geometrie! Im Gegensatz zum Abstand Punkt-Ebene (wo wir die HNF nutzen) gibt es hier mehrere Lösungswege. Du wirst sehen: Mit dem Kreuzproduktgeht es besonders elegant!
🎯 Zentrale Idee
Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die kürzeste Streckezwischen P und g. Diese steht senkrecht auf der Geraden. Der Punkt, an dem das Lot die Gerade trifft, heißt Lotfußpunkt F.
Drei Lösungswege
Es gibt mehrere Wege, den Abstand zu berechnen. Im Abitur BW ist die Kreuzprodukt-Methode am effizientesten!
Kreuzprodukt
⭐ Empfohlen!
Nutzt die Fläche des Parallelogramms
d = |→AP × →u| / |→u|
Hilfsebene
Klassischer Weg
Ebene durch P senkrecht zu g konstruieren
Lotfußpunkt F berechnen
Extremwert
Analysis-Ansatz
Abstand als Funktion von t minimieren
d(t) = |P - (A + t·u)| → min
💡 Tipp fürs Abitur: Lerne die Kreuzprodukt-Methode! Sie ist schnell, zuverlässig und du machst weniger Rechenfehler.
Methode 1: Kreuzprodukt (Formel)
Die eleganteste Methode nutzt eine geometrische Eigenschaft des Kreuzprodukts: Es berechnet die Fläche eines Parallelogramms.
📐 Herleitung der Formel
Idee: Der Vektor und der Richtungsvektor spannen ein Parallelogramm auf.
Fläche des Parallelogramms:
Aber auch (Kreuzprodukt!):
Gleichsetzen und nach d auflösen:
Abstandsformel (Kreuzprodukt)
P = der Punkt, dessen Abstand gesucht ist
A = Stützpunkt der Geraden
→AP = Verbindungsvektor von A nach P
→u = Richtungsvektor der Geraden
📋 Rechenrezept
- 1Verbindungsvektor berechnen
- 2Kreuzprodukt berechnen
- 3Beträge im Zähler und Nenner berechnen
- 4Dividieren → Abstand d
Beispiel 1: Standardfall
Wir berechnen den Abstand Schritt für Schritt mit der Kreuzprodukt-Formel.
✏️ Aufgabe
Berechne den Abstand des Punktes P von der Geraden g:
Punkt
Gerade
Verbindungsvektor →AP berechnen
Stützpunkt A = (1, 2, 0), Punkt P = (5, 3, 1)
Kreuzprodukt →AP × →u berechnen
Richtungsvektor
1. Komponente:
2. Komponente:
3. Komponente:
Beträge berechnen
Zähler: |→AP × →u|
Nenner: |→u|
Abstand berechnen
✅ Ergebnis: LE
Beispiel 2: Punkt auf der Geraden?
Was passiert, wenn der Punkt auf der Geraden liegt? Dann ist der Abstand natürlich 0!
✏️ Aufgabe
Berechne den Abstand:
🎯 Das Kreuzprodukt ist der Nullvektor → P liegt auf der Geraden!
Der Abstand ist d = 0.
💡 Merke: Wenn und parallel sind (Kreuzprodukt = Nullvektor), dann liegt P auf der Geraden.
Methode 2: Hilfsebene (Alternative)
Diese Methode ist aufwendiger, aber im Abitur manchmal gefragt, wenn zusätzlich der Lotfußpunkt F berechnet werden soll.
📋 Vorgehen bei der Hilfsebenen-Methode
- 1
Hilfsebene E aufstellen
Die Ebene enthält P und steht senkrecht auf g.
Normalenvektor von E = Richtungsvektor von g
- 2
Lotfußpunkt F berechnen
Schnittpunkt von g und E bestimmen.
- 3
Abstand berechnen
Länge des Vektors berechnen.
✏️ Beispiel mit Lotfußpunkt
Gleiche Aufgabe wie Beispiel 1:
Schritt 1: Hilfsebene E aufstellen
E enthält P(5|3|1) und hat als Normalenvektor.
E: 2x + y + 2z = 15
Schritt 2: Schnittpunkt F = g ∩ E
Gerade in Ebenengleichung einsetzen:
Lotfußpunkt F in g einsetzen:
Schritt 3: Abstand d = |→FP|
✅ Ergebnis: LE
✓ Gleiches Ergebnis wie mit der Kreuzprodukt-Methode!
💡 Fazit: Die Hilfsebenen-Methode liefert zusätzlich den Lotfußpunkt F, ist aber deutlich rechenaufwendiger. Nutze sie nur, wenn F explizit gefragt ist!
Anwendungsbeispiel: Textaufgabe
🚂 Abstand eines Bahnhofs von einer Bahnstrecke
Eine Bahnstrecke verläuft geradlinig und kann durch die Gerade beschrieben werden (Angaben in km). Der Bahnhof B befindet sich bei den Koordinaten (2 | 6 | 1).
Wie weit ist der Bahnhof von der Bahnstrecke entfernt?
Lösung mit Kreuzprodukt:
✅ Der Bahnhof ist etwa 6,08 km von der Bahnstrecke entfernt.
Übungsaufgaben
Übe die Kreuzprodukt-Methode! Achte auf saubere Rechnung beim Kreuzprodukt.
Aufgabe 1: Grundaufgabe
leichtBerechne den Abstand des Punktes P(4 | 0 | 3) von der Geraden
Aufgabe 2: Schönes Ergebnis
leichtBerechne den Abstand des Punktes P(6 | 2 | 2) von der Geraden
Aufgabe 3: Punkt auf der Geraden?
mittelZeige, dass der Punkt P(7 | 5 | 3) auf der Geraden liegt:
Aufgabe 4: Koordinatenachse
mittelBerechne den Abstand des Punktes P(3 | 4 | 5) von der z-Achse.
(Hinweis: Die z-Achse hat die Gleichung )
Aufgabe 5: Mit Lotfußpunkt
schwerBerechne den Abstand des Punktes P(1 | 5 | 0) von der Geraden g und bestimme den Lotfußpunkt F.
Aufgabe 6: Textaufgabe
schwerEin Funkmast steht bei M(100 | 50 | 0) (Angaben in Metern). Eine Stromleitung verläuft geradlinig von A(0 | 0 | 20) nach B(200 | 100 | 20).
Wie weit ist die Basis des Funkmastes von der Stromleitung entfernt?
Zusammenfassung
⭐ Die Abstandsformel
P = Punkt, dessen Abstand gesucht ist
A = Stützpunkt der Geraden g
→u = Richtungsvektor von g
→AP = P - A (Verbindungsvektor)
📋 Vorgehen
- 1Verbindungsvektor berechnen
- 2Kreuzprodukt berechnen
- 3Beträge im Zähler und Nenner
- 4Dividieren → Abstand d
⚖️ Methodenvergleich
| Methode | Aufwand | Lotfußpunkt? | Empfehlung |
|---|---|---|---|
| Kreuzprodukt | ⭐ Gering | ❌ | ✅ Standard für Abitur |
| Hilfsebene | Mittel | ✅ | Nur wenn F gefragt ist |
| Extremwert | Hoch | ✅ | Analysis-Aufgaben |
⚠️ Typische Fehler vermeiden
❌ Kreuzprodukt-Reihenfolge
und haben entgegengesetzte Vorzeichen, aber gleiche Länge → Ergebnis stimmt trotzdem!
❌ Falscher Verbindungsvektor
, nicht ! (Bei Kreuzprodukt egal wegen Betrag)
❌ Rechenfehler beim Kreuzprodukt
Merke: "Zeile überdecken" oder Schema verwenden. Vorzeichen bei der 2. Komponente beachten!
❌ Wurzel vergessen
Bei den Beträgen: , nicht nur Summe der Quadrate!
✅ Das kannst du jetzt!
- ✓Abstand Punkt-Gerade mit Kreuzprodukt
- ✓Prüfen, ob Punkt auf Gerade liegt
- ✓Hilfsebenen-Methode für Lotfußpunkt
- ✓Textaufgaben mit Abständen lösen
- ✓Abstand zu Koordinatenachsen
- ✓Richtige Methode wählen