Abstand zueinander windschiefer Geraden
Berechnung des kürzesten Abstands zwischen zwei Geraden, die sich nicht schneiden.
Worum geht es?
Zwei Geraden im Raum, die sich weder schneiden noch parallel sind, heißen windschief. Sie „gehen aneinander vorbei" ohne sich je zu berühren. Der Abstand windschiefer Geraden ist ein Klassiker im Abitur – und mit der richtigen Formel erstaunlich einfach zu berechnen!
🎯 Zentrale Idee
Der Abstand windschiefer Geraden ist die kürzeste Verbindungzwischen ihnen. Diese Strecke steht senkrecht auf beiden Geraden – sie verläuft also in Richtung des gemeinsamen Normalenvektors.
Schneiden sich
Gemeinsamer Punkt
→ Abstand = 0
Parallel
Gleiche Richtung
→ Abstand Punkt-Gerade
Windschief
Kein Schnitt, nicht parallel
→ Spezialformel!
Wann sind Geraden windschief?
Bevor du den Abstand berechnest, musst du prüfen, ob die Geraden wirklich windschief sind!
🔍 Prüfschema: Lage zweier Geraden
Schritt 1: Richtungsvektoren vergleichen
Sind und parallel (Vielfache voneinander)?
Schritt 2: Schnittpunkt suchen (LGS)
Gleichsetzen:
💡 Kurzcheck: Wenn (nicht parallel) und das LGS keinen Schnittpunkt liefert → windschief.
Die Abstandsformel
Für den Abstand windschiefer Geraden gibt es eine elegante Formel, die wieder das Kreuzprodukt nutzt – diesmal mit dem Spatprodukt!
📐 Herleitung der Formel
Idee:
Der kürzeste Abstand liegt in Richtung des Normalenvektors, der senkrecht auf beiden Geraden steht.
Der Abstand ist die Projektion von →AB auf →n:
Der Zähler ist das Spatprodukt (Skalarprodukt mit Kreuzprodukt):
Abstandsformel (windschiefe Geraden)
g:
h:
→AB = B - A (Verbindungsvektor der Stützpunkte)
→u × →v = Normalenvektor (senkrecht zu beiden)
📋 Rechenrezept (4 Schritte)
- 1Verbindungsvektor berechnen
- 2Kreuzprodukt berechnen
- 3Spatprodukt (Zähler): + Betrag von (Nenner)
- 4Dividieren und Betrag nicht vergessen!
Beispiel 1: Standardfall
Wir berechnen den Abstand zweier windschiefer Geraden Schritt für Schritt.
✏️ Aufgabe
Berechne den Abstand der Geraden g und h:
Gerade g
Gerade h
🔍 Vorprüfung: Sind die Geraden windschief?
Die Richtungsvektoren und sind keine Vielfachen → nicht parallel. Ein LGS-Check würde zeigen: kein Schnittpunkt → windschief ✓
Verbindungsvektor →AB berechnen
A = (1, 0, 2), B = (3, 1, 0)
Kreuzprodukt →u × →v berechnen
1. Komponente:
2. Komponente:
3. Komponente:
Spatprodukt (Zähler) und Betrag (Nenner)
Zähler: →AB · →n (Spatprodukt)
Mit Betrag: |3| = 3
Nenner: |→n|
Abstand berechnen
Rationalisieren:
✅ Ergebnis: LE
Beispiel 2: Ganzzahliges Ergebnis
Manche Aufgaben sind so konstruiert, dass ein „schöner" Wert herauskommt.
✏️ Aufgabe
(x-Achse)
(parallel zur z-Achse)
Betrag: |−3| = 3
✅ Ergebnis: LE
💡 Geometrisch: Die x-Achse und die parallele Gerade zur z-Achse durch (0, 3, 4) haben den Abstand 3 – das ist genau der y-Koordinatenwert!
Spezialfall: Was wenn sie nicht windschief sind?
Die Formel funktioniert nur für windschiefe Geraden! In anderen Fällen:
✂️ Geraden schneiden sich
Die Geraden haben einen gemeinsamen Punkt.
→ Abstand = 0
(Das Spatprodukt wäre auch 0, weil →AB, →u, →v in einer Ebene liegen)
∥ Geraden sind parallel
Das Kreuzprodukt → Division durch 0!
→ Abstand Punkt-Gerade berechnen!
Nimm einen Punkt von g und berechne seinen Abstand zu h.
🧮 Beispiel: Parallele Geraden
, → Abstand berechnen
💡 Merke: Bei parallelen Geraden versagt die Windschiefe-Formel (Division durch 0). Weiche auf die Punkt-Gerade-Methode aus!
Anwendungsbeispiel: Textaufgabe
✈️ Flugbahnen zweier Flugzeuge
Zwei Flugzeuge fliegen auf geradlinigen Bahnen. Flugzeug A startet bei (0 | 0 | 1000) und fliegt in Richtung (3 | 4 | 0) (Angaben in Metern). Flugzeug B startet bei (1000 | 0 | 2000) und fliegt in Richtung (0 | 5 | -3).
Wie groß ist der minimale Abstand der Flugbahnen?
Geradengleichungen aufstellen:
✅ Minimaler Abstand: Meter
💡 Interpretation: Die Flugbahnen kommen sich nie näher als ca. 141 Meter. Das ist der geometrische Mindestabstand der Bahnen – ob die Flugzeuge gleichzeitig dort sind, ist eine andere Frage (Parametervergleich nötig)!
Übungsaufgaben
Übe die Abstandsformel für windschiefe Geraden! Achte auf das Kreuzprodukt und das Spatprodukt.
Aufgabe 1: Grundaufgabe
leichtBerechne den Abstand der windschiefen Geraden:
Aufgabe 2: Mit Wurzel
mittelBerechne den Abstand:
Aufgabe 3: Klassiker
mittelBerechne den Abstand:
Aufgabe 4: Koordinatenachsen
mittelBerechne den Abstand der y-Achse von der Geraden h:
(Die y-Achse: )
Aufgabe 5: Textaufgabe
schwerZwei Hochspannungsleitungen verlaufen geradlinig durch den Raum:
- Leitung 1: durch (0 | 0 | 10) und (100 | 0 | 10)
- Leitung 2: durch (50 | 20 | 0) und (50 | 20 | 30)
Wie groß ist der minimale Abstand der Leitungen? (Angaben in Metern)
Aufgabe 6: Vollständige Lageuntersuchung
schwerUntersuche die Lage der Geraden und berechne ggf. den Abstand:
Zusammenfassung
⭐ Die Abstandsformel
→AB = B - A (Stützpunkte verbinden)
→u = Richtungsvektor von g
→v = Richtungsvektor von h
→u × →v = Normalenvektor
📋 Vorgehen
- 0Prüfen: Sind die Geraden windschief?
- 1Verbindungsvektor
- 2Kreuzprodukt
- 3Spatprodukt + Betrag → einsetzen
🌳 Entscheidungsbaum: Abstand zweier Geraden
Ja → Parallel
→ Abstand Punkt-Gerade nutzen!
Nein → Nicht parallel
→ Weiter prüfen...
Ja → Schnittpunkt
→ Abstand = 0
Nein → Windschief! ✓
→ Spatprodukt-Formel!
⚠️ Typische Fehler vermeiden
❌ Formel bei Parallelen
Bei parallelen Geraden ist → Division durch 0!
❌ Betrag vergessen
Der Abstand ist immer positiv! Betragsstriche im Zähler nicht vergessen.
❌ Falsche Reihenfolge
Erst Kreuzprodukt , dann Skalarprodukt mit .
❌ Ohne Prüfung rechnen
Immer erst prüfen, ob windschief! Sonst Rechenaufwand umsonst.
✅ Das kannst du jetzt!
- ✓Windschiefe Geraden erkennen
- ✓Abstand mit Spatprodukt berechnen
- ✓Entscheidungsbaum zur Lage anwenden
- ✓Sonderfälle (parallel, Schnitt) erkennen
- ✓Textaufgaben zu Abständen lösen
- ✓Vollständige Lageuntersuchung