Geraden im Raum – Geometrie

Was ist eine Gerade im Raum?

Eine Gerade ist eine unendlich lange, gerade Linie im dreidimensionalen Raum. Stell dir vor, du gehst von einem Startpunkt los und bewegst dich immer in dieselbe Richtung weiter - das beschreibt eine Gerade!

Anschauliche Vorstellung

Punkt A (Startpunkt)

Der Aufpunkt oder Stützvektor - von hier beginnt die Gerade

→ Richtungsvektor v

Gibt an, in welche Richtung die Gerade verläuft

↔ Die Gerade

Verläuft unendlich weit in beide Richtungen

Parameterform einer Geraden

Eine Gerade wird durch einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor eindeutig beschrieben.

Wichtige Formel: Geradengleichung in Parameterform

Stützvektor (Aufpunkt)

Richtungsvektor

Parameter (beliebige reelle Zahl)

Durch Einsetzen verschiedener Werte für erhält man alle Punkte auf der Geraden!

Ausführliches Beispiel

Gegeben:

Punkt und Richtungsvektor

Geradengleichung aufstellen:

Schritt 1: Ortsvektor des Aufpunkts

Schritt 2: In die Formel einsetzen

Schritt 3: Komponentenschreibweise (optional)

Beispielpunkte auf der Geraden:

Für r = 0:→ Punkt A (Aufpunkt)

Für r = 1:

Für r = -2:

Wichtige Hinweise

•Der Aufpunkt kann ein beliebiger Punkt auf der Geraden sein
•Der Richtungsvektor darf nicht der Nullvektor sein
•Vielfache des Richtungsvektors beschreiben die gleiche Gerade (z.B. und )
•Jede Gerade hat unendlich viele verschiedene Darstellungen

Punktprobe: Liegt ein Punkt auf der Geraden?

Um zu prüfen, ob ein Punkt P auf einer Geraden g liegt, muss man testen, ob es einen Parameterwert r gibt, sodass der Punkt die Geradengleichung erfüllt.

Vorgehen bei der Punktprobe

Gleichung aufstellen

Setze den Ortsvektor des Punktes gleich der Geradengleichung:

Gleichungssystem aufstellen

Das ergibt drei Gleichungen (eine für jede Komponente):

Nach r auflösen

Wähle eine Gleichung (am besten die einfachste) und löse nach r auf

In andere Gleichungen einsetzen

Setze den gefundenen Wert für r in die anderen beiden Gleichungen ein

Prüfen

Wenn alle drei Gleichungen erfüllt sind: Der Punkt liegt auf der Geraden ✓

Wenn mindestens eine Gleichung nicht erfüllt ist: Der Punkt liegt NICHT auf der Geraden ✗

Beispiel: Punktprobe

Gegeben:

Gerade:

Punkt:

Schritt 1: Gleichung aufstellen

Schritt 2: Gleichungssystem

II:

III:

Schritt 3: Aus Gleichung I: r auflösen

Schritt 4: r in Gleichung II einsetzen

Schritt 5: r in Gleichung III einsetzen

✓ Antwort: Der Punkt P liegt auf der Geraden g (für r = 2).

✗ Gegenbeispiel: Punkt liegt NICHT auf der Geraden

Gerade:
Punkt:

Aus I:

Prüfe II:

Prüfe III: ← Widerspruch!

✗ Antwort: Der Punkt Q liegt NICHT auf der Geraden g.

Lagebeziehungen von zwei Geraden

Zwei Geraden im Raum können sich auf vier verschiedene Arten zueinander verhalten:

═

1. Identisch

Die Geraden sind gleich (liegen aufeinander)

Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander

‖

2. Echt parallel

Geraden haben keinen Schnittpunkt

Richtungsvektoren sind Vielfache voneinander, aber unterschiedliche Aufpunkte

3. Schneidend

Geraden haben genau einen Schnittpunkt

Geraden liegen in einer Ebene

⤨

4. Windschief

Geraden haben keinen Schnittpunkt

Geraden liegen nicht in einer Ebene (nur im 3D-Raum möglich!)

Entscheidungsbaum: Lagebeziehung bestimmen

Schritt 1: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander?

JA → für ein

→ Liegt ein Punkt der einen Geraden auf der anderen? (Punktprobe)

• JA → identisch

• NEIN → echt parallel

NEIN → Richtungsvektoren sind nicht parallel

→ Gleichsetzen und Gleichungssystem lösen

• Lösung existiert → schneidend

• Keine Lösung (Widerspruch) → windschief

Übungsaufgaben

Aufgabe · Leicht

Aufgabe 1: Geradengleichung aufstellen

Stelle die Geradengleichung auf, die durch A(1|2|3) verläuft und den Richtungsvektor v=(2|-1|4) hat.

Lösung anzeigen

Lösung:

Der Ortsvektor von A ist der Stützvektor, v ist der Richtungsvektor.

Aufgabe · Mittel

Aufgabe 2: Punktprobe

Liegt der Punkt P(7|0|11) auf der Geraden g?

Hinweis Gegeben: g: x⃗ = (1,2,3) + r·(2,-1,4)

Lösung anzeigen

Schritt 1: Gleichung aufstellen

Schritt 2: Gleichungssystem

I: 7 = 1 + 2r → r = 3

II: 0 = 2 - r → r = 2 ← Widerspruch!

Antwort: Nein, P liegt NICHT auf g, da wir unterschiedliche r-Werte erhalten.

Aufgabe · Mittel

Aufgabe 3: Gerade durch zwei Punkte

Stelle die Gleichung der Geraden auf, die durch A(1|2|0) und B(3|4|6) verläuft.

Lösung anzeigen

Schritt 1: Richtungsvektor berechnen

Schritt 2: Einen Punkt als Aufpunkt wählen (z.B. A)

Hinweis: Man könnte auch B als Aufpunkt nehmen oder den Richtungsvektor vereinfachen zu (1, 1, 3).

Aufgabe · Schwer

Aufgabe 4: Lagebeziehung bestimmen

Bestimme die Lagebeziehung der Geraden g und h.

Hinweis g: x⃗ = (1,0,2) + r·(2,1,0) und h: x⃗ = (0,1,2) + s·(4,2,0)

Lösung anzeigen

Schritt 1: Richtungsvektoren vergleichen

→ Die Richtungsvektoren sind Vielfache → Geraden sind parallel oder identisch

Schritt 2: Punktprobe (liegt Aufpunkt von h auf g?)

I: 0 = 1 + 2r → r = -0.5

II: 1 = 0 + r → r = 1 ← Widerspruch!

Antwort: Die Geraden g und h sind echt parallel.

Ein Beispiel

Prüfe, ob P(5, 3, 2) auf g: x = (1, 1, 0) + t(2, 1, 1) liegt.

Aus der ersten Koordinate folgt 5 = 1 + 2t, also t = 2.
Prüfe mit demselben t die anderen Koordinaten: 1 + 2 = 3 und 0 + 2 = 2.
Alle drei Gleichungen stimmen gleichzeitig. P liegt auf g.

Darauf kommt es an

Für die Punktprobe muss ein einziger Parameterwert alle Koordinaten erfüllen. Drei unterschiedliche passende Werte genügen nicht.

Aufgabe

Liegt Q(3, 2, 2) auf derselben Geraden?

Lösung und Rechenweg anzeigen

Aus der ersten und zweiten Koordinate folgt t = 1. Die dritte Koordinate wäre dann 1 statt 2. Q liegt nicht auf g.