Normalengleichung und Koordinatengleichung einer Ebene
Alternative Darstellungsformen von Ebenen mit Normalenvektoren.
Warum verschiedene Darstellungsformen?
Die Parameterform ist nicht die einzige Möglichkeit, eine Ebene zu beschreiben. Die Normalenform und Koordinatenform sind oft praktischer, besonders wenn es um Abstände oder Winkel geht!
📐 Übersicht: Drei Darstellungsformen einer Ebene
Parameterform
Mit Aufpunkt und 2 Richtungsvektoren
Normalenform
Mit Normalenvektor und Aufpunkt
Koordinatenform
Eine einzige Gleichung
🎯 Was ist ein Normalenvektor?
Normalenform einer Ebene
Die Normalenform beschreibt eine Ebene durch einen Aufpunkt und einen Normalenvektor.
Wichtige Formel: Normalenform
Bedeutung: Ein Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn der Verbindungsvektor senkrecht zum Normalenvektor steht.
✏️ Beispiel: Normalenform aufstellen
Koordinatenform einer Ebene
Die Koordinatenform ist eine einzige Gleichung mit den Variablen x, y, z.
Wichtige Formel: Koordinatenform
💡 Wichtig: Der Vektor ist ein Normalenvektor der Ebene!
📊 Spezielle Ebenen (Koordinatenebenen)
Umrechnung zwischen den Darstellungsformen
Im Abitur muss man oft zwischen den Formen umrechnen. Hier sind die wichtigsten Umrechnungswege:
Normalenform → Koordinatenform
Skalarprodukt ausrechnen
Multipliziere das Skalarprodukt aus:
Ausmultiplizieren und zusammenfassen
Sortiere nach x, y, z und bringe die Konstanten auf die rechte Seite:
Koordinatenform → Normalenform
Normalenvektor ablesen
Die Koeffizienten vor x, y, z bilden den Normalenvektor:
Einen Aufpunkt finden
Setze zwei Variablen = 0 und löse nach der dritten auf:
In Normalenform einsetzen
Parameterform → Koordinatenform (über Normalenvektor)
Normalenvektor bestimmen
Der Normalenvektor muss senkrecht auf beiden Richtungsvektoren stehen!
Methode: Kreuzprodukt (oder Gleichungssystem lösen)
(Das Kreuzprodukt wird im nächsten Thema behandelt!)
Alternativ: Gleichungssystem aufstellen
Fordere: und
Das ergibt ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 3 Unbekannten → wähle eine Komponente frei
d berechnen
Setze den Aufpunkt in die Koordinatenform ein:
📋 Übersicht: Alle Umrechnungswege
Ebene aus drei Punkten aufstellen
Drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, legen eine Ebene eindeutig fest. Das ist wie ein Hocker mit drei Beinen – er steht immer stabil, weil drei Punkte genau eine Fläche definieren!
In Abiturprüfungen ist das eine typische Aufgabe: Du bekommst drei Punkte und sollst daraus die Ebenengleichung in verschiedenen Formen aufstellen. Hier lernst du das komplette Vorgehen!
💡 Warum bestimmen 3 Punkte eine Ebene?
Stell dir vor, du hast ein Blatt Papier und willst es im Raum fixieren. Mit einem Punktkannst du das Blatt noch in alle Richtungen drehen und kippen. Mit zwei Punktenkannst du es immer noch um die Verbindungslinie drehen (wie eine Tür um ihre Angeln).
Erst mit dem dritten Punkt (der nicht auf der Verbindungslinie liegt) ist die Lage des Blattes eindeutig festgelegt – es kann sich nicht mehr bewegen!
Komplettes Vorgehen: 3 Punkte → alle Ebenenformen
Das Vorgehen besteht aus vier Schritten. Wir gehen immer den gleichen Weg: Zuerst die Parameterform, dann den Normalenvektor berechnen, und schließlich in die anderen Formen umwandeln.
✏️ Ausführliches Beispiel: Ebene durch 3 Punkte
Wir rechnen jetzt ein vollständiges Beispiel durch. Nimm dir Zeit und verfolge jeden Schritt – das ist genau so, wie du es im Abitur machen würdest!
Aufgabe: Stelle die Parameterform, Normalenform und Koordinatenform der Ebene E auf, die durch diese drei Punkte verläuft.
Parameterform aufstellen
Für die Parameterform brauchen wir einen Aufpunkt (einen der drei Punkte) undzwei Richtungsvektoren, die die Ebene aufspannen. Die Richtungsvektoren berechnen wir als Verbindungen zwischen den Punkten.
Wir können jeden der drei Punkte als Aufpunkt nehmen. Am einfachsten wählen wir A:
Die Richtungsvektoren sind die Verbindungen von A nach B und von A nach C. Wir berechnen sie, indem wir die Koordinaten subtrahieren (Spitze minus Fuß):
Verbindung von A nach B:
Verbindung von A nach C:
Jetzt setzen wir alles zusammen. Die Parameter r und s können beliebige reelle Zahlen sein:
Normalenvektor berechnen
Der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. Das bedeutet, er muss senkrecht auf beiden Richtungsvektoren stehen. Mathematisch heißt das: Die Skalarprodukte mit beiden Richtungsvektoren müssen Null sein!
Wir nennen den gesuchten Normalenvektor und stellen zwei Gleichungen auf:
n⃗ senkrecht zu u⃗ (Skalarprodukt = 0):
→ (Gleichung I)
n⃗ senkrecht zu v⃗ (Skalarprodukt = 0):
→ (Gleichung II)
Wir haben 2 Gleichungen mit 3 Unbekannten. Das bedeutet: Es gibt unendlich viele Lösungen! Wir dürfen eine Variable frei wählen und die anderen daraus berechnen.
Aus Gleichung I nach n₂ umstellen:
Das in Gleichung II einsetzen:
Jetzt wählen wir einen einfachen Wert für n₃, z.B. n₃ = 3 (damit der Bruch verschwindet):
💡 Tipp: Vielfache des Normalenvektors sind genauso gültig! Man kann auch nehmen (mit -1 multipliziert).
Um sicherzugehen, dass wir richtig gerechnet haben, prüfen wir: Sind beide Skalarprodukte wirklich 0?
Beide Skalarprodukte sind 0 – der Normalenvektor stimmt!
Normalenform aufstellen
Die Normalenform ist jetzt ganz einfach: Wir setzen nur noch den Normalenvektor und irgendeinen Punkt auf der Ebene (z.B. unseren Aufpunkt A) in die Formel ein. Die Normalenform sagt aus: Ein Punkt liegt genau dann in der Ebene, wenn sein Verbindungsvektor zum Aufpunkt senkrecht zum Normalenvektor steht.
Koordinatenform aufstellen
Die Koordinatenform ist oft am praktischsten, weil sie nur eine einzige Gleichung ist. Um sie zu bekommen, multiplizieren wir die Normalenform aus und sortieren nach x, y und z.
Wir berechnen das Skalarprodukt Komponente für Komponente:
Klammern auflösen:
Zusammenfassen:
Wir bringen die Konstante auf die rechte Seite und multiplizieren optional mit -1, damit die Koeffizienten positiv werden:
Mit -1 multiplizieren (optional, aber oft schöner):
Wenn wir richtig gerechnet haben, müssen alle drei ursprünglichen Punkte die Gleichung erfüllen:
✅ Alle drei Punkte erfüllen die Gleichung – unsere Ebene ist korrekt!
📋 Zusammenfassung: Alle drei Formen
Aus den drei Punkten A, B und C haben wir alle drei Darstellungsformen der Ebene berechnet. Jede Form beschreibt dieselbe Ebene, nur auf unterschiedliche Art:
Gut zum Punkteberechnen
Gut für Abstände
Gut für Punktproben
⚡ Schnellere Methode: Mit Kreuzprodukt
Das Lösen des Gleichungssystems für den Normalenvektor ist ziemlich aufwendig. Es gibt aber eineviel schnellere Methode: das Kreuzprodukt (auch Vektorprodukt genannt)!
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren liefert automatisch einen Vektor, der senkrecht auf beiden steht – also genau das, was wir brauchen! Im nächsten Thema lernst du, wie das funktioniert.
Eine einzige Formel statt Gleichungssystem! Das spart viel Zeit in der Klausur.