Zueinander orthogonale Vektoren - Skalarprodukt – Geometrie

Was ist das Skalarprodukt?

Das Skalarprodukt (auch Punktprodukt genannt) ist eine mathematische Operation, die zwei Vektoren miteinander multipliziert und eine einzelne Zahl (einen Skalar) als Ergebnis liefert.

Wofür brauchen wir das Skalarprodukt?

⊥

Orthogonalität prüfen

Sind zwei Vektoren senkrecht zueinander? (90° Winkel)

∠

Winkel berechnen

Welcher Winkel liegt zwischen zwei Vektoren?

↘

Projektion

Wie stark zeigt ein Vektor in Richtung eines anderen?

Normalenvektor

Finden von Vektoren, die senkrecht auf einer Ebene stehen

Anschauliche Darstellung

Parallele Vektoren (0°)

Skalarprodukt ist positiv maximal

Orthogonale Vektoren (90°)

Skalarprodukt ist Null (0)

Definition: Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird berechnet, indem man die entsprechenden Komponenten multipliziertund die Ergebnisse addiert.

Wichtige Formel: Skalarprodukt berechnen

Komponenten multiplizieren

Ergebnisse addieren

Alle drei Produkte zusammenzählen

Ergebnis

Eine einzelne Zahl (Skalar)

Achtung: Das Symbol ist ein Punkt (·), nicht ein Kreuz (×)!

Beispiel 1: Einfache Berechnung

Gegeben:

und

Berechnung:

Schritt für Schritt:

Summe bilden:

✓ Ergebnis:

Beispiel 2: Orthogonale Vektoren

Gegeben:

und

Berechnung:

✓ Ergebnis:

→ Die Vektoren sind orthogonal (stehen senkrecht aufeinander)! ⊥

Rechenregeln für das Skalarprodukt

1.
Kommutativgesetz:
2.
Distributivgesetz:
3.
Skalar ausklammern:
4.
Skalarprodukt mit sich selbst:
(Betrag im Quadrat)

Orthogonalität (Senkrechte Vektoren)

Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

Wichtige Formel: Orthogonalitätsbedingung

Lies: " ist orthogonal zu " genau dann, wenn " Skalar gleich Null ist"

Beispiel: Prüfe auf Orthogonalität

Aufgabe: Sind die Vektoren orthogonal?

und

Lösung: Skalarprodukt berechnen

✗ Antwort:

→ Die Vektoren sind nicht orthogonal.

Beispiel: Finde einen orthogonalen Vektor

Aufgabe: Finde einen Vektor , der orthogonal zu ist.

Ansatz: Setze und fordere

Lösung finden: Wähle eine Variable frei (z.B. )

z kann beliebig gewählt werden, z.B.

✓ Eine mögliche Lösung:

Probe:

Es gibt unendlich viele Lösungen (z.B. auch )

Spezielle orthogonale Vektoren

Standardbasis-Vektoren sind orthogonal:

Nullvektor ist orthogonal zu jedem Vektor:

Winkel zwischen zwei Vektoren

Mit dem Skalarprodukt kann man den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen.

Wichtige Formel: Winkel berechnen

Umgestellt nach dem Winkel:

(Phi) ist der Winkel zwischen den Vektoren (zwischen 0° und 180°)

Beispiel: Winkel berechnen

Gegeben:

und

Schritt 1: Skalarprodukt berechnen

Schritt 2: Beträge berechnen

Schritt 3: In die Formel einsetzen

Schritt 4: Winkel berechnen

✓ Ergebnis: Der Winkel zwischen den Vektoren beträgt 45°.

Spezialfälle beim Winkel

⇉

Parallele Vektoren

Bei : gleiche Richtung

⊥

Orthogonale Vektoren

Rechter Winkel

⇄

Entgegengesetzte Vektoren

Bei : entgegengesetzt

Übungsaufgaben

Aufgabe · Leicht

Aufgabe 1: Skalarprodukt berechnen

Berechne das Skalarprodukt von a=(3,2,-1) und b=(1,4,2).

Lösung anzeigen

Berechnung:

Antwort:

Aufgabe · Leicht

Aufgabe 2: Orthogonalität prüfen

Sind die Vektoren u=(2,3,1) und v=(1,-2,4) orthogonal?

Lösung anzeigen

Skalarprodukt berechnen:

Antwort: Ja, die Vektoren sind orthogonal, da .

Aufgabe · Mittel

Aufgabe 3: Orthogonalen Vektor finden

Finde einen Vektor b, der orthogonal zu a=(1,2,3) ist.

Lösung anzeigen

Ansatz: Setze und fordere

Lösung wählen: Setze z.B.

Eine mögliche Lösung:

Probe:

Es gibt unendlich viele Lösungen (z.B. auch ).

Aufgabe · Schwer

Aufgabe 4: Winkel berechnen

Berechne den Winkel zwischen den Vektoren a=(2,1,2) und b=(1,2,-1).

Lösung anzeigen

Schritt 1: Skalarprodukt

Schritt 2: Beträge

Schritt 3: Formel einsetzen

Schritt 4: Winkel

Antwort: Der Winkel beträgt ca. 74,2°.

Aufgabe · Schwer

Aufgabe 5: Anwendung - Gerade und Ebene

Prüfe, ob die Gerade g senkrecht zur Ebene E steht.

Hinweis g: x⃗ = (1,0,0) + r·(2,-1,1) und E: x⃗ = (0,0,0) + s·(1,2,0) + t·(0,1,2)

Lösung anzeigen

Ansatz: Die Gerade steht senkrecht zur Ebene, wenn ihr Richtungsvektor orthogonal zu BEIDEN Richtungsvektoren der Ebene ist.

Prüfung 1: ?

Prüfung 2: ?

Antwort: Nein, die Gerade steht nicht senkrecht zur Ebene, da der Richtungsvektor nicht zu beiden Ebenen-Richtungsvektoren orthogonal ist.

Ein Beispiel

Prüfe u = (1, 2, 0) und v = (2, −1, 3) auf Orthogonalität.

Multipliziere die passenden Komponenten: 1 · 2, 2 · (−1) und 0 · 3.
Addiere: 2 − 2 + 0 = 0.
Beide Vektoren sind ungleich null. Damit sind sie orthogonal.

Darauf kommt es an

Das Skalarprodukt ergibt keinen Vektor. Der Nullvektor hat zwar mit jedem Vektor das Skalarprodukt null, aber keine definierte Richtung und keinen definierten Winkel.

Aufgabe

Sind (1, 1, 1) und (1, 1, −2) orthogonal?

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ja: 1 + 1 − 2 = 0. Beide Vektoren sind ungleich null.