Zueinander orthogonale Vektoren - Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zur Berechnung von Winkeln und Prüfung auf Orthogonalität.

🧠

Was ist das Skalarprodukt?

Das Skalarprodukt (auch Punktprodukt genannt) ist eine mathematische Operation, die zwei Vektoren miteinander multipliziert und eine einzelne Zahl (einen Skalar) als Ergebnis liefert.

🎯 Wofür brauchen wir das Skalarprodukt?

⊥
Orthogonalität prüfen

Sind zwei Vektoren senkrecht zueinander? (90° Winkel)

∠
Winkel berechnen

Welcher Winkel liegt zwischen zwei Vektoren?

↘
Projektion

Wie stark zeigt ein Vektor in Richtung eines anderen?

📐
Normalenvektor

Finden von Vektoren, die senkrecht auf einer Ebene stehen

📊 Anschauliche Darstellung

Parallele Vektoren (0°)

Skalarprodukt ist positiv maximal

Orthogonale Vektoren (90°)

Skalarprodukt ist Null (0)

📘

Definition: Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren wird berechnet, indem man die entsprechenden Komponenten multipliziertund die Ergebnisse addiert.

⭐

Wichtige Formel: Skalarprodukt berechnen

Komponenten multiplizieren
Ergebnisse addieren
Alle drei Produkte zusammenzählen
Ergebnis
Eine einzelne Zahl (Skalar)

💡 Achtung: Das Symbol ist ein Punkt (·), nicht ein Kreuz (×)!

✏️ Beispiel 1: Einfache Berechnung
Gegeben:
und
Berechnung:
Schritt für Schritt:
x:
y:
z:
Summe bilden:
✓ Ergebnis:
✏️ Beispiel 2: Orthogonale Vektoren
Gegeben:
und
Berechnung:
✓ Ergebnis:
→ Die Vektoren sind orthogonal (stehen senkrecht aufeinander)! ⊥
📋 Rechenregeln für das Skalarprodukt
  • 1.
    Kommutativgesetz:
  • 2.
    Distributivgesetz:
  • 3.
    Skalar ausklammern:
  • 4.
    Skalarprodukt mit sich selbst:
    (Betrag im Quadrat)
📘

Orthogonalität (Senkrechte Vektoren)

Zwei Vektoren sind orthogonal (senkrecht zueinander), wenn ihr Skalarprodukt Null ist.

⭐

Wichtige Formel: Orthogonalitätsbedingung

💡 Lies: " ist orthogonal zu " genau dann, wenn " Skalar gleich Null ist"

✏️ Beispiel: Prüfe auf Orthogonalität
Aufgabe: Sind die Vektoren orthogonal?
und
Lösung: Skalarprodukt berechnen
✗ Antwort:
→ Die Vektoren sind nicht orthogonal.
✏️ Beispiel: Finde einen orthogonalen Vektor
Aufgabe: Finde einen Vektor , der orthogonal zu ist.
Ansatz: Setze und fordere
Lösung finden: Wähle eine Variable frei (z.B. )
z kann beliebig gewählt werden, z.B.
✓ Eine mögliche Lösung:
Probe:
💡 Es gibt unendlich viele Lösungen (z.B. auch )
🎯 Spezielle orthogonale Vektoren
Standardbasis-Vektoren sind orthogonal:
Nullvektor ist orthogonal zu jedem Vektor:
📘

Winkel zwischen zwei Vektoren

Mit dem Skalarprodukt kann man den Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen.

⭐

Wichtige Formel: Winkel berechnen

Umgestellt nach dem Winkel:

📐 (Phi) ist der Winkel zwischen den Vektoren (zwischen 0° und 180°)

✏️ Beispiel: Winkel berechnen
Gegeben:
und
Schritt 1: Skalarprodukt berechnen
Schritt 2: Beträge berechnen
Schritt 3: In die Formel einsetzen
Schritt 4: Winkel berechnen
✓ Ergebnis: Der Winkel zwischen den Vektoren beträgt 45°.
📊 Spezialfälle beim Winkel
⇉
Parallele Vektoren

Bei : gleiche Richtung
⊥
Orthogonale Vektoren

Rechter Winkel
⇄
Entgegengesetzte Vektoren

Bei : entgegengesetzt
💡

Übungsaufgaben

Aufgabe 1: Skalarprodukt berechnen
Berechne das Skalarprodukt von a=(3,2,-1) und b=(1,4,2).
Aufgabe 2: Orthogonalität prüfen
Sind die Vektoren u=(2,3,1) und v=(1,-2,4) orthogonal?
Aufgabe 3: Orthogonalen Vektor finden
Finde einen Vektor b, der orthogonal zu a=(1,2,3) ist.
Aufgabe 4: Winkel berechnen
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren a=(2,1,2) und b=(1,2,-1).
Aufgabe 5: Anwendung - Gerade und Ebene
Prüfe, ob die Gerade g senkrecht zur Ebene E steht.
💡 Hinweis: g: x⃗ = (1,0,0) + r·(2,-1,1) und E: x⃗ = (0,0,0) + s·(1,2,0) + t·(0,1,2)
← Zurück zu Geometrie