Spiegelung und Symmetrie
Punktspiegelung, Achsenspiegelung und Ebenspiegelung im Raum durchführen.
Spiegelungen im Raum
Spiegelungen gehören zu den wichtigsten geometrischen Abbildungen. Du kennst sie aus dem Alltag: Der Spiegel im Bad, Spiegelbilder auf einer Wasseroberfläche oder die Symmetrie eines Schmetterlings. In der Vektorrechnung lernen wir, Spiegelungen mathematisch exakt zu berechnen.
Punktspiegelung
Spiegelung an einem Punkt (Zentrum)
Achsenspiegelung
Spiegelung an einer Geraden
Ebenenspiegelung
Spiegelung an einer Ebene
🎯 Das Grundprinzip
Bei jeder Spiegelung gilt: Der Originalpunkt und sein Spiegelbild haben den gleichen Abstand zum Spiegelungsobjekt (Punkt, Gerade oder Ebene). Das Spiegelungsobjekt liegt genau in der Mitte zwischen Original und Bild.
Punktspiegelung (Spiegelung am Punkt)
Bei der Punktspiegelung wird ein Punkt am Spiegelzentrum gespiegelt. Das Zentrum liegt genau in der Mitte zwischen und dem Bildpunkt .
📐 Die Formel
Da der Mittelpunkt von und ist:
Umgestellt nach dem Bildpunkt:
💡 Anschaulich
Gehe von zum Zentrum – und dann genauso weit in dieselbe Richtung weiter. Dort liegt .
Beispiel: Punktspiegelung
Spiegle den Punkt am Zentrum .
Berechnung
✅ Ergebnis
Probe: Mittelpunkt von P und P': ✓
Ebenenspiegelung (Spiegelung an einer Ebene)
Die Ebenenspiegelung ist die wichtigste Spiegelung im Abitur. Ein Punkt wird an einer Ebene gespiegelt. Der Lotfußpunkt (auf der Ebene) liegt genau in der Mitte zwischen und .
📋 Das Verfahren (3 Schritte)
- 1Lotgerade aufstellen: Gerade durch P senkrecht zur Ebene (Richtung = Normalenvektor)
- 2Lotfußpunkt F berechnen: Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene
- 3Spiegelpunkt berechnen: F ist Mittelpunkt →
💡 Kurzformel: Wenn du den Abstand von P zur Ebene (mit Vorzeichen via HNF) kennst:
wobei der normierte Normalenvektor ist.
Beispiel: Punkt an Ebene spiegeln
Spiegle den Punkt an der Ebene .
Schritt 1: Lotgerade aufstellen
Normalenvektor der Ebene:
Schritt 2: Lotfußpunkt F berechnen
Lotgerade in Ebenengleichung einsetzen:
Lotfußpunkt einsetzen:
Schritt 3: Spiegelpunkt berechnen
✅ Ergebnis
Oder als Dezimalzahlen:
Achsenspiegelung (Spiegelung an einer Geraden)
Bei der Achsenspiegelung wird ein Punkt an einer Geraden gespiegelt. Der Lotfußpunkt auf der Geraden ist wieder der Mittelpunkt zwischen und .
📋 Das Verfahren (3 Schritte)
- 1Hilfsebene aufstellen: Ebene durch P, senkrecht zur Geraden g (Normalenvektor = Richtungsvektor von g)
- 2Lotfußpunkt F berechnen: Schnittpunkt der Geraden g mit der Hilfsebene
- 3Spiegelpunkt berechnen: F ist Mittelpunkt →
💡 Tipp: Bei der Achsenspiegelung ist der Rechenaufwand oft höher als bei der Ebenenspiegelung. Verwende am besten die Hilfsebene-Methode, die du bereits vom Abstand Punkt-Gerade kennst!
Beispiel: Punkt an Gerade spiegeln
Spiegle den Punkt an der Geraden
Schritt 1: Hilfsebene durch P
Normalenvektor = Richtungsvektor der Geraden:
Ebene durch P(4|2|5):
Schritt 2: Lotfußpunkt F berechnen
Gerade in Hilfsebene einsetzen:
Lotfußpunkt:
Schritt 3: Spiegelpunkt berechnen
✅ Ergebnis
Symmetrie prüfen
Oft lautet die Aufgabe nicht "Spiegle einen Punkt", sondern "Prüfe, ob zwei Punkte symmetrisch sind". Hier musst du die Richtung umkehren: Finde das Spiegelungsobjekt und prüfe, ob es die Bedingungen erfüllt.
🔵 Punktsymmetrie prüfen
Zwei Punkte P und Q sind punktsymmetrisch zu Z, wenn:
Methode: Berechne den Mittelpunkt von P und Q. Ist das Z?
🟣 Ebenensymmetrie prüfen
Zwei Punkte P und Q sind symmetrisch bzgl. Ebene E, wenn:
- 1. Der Mittelpunkt M von P und Q liegt auf E
- 2. Die Strecke PQ steht senkrecht auf E
Check: und M ∈ E
📐 Symmetrieebene finden
Gegeben sind zwei Punkte P und Q. Die Symmetrieebene ist die Ebene, an der P und Q symmetrisch liegen. Sie verläuft durch den Mittelpunkt M und steht senkrecht auf PQ:
Spezialfall: Spiegelung an Koordinatenebenen
Die Spiegelung an den Koordinatenebenen (xy-Ebene, xz-Ebene, yz-Ebene) ist besonders einfach – hier ändert sich nur eine Koordinate (das Vorzeichen)!
xy-Ebene (z = 0)
Nur z wechselt das Vorzeichen
xz-Ebene (y = 0)
Nur y wechselt das Vorzeichen
yz-Ebene (x = 0)
Nur x wechselt das Vorzeichen
💡 Merkregel: Die Koordinate, die in der Ebenengleichung "fehlt", bleibt erhalten. Die "Richtungs-Koordinate" der Ebene wechselt das Vorzeichen.
Spezialfall: Spiegelung an Koordinatenachsen
Bei der Spiegelung an einer Koordinatenachse bleiben die Koordinaten in Richtung der Achse erhalten, die anderen beiden wechseln das Vorzeichen.
x-Achse
x bleibt, y und z wechseln
y-Achse
y bleibt, x und z wechseln
z-Achse
z bleibt, x und y wechseln
Spezialfall: Spiegelung am Ursprung
Die Punktspiegelung am Ursprung ist der einfachste Fall: Alle drei Koordinaten wechseln das Vorzeichen.
Spiegelung am Ursprung O(0|0|0)
Das entspricht der Formel
Übungsaufgaben
Übe die verschiedenen Spiegelungstypen! Achte auf die korrekte Formel und vergiss die Probe nicht.
Aufgabe 1: Punktspiegelung
leichtSpiegle den Punkt am Zentrum .
Aufgabe 2: Spiegelung an Koordinatenebene
leichtSpiegle den Punkt an der xz-Ebene.
Aufgabe 3: Ebenenspiegelung
mittelSpiegle den Punkt an der Ebene .
Aufgabe 4: Symmetrie prüfen
mittelSind die Punkte und symmetrisch bezüglich der Ebene ?
Aufgabe 5: Achsenspiegelung
schwerSpiegle den Punkt an der Geraden
(Das ist die x-Achse!)
Aufgabe 6: Symmetrieebene finden
schwerBestimme die Gleichung der Symmetrieebene zu den Punkten und .
Zusammenfassung
📋 Die drei Spiegelungstypen
| Typ | Verfahren | Schlussformel |
|---|---|---|
| Punktspiegelung | Z ist Mittelpunkt von P und P' | |
| Ebenenspiegelung | Lot fällen → F → spiegeln | |
| Achsenspiegelung | Hilfsebene → F → spiegeln |
⚡ Schnelle Spezialfälle
Koordinatenebenen:
- • xy-Ebene: (x, y, z) → (x, y, -z)
- • xz-Ebene: (x, y, z) → (x, -y, z)
- • yz-Ebene: (x, y, z) → (-x, y, z)
Koordinatenachsen:
- • x-Achse: (x, y, z) → (x, -y, -z)
- • y-Achse: (x, y, z) → (-x, y, -z)
- • z-Achse: (x, y, z) → (-x, -y, z)
Ursprung: (x, y, z) → (-x, -y, -z)
⚠️ Häufige Fehler
- ✗Verwechslung: nicht
- ✗Bei Ebenenspiegelung: Falschen Normalenvektor verwendet
- ✗Lotfußpunkt nicht korrekt berechnet (Gleichungssystem falsch gelöst)
- ✗Symmetrie-Check: Nur eine Bedingung geprüft (Mittelpunkt ODER Orthogonalität)
💡 Merkregeln
🔹 Grundprinzip: Bei jeder Spiegelung liegt das Spiegelungsobjekt (Punkt/Gerade/Ebene) genau in der Mitte zwischen Original und Bild.
🔹 Formel: Immer
🔹 Ebenenspiegelung: Lotgerade aufstellen, Lotfußpunkt berechnen, dann spiegeln – in dieser Reihenfolge!
🔹 Probe: Der Abstand von P zum Spiegelungsobjekt muss gleich dem Abstand von P' zum Spiegelungsobjekt sein.