Was sind Vektoren?
Stell dir vor, du möchtest jemandem erklären, wie er von einem Punkt zu einem anderen kommt. Du könntest sagen: "Gehe 3 Schritte nach rechts, 2 Schritte nach vorne und 1 Schritt nach oben."
Genau das ist ein Vektor! Er beschreibt eine Verschiebung im Raum durch drei Zahlen.
Von Punkt A zu Punkt B
Berechnung:
Das dreidimensionale Koordinatensystem
Im Raum brauchen wir drei Achsen, um jeden Punkt eindeutig zu beschreiben:
Merke: Der Ursprung O hat die Koordinaten . Von hier aus werden alle Punkte und Vektoren gemessen!
Schreibweisen und Notation
Ortsvektor
Ein Vektor vom Ursprung O zu einem Punkt P
Verbindungsvektor
Ein Vektor von Punkt A zu Punkt B
Komponenten eines Vektors
Ein Vektor besteht aus drei Komponenten:
Betrag eines Vektors
Der Betrag (auch Länge oder Norm) eines Vektors ist der Abstand vom Startpunkt zum Endpunkt.
Wichtige Formel: Betrag eines Vektors
Der Betrag ist immer eine positive Zahl oder Null. Er gibt an, wie "lang" der Vektor ist.
Geometrische Bedeutung
Der Betrag ist die direkte Entfernung - berechnet mit dem Satz des Pythagoras im 3D-Raum!
Beispiel
Abstand zwischen zwei Punkten
Um den Abstand zwischen zwei Punkten A und B zu berechnen, nutzen wir den Betrag des Verbindungsvektors:
Rechenoperationen mit Vektoren
Mit Vektoren kann man rechnen wie mit Zahlen - nur komponentenweise!
1. Vektoraddition
Beispiel:
Geometrisch:
Vektoren werden "aneinandergehängt"
2. Vektorsubtraktion
Beispiel:
3. Multiplikation mit einer Zahl (Skalar)
Beispiel:
Bedeutung:
Die Richtung bleibt gleich, nur die Länge ändert sich!
Spezielle Vektoren
Nullvektor
- Länge:
- Hat keine Richtung
Gegenvektor
- Gleiche Länge wie
- Entgegengesetzte Richtung
Einheitsvektor
Ein Vektor mit der Länge 1
Man teilt den Vektor durch seine eigene Länge!
Standardeinheitsvektoren
Übungsaufgaben
Aufgabe · Leicht
Aufgabe 1: Betrag berechnen
Berechne den Betrag der folgenden Vektoren:
Lösung anzeigen
Aufgabe · Leicht
Aufgabe 2: Vektoraddition
Lösung anzeigen
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 3: Abstand zwischen Punkten
Lösung anzeigen
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 4: Einheitsvektor bestimmen
Lösung anzeigen
Ein Beispiel
Bestimme den Vektor von A(1, 2, 0) nach B(4, 6, 0).
- Subtrahiere komponentenweise: B − A = (4 − 1, 6 − 2, 0 − 0) = (3, 4, 0).
- Die Länge ist √(3² + 4² + 0²) = √25 = 5.
- Die Gegenrichtung von B nach A ist (−3, −4, 0). Sie hat dieselbe Länge, aber die entgegengesetzte Richtung.
Darauf kommt es an
Ein Punkt beschreibt einen Ort, ein Vektor eine Verschiebung. Verwechsle B − A nicht mit A − B.
Aufgabe
Bestimme den Vektor von A(2, 0, 1) nach B(2, 3, 5) und seine Länge.
Lösung und Rechenweg anzeigen
B − A = (0, 3, 4). Die Länge beträgt √(0 + 9 + 16) = 5.