Vektoren im Raum
Grundlagen der Vektorrechnung: Darstellung, Betrag, Addition und Vervielfachung von Vektoren.
Was sind Vektoren?
Stell dir vor, du möchtest jemandem erklären, wie er von einem Punkt zu einem anderen kommt. Du könntest sagen: "Gehe 3 Schritte nach rechts, 2 Schritte nach vorne und 1 Schritt nach oben."
Genau das ist ein Vektor! Er beschreibt eine Verschiebung im Raum durch drei Zahlen.
📍 Von Punkt A zu Punkt B
🧮 Berechnung:
Das dreidimensionale Koordinatensystem
Im Raum brauchen wir drei Achsen, um jeden Punkt eindeutig zu beschreiben:
💡 Merke: Der Ursprung O hat die Koordinaten . Von hier aus werden alle Punkte und Vektoren gemessen!
Schreibweisen und Notation
🎯 Ortsvektor
Ein Vektor vom Ursprung O zu einem Punkt P
↗️ Verbindungsvektor
Ein Vektor von Punkt A zu Punkt B
🔢 Komponenten eines Vektors
Ein Vektor besteht aus drei Komponenten:
Betrag eines Vektors
Der Betrag (auch Länge oder Norm) eines Vektors ist der Abstand vom Startpunkt zum Endpunkt.
Wichtige Formel: Betrag eines Vektors
💡 Der Betrag ist immer eine positive Zahl oder Null. Er gibt an, wie "lang" der Vektor ist.
📐 Geometrische Bedeutung
Der Betrag ist die direkte Entfernung - berechnet mit dem Satz des Pythagoras im 3D-Raum!
✏️ Beispiel
📍 Abstand zwischen zwei Punkten
Um den Abstand zwischen zwei Punkten A und B zu berechnen, nutzen wir den Betrag des Verbindungsvektors:
Rechenoperationen mit Vektoren
Mit Vektoren kann man rechnen wie mit Zahlen - nur komponentenweise!
1. Vektoraddition
✏️ Beispiel:
📐 Geometrisch:
Vektoren werden "aneinandergehängt"
2. Vektorsubtraktion
✏️ Beispiel:
3. Multiplikation mit einer Zahl (Skalar)
✏️ Beispiel:
📏 Bedeutung:
Die Richtung bleibt gleich, nur die Länge ändert sich!
Spezielle Vektoren
⭕ Nullvektor
- Länge:
- Hat keine Richtung
↔️ Gegenvektor
- Gleiche Länge wie
- Entgegengesetzte Richtung
📏 Einheitsvektor
Ein Vektor mit der Länge 1
Man teilt den Vektor durch seine eigene Länge!
🎯 Standardeinheitsvektoren
Übungsaufgaben
Berechne den Betrag der folgenden Vektoren: