Vektorielle Beweise
Geometrische Sätze mit Vektoren beweisen: Schwerpunkt, Parallelogramm, Diagonalen.
Warum vektorielle Beweise?
Vektoren sind nicht nur Rechenwerkzeuge – sie sind mächtige Beweisinstrumente! Mit ihnen kannst du geometrische Sätze elegant und allgemeingültig beweisen, ohne auf spezielle Koordinaten angewiesen zu sein.
🎯 Was du lernen wirst
- • Mittelpunkte und Schwerpunkte vektoriell beschreiben
- • Parallelität und Streckenverhältnisse beweisen
- • Klassische Sätze über Dreiecke und Vierecke beweisen
- • Strategien für vektorielle Beweisaufgaben im Abitur
Seitenmittelpunkte eines Dreiecks – die Verbindung M₁M₂ ist parallel zu BC!
Grundlegende Vektorformeln für Beweise
Diese Formeln bilden das Fundament für alle vektoriellen Beweise:
📍 Mittelpunkt einer Strecke
Der Mittelpunkt M der Strecke AB hat den Ortsvektor:
= arithmetisches Mittel der Ortsvektoren
⚖️ Schwerpunkt eines Dreiecks
Der Schwerpunkt S des Dreiecks ABC:
= Schnittpunkt der Seitenhalbierenden
📏 Teilungspunkt einer Strecke
Punkt T teilt AB im Verhältnis λ:(1-λ):
λ = 0: Punkt A, λ = 1: Punkt B, λ = ½: Mittelpunkt
↔️ Verbindungsvektor
Der Vektor von A nach B:
Zielpunkt minus Startpunkt
🔑 Parallelitätskriterium
Zwei Vektoren und sind parallel genau dann, wenn:
Das heißt: Einer ist ein Vielfaches des anderen. Ist |k| = 1, sind sie gleich lang!
Strategie für vektorielle Beweise
Im Abitur folgen Beweisaufgaben oft einem ähnlichen Muster. Hier ist dein Fahrplan:
Punkte mit Ortsvektoren benennen
Wähle Ortsvektoren für die Eckpunkte. Bleibe allgemein – keine konkreten Koordinaten!
Gesuchte Punkte ausdrücken
Berechne Mittelpunkte, Schnittpunkte etc. als Linearkombinationen der gegebenen Ortsvektoren.
Verbindungsvektoren berechnen
Bestimme die relevanten Verbindungsvektoren:
Behauptung zeigen
Zeige Parallelität (Vielfaches), Gleichheit, Orthogonalität (Skalarprodukt = 0) oder Streckenverhältnisse (Beträge vergleichen).
💡 Tipp: Schreibe am Ende einen klaren Antwortsatz, z.B. „Da , ist M₁M₂ parallel zu BC und halb so lang."
Beweis 1: Die Mittelparallele im Dreieck
📋 Satz (Mittelparallele)
Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte zweier Dreiecksseiten ist parallel zur dritten Seite und halb so lang.
Gegeben:
Dreieck ABC mit Eckpunkten A, B, C und Ortsvektoren .
M₁ = Mittelpunkt von AB, M₂ = Mittelpunkt von AC.
Zu zeigen:
Schritt 1: Mittelpunkte berechnen
Schritt 2: Verbindungsvektor M₁M₂
Schritt 3: Mit BC vergleichen
Der Vektor von B nach C ist:
Also:
✅ Beweis abgeschlossen
Da , ist M₁M₂ ein Vielfaches von BC. Somit ist M₁M₂ ∥ BC. Der Faktor ½ zeigt, dass M₁M₂ genau halb so lang wie BC ist. □
Beweis 2: Diagonalen im Parallelogramm
📋 Satz
Die Diagonalen eines Parallelogramms halbieren sich gegenseitig.
Gegeben:
Parallelogramm ABCD, d.h.
Zu zeigen:
Der Mittelpunkt von AC = der Mittelpunkt von BD
Beweis
Mittelpunkt von AC:
Mittelpunkt von BD:
Parallelogramm-Bedingung nutzen
Im Parallelogramm gilt:
Umstellen:
Gleichheit der Mittelpunkte
✅ Beweis abgeschlossen
Die Mittelpunkte beider Diagonalen sind identisch. Das bedeutet: Die Diagonalen schneiden sich in ihrem gemeinsamen Mittelpunkt, also halbieren sie sich gegenseitig. □
Beweis 3: Der Schwerpunktsatz
📋 Satz (Schwerpunktsatz)
Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt S (dem Schwerpunkt). Jede Seitenhalbierende wird von S im Verhältnis 2:1 geteilt.
Beweis der Schwerpunktformel
Die Seitenhalbierende von A geht durch A und den Mittelpunkt Mₐ von BC:
Ein Punkt auf dieser Seitenhalbierenden hat die Form:
Der Schwerpunkt bei t = 2/3
Setze t = 2/3 ein (2/3 des Weges von A nach Mₐ):
✅ Beweis abgeschlossen
Die Formel ist symmetrisch in a, b, c. Daher liegt S auf allen drei Seitenhalbierenden. Der Faktor 2/3 zeigt das Teilungsverhältnis 2:1 (vom Eckpunkt aus). □
Beweis 4: Das Mittelpunktsviereck
📋 Satz von Varignon
Die Mittelpunkte der vier Seiten eines beliebigen Vierecks bilden stets ein Parallelogramm.
Mittelpunkte berechnen
Viereck ABCD mit Ortsvektoren a, b, c, d:
(Mitte von AB)
(Mitte von BC)
(Mitte von CD)
(Mitte von DA)
Parallelität zeigen
Verbindungsvektor M₁M₂:
Verbindungsvektor M₄M₃:
→ (gleich lang und parallel!)
Analog für die anderen Seiten
✅ Beweis abgeschlossen
Da gegenüberliegende Seiten des Vierecks M₁M₂M₃M₄ gleich lang und parallel sind, ist es ein Parallelogramm. Dies gilt für jedesViereck ABCD – egal ob konvex, konkav oder überschlagen! □
Orthogonalitätsbeweise mit dem Skalarprodukt
Um zu zeigen, dass zwei Strecken senkrecht aufeinander stehen, nutzen wir das Skalarprodukt:
🔑 Orthogonalitätskriterium
Zwei Vektoren und stehen senkrecht aufeinander genau dann, wenn:
Das heißt: Ihr Skalarprodukt ist null.
📋 Beispiel: Thaleskreis
Satz: Liegt C auf einem Halbkreis über AB, so ist der Winkel bei C ein rechter Winkel.
Beweis: Sei M der Mittelpunkt von AB. Dann gilt |MC| = |MA| = |MB| = r.
Vektorielle Rechnung
Setze M als Ursprung. Dann: , für einen Einheitsvektor .
Für C auf dem Kreis:
Fazit: Da das Skalarprodukt null ist, stehen CA und CB senkrecht aufeinander. Der Winkel bei C ist ein rechter Winkel. □
Typische Abituraufgaben
Diese Aufgabentypen kommen regelmäßig im Abitur vor:
1️⃣ Punkte auf Geraden/Strecken
„Zeigen Sie, dass M auf der Strecke AB liegt und diese im Verhältnis 2:1 teilt."
Methode: Zeige für t ∈ [0,1] und bestimme t.
2️⃣ Parallelität nachweisen
„Beweisen Sie, dass PQ parallel zu RS ist."
Methode: Berechne und. Zeige, dass einer ein Vielfaches des anderen ist.
3️⃣ Orthogonalität nachweisen
„Zeigen Sie, dass AB senkrecht auf CD steht."
Methode: Berechne . Zeige, dass das Skalarprodukt = 0.
4️⃣ Streckenverhältnisse
„Zeigen Sie, dass |PQ| = 2·|RS|."
Methode: Berechne beide Verbindungsvektoren. Wenn, folgt |PQ| = 2|RS|.
Übungsaufgaben
Zusammenfassung
📝 Die wichtigsten Formeln
Mittelpunkt
Schwerpunkt
Teilungspunkt (λ vom Weg A→B)
Parallelität
Orthogonalität
⚠️ Typische Fehler vermeiden
- • Verbindungsvektor: Immer Ziel − Start, nicht umgekehrt!
- • Allgemein bleiben: Keine konkreten Koordinaten im Beweis verwenden
- • Antwortsatz: Am Ende klar formulieren, was gezeigt wurde
- • Skalarprodukt: Nicht vergessen bei Orthogonalitätsbeweisen
✅ Klassische Sätze zum Merken
- • Mittelparallele: Parallel zur 3. Seite, halb so lang
- • Parallelogramm: Diagonalen halbieren sich gegenseitig
- • Schwerpunkt: Teilt Seitenhalbierende im Verhältnis 2:1
- • Varignon: Seitenmittelpunkte bilden stets ein Parallelogramm