Winkel zwischen Vektoren (Skalarprodukt)
Das Skalarprodukt zur Berechnung von Winkeln zwischen beliebigen Vektoren nutzen.
Worum geht es?
Wie bestimmt man den Winkel zwischen zwei Vektoren – oder zwischen Geraden und Ebenen? Das Skalarprodukt liefert die Antwort! Mit einer eleganten Formel kannst du jeden Winkel im Raum berechnen. Diese Technik ist fundamental für alle Schnittwinkel-Aufgaben im Abitur.
🎯 Zentrale Idee
Das Skalarprodukt zweier Vektoren enthält Information über den Winkel zwischen ihnen. Durch geschicktes Umstellen der Formel können wir den Winkel direkt berechnen!
α = 90°
Senkrecht
→a · →b = 0
α = 0°
Gleichgerichtet
cos(α) = 1
α = 180°
Entgegengesetzt
cos(α) = -1
Die Winkelformel
Aus der Definition des Skalarprodukts lässt sich eine Formel für den Winkel ableiten.
📐 Herleitung
Definition des Skalarprodukts:
Nach cos(α) auflösen:
Winkel berechnen (mit Arcuscosinus):
Winkelformel (Skalarprodukt)
→a · →b = Skalarprodukt (Zähler)
|→a| · |→b| = Produkt der Beträge (Nenner)
📋 Rechenrezept (3 Schritte)
- 1Skalarprodukt berechnen (Zähler)
- 2Beträge und berechnen, dann multiplizieren (Nenner)
- 3Dividieren → cos(α) → mit cos⁻¹ den Winkel α bestimmen
💡 Wichtige Hinweise
- •Der Winkel liegt immer zwischen 0° und 180° (bzw. 0 und π)
- •Taschenrechner auf DEG (Grad) einstellen, nicht RAD!
- •cos(α) kann negativ sein → Winkel ist dann stumpf (90° < α < 180°)
Beispiel 1: Standardfall
Wir berechnen den Winkel zwischen zwei Vektoren Schritt für Schritt.
✏️ Aufgabe
Berechne den Winkel zwischen den Vektoren:
Skalarprodukt berechnen (Zähler)
🎯 Das Skalarprodukt ist 0!
Wenn , dann ist , also .
✅ Die Vektoren stehen senkrecht aufeinander!
Beispiel 2: Vollständige Rechnung
Jetzt ein Beispiel, bei dem wir alle Schritte durchrechnen müssen.
✏️ Aufgabe
Skalarprodukt (Zähler)
Beträge (Nenner)
Nenner:
Winkel berechnen
✅ Ergebnis:
Beispiel 3: Stumpfer Winkel
Wenn das Skalarprodukt negativ ist, ist der Winkel stumpf (größer als 90°).
✏️ Aufgabe
✅
💡 Das negative Skalarprodukt zeigt: Die Vektoren zeigen „eher entgegengesetzt".
Schnittwinkel bei Geraden und Ebenen
Im Abitur musst du Winkel zwischen verschiedenen geometrischen Objekten berechnen. Die Grundformel bleibt gleich, aber es gibt wichtige Besonderheiten!
📐 Winkel zwischen zwei Geraden
→u, →v = Richtungsvektoren der Geraden
⚠️ Betrag im Zähler! Der Schnittwinkel ist immer ≤ 90°
📐 Winkel Gerade-Ebene
→u = Richtungsvektor der Geraden
→n = Normalenvektor der Ebene
⚠️ sin statt cos! Weil wir den Winkel zur Ebene messen, nicht zur Normalen.
📐 Winkel zwischen zwei Ebenen
→n₁, →n₂ = Normalenvektoren der Ebenen
⚠️ Betrag im Zähler! Der Schnittwinkel ist immer ≤ 90°
💡 Merkhilfe
Wann Betrag im Zähler?
Wenn es um Schnittwinkel geht (immer ≤ 90°)
Wann sin statt cos?
Bei Gerade-Ebene: Der Winkel wird zur Ebene gemessen, nicht zur Normalen!
🎯 Warum sin bei Gerade-Ebene?
Der Winkel zwischen Richtungsvektor und Normalenvektor ist 90° - α. Daher gilt:
Beispiel 4: Schnittwinkel zweier Geraden
✏️ Aufgabe
Berechne den Schnittwinkel der Geraden g und h:
✅
Beispiel 5: Winkel Gerade-Ebene
✏️ Aufgabe
Berechne den Schnittwinkel zwischen Gerade g und Ebene E:
Normalenvektor: (1, 1, 1)
⚠️ Achtung: sin, nicht cos!
✅
Die Gerade steht senkrecht auf der Ebene (verläuft in Richtung der Normalen).
Übungsaufgaben
Übe die Winkelberechnung! Achte darauf, wann Betrag im Zähler und wann sin statt cos nötig ist.
Aufgabe 1: Winkel zwischen Vektoren
leichtBerechne den Winkel zwischen:
Aufgabe 2: Orthogonalität prüfen
leichtPrüfe, ob die Vektoren senkrecht zueinander stehen:
Aufgabe 3: Stumpfer Winkel
mittelBerechne den Winkel zwischen:
Aufgabe 4: Schnittwinkel Geraden
mittelBerechne den Schnittwinkel:
Aufgabe 5: Winkel Gerade-Ebene
schwerBerechne den Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene:
Aufgabe 6: Winkel zwischen Ebenen
schwerBerechne den Schnittwinkel der Ebenen:
Zusammenfassung
📋 Die wichtigsten Formeln
| Situation | Formel | Besonderheit |
|---|---|---|
| Vektoren | 0° bis 180° | |
| Geraden | Mit |...|! | |
| Gerade-Ebene | sin! Mit |...|! | |
| Ebenen | Mit |...|! |
⚠️ Häufige Fehler
- ✗Betrag im Zähler vergessen → Winkel größer als 90° möglich
- ✗Bei Gerade-Ebene cos statt sin verwendet → falscher Winkel
- ✗Stützvektor statt Richtungsvektor verwendet
- ✗Skalarprodukt mit Vektorprodukt verwechselt
💡 Merkregeln
🔹 Orthogonal: Zwei Vektoren sind senkrecht ⟺ Skalarprodukt = 0
🔹 Betragsstriche: Bei Geraden und Ebenen immer im Zähler, damit Winkel im Intervall [0°, 90°] bleibt
🔹 Warum sin bei Gerade-Ebene? Der Winkel zur Ebene ist das Komplement zum Winkel zum Normalenvektor
🔹 Schnelles Rechnen: Erst prüfen, ob Skalarprodukt = 0 → sofort 90° ohne weitere Rechnung
📐 Spezialwerte zum Merken
cos = 1
0°
cos = √2/2
45°
cos = ½
60°
cos = 0
90°