Die drei binomischen Formeln
Ein Binom ist ein Ausdruck aus zwei Gliedern (lat. bi = zwei, nomen = Name). Die binomischen Formeln beschreiben, wie man Binome quadriert oder miteinander multipliziert.
1. Binomische Formel (Plus-Formel)
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Herleitung:
(a + b)² = (a + b) · (a + b)
= a·a + a·b + b·a + b·b
= a² + ab + ab + b²
= a² + 2ab + b²
2. Binomische Formel (Minus-Formel)
(a − b)² = a² − 2ab + b²
Herleitung:
(a − b)² = (a − b) · (a − b)
= a·a − a·b − b·a + b·b
= a² − ab − ab + b²
= a² − 2ab + b²
3. Binomische Formel (Plus-Minus-Formel)
(a + b)(a − b) = a² − b²
Herleitung:
(a + b)(a − b)
= a·a − a·b + b·a − b·b
= a² − ab + ab − b²
= a² − b²
Merkregel
1. Formel
Beide Plus → mittlerer Term +2ab
2. Formel
Minus → mittlerer Term −2ab
3. Formel
Plus-Minus → kein mittlerer Term, a² − b²
Übungsaufgaben
Aufgabe · Leicht
Aufgabe 1: Ausmultiplizieren
Lösung anzeigen
a) x² + 10x + 25
b) 4x² − 12x + 9
c) x² − 49
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 2: Mit Koeffizienten
Lösung anzeigen
a) 9x² + 24x + 16
b) 25a² − 20ab + 4b²
c) 16x² − 9y²
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 3: Faktorisieren
Lösung anzeigen
a) (x + 4)²
b) (x + 9)(x − 9)
c) (3x − 5)²
Aufgabe · Schwer
Aufgabe 4: Gemischt (Abiturniveau)
Lösung anzeigen
a) = x² + 4x + 4 − (x² − 4x + 4) = 8x
b) = a² + 2ab + b² + a² − 2ab + b² = 2a² + 2b²
c) = (x + 1)(x² + 2x + 1) = x³ + 3x² + 3x + 1
Ein Beispiel
Vereinfache (x + 3)².
- Setze a = x und b = 3. Hier passt die erste binomische Formel.
- Quadriere beide Teile: a² = x² und b² = 9. Das gemischte Produkt ist 2 · x · 3 = 6x.
- Setze zusammen: (x + 3)² = x² + 6x + 9. Rückwärts lässt sich dieser Term wieder als Quadrat schreiben.
Darauf kommt es an
(a + b)² ist nicht a² + b². Die beiden Rechtecke ab fehlen sonst. Bei (a − b)² bleibt der letzte Term positiv.
Aufgabe
Entwickle (2x − 4)².
Lösung und Rechenweg anzeigen
Mit a = 2x und b = 4 erhältst du (2x)² − 2 · 2x · 4 + 4² = 4x² − 16x + 16.