Gauß-Verfahren
Systematisches Lösen von LGS mit Matrix-Stufenform.
Gauß-Verfahren
Das Gaußsche Eliminationsverfahren ist die systematische Methode, um lineare Gleichungssysteme beliebiger Größe zu lösen – ein Muss für jedes Abitur.
Matrix-Schreibweise
Das LGS als erweiterte Koeffizientenmatrix darstellen – übersichtlich und effizient.
Zeilenumformungen
Drei erlaubte Operationen führen systematisch zur Stufenform.
Rückwärtseinsetzen
Von der letzten Zeile zur ersten – schrittweise alle Variablen bestimmen.
Was ist das Gauß-Verfahren?
Das Gaußsche Eliminationsverfahren (auch: Gauß-Algorithmus) ist ein systematisches Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS). Es nutzt elementare Zeilenumformungen, um das System in Stufenform zu bringen.
📊 Von Gleichungen zur Matrix
LGS:
2x + 3y − z = 5
4x − y + 2z = 3
−2x + 7y + z = 1
Erweiterte Matrix:
2 3 −1 | 5
4 −1 2 | 3
−2 7 1 | 1
🔄 Erlaubte Zeilenumformungen
1. Vertauschen
Zwei Zeilen vertauschen
Z₁ ↔ Z₂
2. Multiplizieren
Zeile mit Zahl ≠ 0 multiplizieren
Z₁ · λ (λ ≠ 0)
3. Addieren
Vielfaches einer Zeile zu anderer addieren
Z₂ + λ·Z₁
💡 Ziel: Stufenform
Die Matrix soll in obere Dreiecksform gebracht werden:
* * * | *
0 * * | *
0 0 * | *