Was ist das Gauß-Verfahren?
Das Gaußsche Eliminationsverfahren (auch: Gauß-Algorithmus) ist ein systematisches Verfahren zum Lösen von linearen Gleichungssystemen (LGS). Es nutzt elementare Zeilenumformungen, um das System in Stufenform zu bringen.
Von Gleichungen zur Matrix
LGS:
2x + 3y − z = 5
4x − y + 2z = 3
−2x + 7y + z = 1
Erweiterte Matrix:
2 3 −1 | 5
4 −1 2 | 3
−2 7 1 | 1
Erlaubte Zeilenumformungen
1. Vertauschen
Zwei Zeilen vertauschen
Z₁ ↔ Z₂
2. Multiplizieren
Zeile mit Zahl ≠ 0 multiplizieren
Z₁ · λ (λ ≠ 0)
3. Addieren
Vielfaches einer Zeile zu anderer addieren
Z₂ + λ·Z₁
Ziel: Stufenform
Die Matrix soll in obere Dreiecksform gebracht werden:
* * * | *
0 * * | *
0 0 * | *
Übungsaufgaben
Aufgabe · Leicht
Aufgabe 1: 2×2 System
Lösung anzeigen
Matrix: (2 1 | 5), (1 −1 | 1)
Z₁ − 2·Z₂: (0 3 | 3) → y = 1
Einsetzen: x − 1 = 1 → x = 2
L = {(2, 1)}
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 2: 3×3 System
Lösung anzeigen
Stufenform ergibt: z = 2, y = 3, x = 1
L = {(1, 3, 2)}
Aufgabe · Mittel
Aufgabe 3: Keine Lösung
Lösung anzeigen
Z₂ − 2·Z₁: (0 0 | −1)
Widerspruch: 0 = −1
L = ∅ (keine Lösung)
Aufgabe · Schwer
Aufgabe 4: Unendlich viele Lösungen
Lösung anzeigen
Nach Gauß: Nullzeile mit 0 = 0
Setze z = t:
x = 1 + t, y = 1
L = {(1+t, 1, t) | t ∈ ℝ}
Aufgabe · Schwer
Aufgabe 5: GTR-Aufgabe (Abiturniveau)
Lösung anzeigen
Im GTR: Matrix eingeben → rref-Befehl
Ergebnis: x = 2, y = 1, z = 0
L = {(2, 1, 0)}
Ein Beispiel
Löse das dargestellte Gleichungssystem.
- Addiere die erste zur zweiten Gleichung: Aus (2x − y) + (x + y) = 1 + 5 wird 3x = 6.
- Teile durch 3: x = 2. Setze das in x + y = 5 ein und erhalte y = 3.
- Prüfe beide Ausgangsgleichungen: 2 + 3 = 5 und 2 · 2 − 3 = 1. Beide stimmen.
Darauf kommt es an
Jede Zeilenoperation muss auch die rechte Seite verändern. Eine Zeile 0 = 5 bedeutet keine Lösung; 0 = 0 liefert keine zusätzliche Bedingung.
Aufgabe
Löse x + y = 7 und 2x − y = 2.
Lösung und Rechenweg anzeigen
Addition ergibt 3x = 9, also x = 3. Dann folgt y = 4. Die Probe in der zweiten Gleichung ergibt 6 − 4 = 2.