Warum Binomialverteilung?
Die Binomialverteilung ist die wichtigste diskrete Verteilung in der Stochastik. Sie beschreibt die Anzahl der Erfolge bei n unabhängigen Versuchenmit jeweils derselben Erfolgswahrscheinlichkeit p.
Typische Anwendungen
- • Münzwurf: Wie oft „Kopf" bei 10 Würfen?
- • Qualitätskontrolle: Wie viele defekte Teile in einer Stichprobe?
- • Multiple Choice: Wie viele richtige Antworten durch Raten?
- • Wahlumfragen: Wie viele Wähler für Partei X in der Stichprobe?
Binomialverteilung mit n=10 und p=0,5 (z.B. 10 faire Münzwürfe)
Bernoulli-Experiment und Bernoulli-Kette
Die Grundbausteine der Binomialverteilung sind Bernoulli-Experimente:
Bernoulli-Experiment
Ein Zufallsexperiment mit genau zwei möglichen Ausgängen:
- • Erfolg (mit Wahrscheinlichkeit p)
- • Misserfolg (mit Wahrscheinlichkeit 1−p = q)
Beispiele: Münzwurf (Kopf/Zahl), Prüfung (bestanden/nicht bestanden), Produktion (funktioniert/defekt)
Bernoulli-Kette
Eine n-fache Wiederholung desselben Bernoulli-Experiments unter folgenden Bedingungen:
- Die Versuche sind unabhängig voneinander
- Die Erfolgswahrscheinlichkeit p ist konstant (bleibt gleich)
- Es gibt genau zwei Ausgänge pro Versuch
Achtung: Ziehen ohne Zurücklegen ist KEINE Bernoulli-Kette (p ändert sich)! Nur bei sehr großer Grundgesamtheit kann man es näherungsweise als Bernoulli-Kette behandeln.
Die Binomialverteilung B(n; p)
Die Zufallsvariable X = „Anzahl der Erfolge" bei einer Bernoulli-Kette der Länge n mit Erfolgswahrscheinlichkeit p heißt binomialverteilt.
Formel von Bernoulli
Anzahl der Möglichkeiten, k Erfolge auf n Versuche zu verteilen
Wahrscheinlichkeit für k Erfolge
Wahrscheinlichkeit für (n−k) Misserfolge
Beispiel: Würfel
Ein Würfel wird 5-mal geworfen. X = Anzahl der Sechsen. Wie groß ist P(X = 2)?
n = 5, p = 1/6, k = 2
Erwartungswert und Standardabweichung
Für die Binomialverteilung B(n; p) gibt es einfache Formeln für die wichtigsten Kennzahlen:
Erwartungswert
Die durchschnittlich erwartete Anzahl an Erfolgen.
Varianz
Maß für die Streuung der Werte.
Standardabweichung
Wurzel der Varianz, gleiche Einheit wie X.
Beispiel
Bei 100 Münzwürfen (n = 100, p = 0,5):
- • Erwartungswert: μ = 100 · 0,5 = 50 (erwartete Anzahl „Kopf")
- • Standardabweichung: σ = √(100 · 0,5 · 0,5) = √25 = 5
→ Man erwartet etwa 50 ± 5 Mal „Kopf" (genauer: in ~68% der Fälle zwischen 45 und 55)
Kumulierte Wahrscheinlichkeit
Oft interessiert nicht P(X = k), sondern P(X ≤ k) – die kumulierte Verteilungsfunktion:
Kumulierte Wahrscheinlichkeit
Praktische Berechnung
Im Abitur nutzt du die Tabelle oder den GTR/CAS:
- • binomcdf(n, p, k) = P(X ≤ k)
- • binompdf(n, p, k) = P(X = k)
Wichtige Umrechnungen
Form der Binomialverteilung
Die Form der Binomialverteilung hängt von p ab:
p = 0,5
Symmetrisch
p < 0,5
Rechtsschief
p > 0,5
Linksschief
Faustregel: Für große n (z.B. n > 30) und p nicht zu nah an 0 oder 1 nähert sich die Binomialverteilung einer Normalverteilung an (Stichwort: Zentraler Grenzwertsatz).
Übungsaufgaben
Zusammenfassung
Die wichtigsten Formeln
Bernoulli-Formel
Erwartungswert
Standardabweichung
Binomialkoeffizient
Voraussetzungen prüfen!
Die Binomialverteilung gilt nur, wenn:
- Feste Anzahl n von Versuchen
- Jeder Versuch hat zwei Ausgänge (Erfolg/Misserfolg)
- Konstante Erfolgswahrscheinlichkeit p
- Unabhängige Versuche
Ein Beispiel
Eine faire Münze wird viermal unabhängig geworfen. Wie wahrscheinlich sind genau zwei Köpfe?
- Es gilt n = 4, p = 0,5 und k = 2. Jede passende Folge hat Wahrscheinlichkeit 0,5⁴.
- Es gibt (4 über 2) = 6 Möglichkeiten, die beiden Köpfe zu platzieren.
Darauf kommt es an
Ziehen ohne Zurücklegen ist im Allgemeinen keine Bernoulli-Kette: Die Trefferwahrscheinlichkeit ändert sich. Prüfe die Modellvoraussetzungen vor dem Einsetzen.
Aufgabe
Welchen Erwartungswert hat X bei n = 20 und p = 0,3?
Lösung und Rechenweg anzeigen
E(X) = np = 20 · 0,3 = 6. Das ist ein langfristiger Durchschnitt und keine Vorhersage, dass jeder Durchlauf genau sechs Treffer hat.