Einseitiger Hypothesentest
Linksseitiger und rechtsseitiger Test: Signifikanzniveau, Ablehnungsbereich und kritischer Wert.
Was ist ein Hypothesentest?
Ein Hypothesentest ist ein statistisches Verfahren, um anhand einer Stichprobe zu entscheiden, ob eine Vermutung über die Grundgesamtheit abgelehntwerden kann oder nicht.
🎯 Typische Anwendungen
- • Qualitätskontrolle: Ist die Ausschussquote gestiegen?
- • Medizin: Wirkt ein neues Medikament besser als das alte?
- • Wahlumfragen: Hat eine Partei die 5%-Hürde überschritten?
- • Marketing: Hat die Werbung die Kaufrate erhöht?
Rechtsseitiger Test: Ablehnungsbereich bei großen Werten
Grundbegriffe
H₀: Nullhypothese
Die Annahme, die wir testen wollen. Sie beschreibt den bisherigen/normalen Zustand. Wir versuchen, sie zu widerlegen.
Beispiel: „Der Anteil defekter Produkte beträgt höchstens 5%."
H₁: Alternativhypothese (Gegenhypothese)
Das Gegenteil von H₀. Sie wird angenommen, wenn H₀ abgelehnt wird.
Beispiel: „Der Anteil defekter Produkte ist größer als 5%."
α: Signifikanzniveau
Die maximal tolerierte Wahrscheinlichkeit, H₀ fälschlicherweise abzulehnen (Fehler 1. Art). Übliche Werte: α = 0,05 (5%) oder α = 0,01 (1%).
Ablehnungsbereich (kritischer Bereich)
Der Wertebereich, bei dem H₀ abgelehnt wird. Er wird so gewählt, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit ≤ α ist.
Rechtsseitiger Hypothesentest
Beim rechtsseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich bei großen Werten. Er wird verwendet, wenn wir prüfen wollen, ob der wahre Wert größer ist als angenommen.
📐 Hypothesen beim rechtsseitigen Test
Nullhypothese:
Alternativhypothese:
🎯 Entscheidungsregel
Suche den kritischen Wert k, sodass:
Entscheidung:
- • Wenn X ≥ k: H₀ ablehnen
- • Wenn X < k: H₀ nicht ablehnen
Linksseitiger Hypothesentest
Beim linksseitigen Test liegt der Ablehnungsbereich bei kleinen Werten. Er wird verwendet, wenn wir prüfen wollen, ob der wahre Wert kleiner ist als angenommen.
📐 Hypothesen beim linksseitigen Test
Nullhypothese:
Alternativhypothese:
🎯 Entscheidungsregel
Suche den kritischen Wert k, sodass:
Entscheidung:
- • Wenn X ≤ k: H₀ ablehnen
- • Wenn X > k: H₀ nicht ablehnen
Vorgehensweise beim Hypothesentest
Hypothesen aufstellen
Formuliere H₀ und H₁. Bestimme, ob ein links- oder rechtsseitiger Test nötig ist.
Signifikanzniveau festlegen
Wähle α (meist vorgegeben, z.B. α = 5% = 0,05).
Kritischen Wert berechnen
Bestimme k so, dass P(Ablehnungsbereich) ≤ α unter H₀.
Entscheidung treffen
Liegt der beobachtete Wert im Ablehnungsbereich? → H₀ ablehnen / nicht ablehnen.
Interpretation
Formuliere das Ergebnis im Kontext der Aufgabe.
Beispiel: Rechtsseitiger Test
📝 Aufgabenstellung
Ein Hersteller behauptet, dass höchstens 10% seiner Produkte defekt sind. Eine Stichprobe von n = 50 Produkten enthält 9 defekte. Kann die Behauptung bei einem Signifikanzniveau von 5% widerlegt werden?
Schritt 1: Hypothesen
H₀: p ≤ 0,1 (höchstens 10% defekt)
H₁: p > 0,1 (mehr als 10% defekt)
→ Rechtsseitiger Test
Schritt 2: Signifikanzniveau
α = 0,05
Schritt 3: Kritischer Wert
Suche kleinstes k mit P(X ≥ k) ≤ 0,05 bei X ~ B(50; 0,1):
- P(X ≥ 9) = 1 − P(X ≤ 8) ≈ 1 − 0,942 = 0,058 > 0,05
- P(X ≥ 10) = 1 − P(X ≤ 9) ≈ 1 − 0,975 = 0,025 ≤ 0,05 ✓
→ k = 10
Ablehnungsbereich: {10, 11, 12, ..., 50}
Schritt 4: Entscheidung
Beobachteter Wert: X = 9
9 < 10 → 9 liegt nicht im Ablehnungsbereich
→ H₀ wird nicht abgelehnt.
Schritt 5: Interpretation
Bei 9 defekten Produkten in der Stichprobe kann die Behauptung des Herstellers (höchstens 10% Ausschuss) zum Signifikanzniveau 5% nicht widerlegt werden. Das Ergebnis ist mit der Behauptung vereinbar.
Beispiel: Linksseitiger Test
📝 Aufgabenstellung
Ein Politiker behauptet, mindestens 60% der Bevölkerung unterstützen seine Politik. Bei einer Umfrage unter 100 Personen befürworten nur 52 seine Politik. Kann die Behauptung bei α = 5% widerlegt werden?
Hypothesen
H₀: p ≥ 0,6 (mindestens 60% Zustimmung)
H₁: p < 0,6 (weniger als 60% Zustimmung)
→ Linksseitiger Test
Kritischer Wert
Suche größtes k mit P(X ≤ k) ≤ 0,05 bei X ~ B(100; 0,6):
μ = 60, σ ≈ 4,9 → suche im Bereich unter 60
- P(X ≤ 51) ≈ 0,044 ≤ 0,05 ✓
- P(X ≤ 52) ≈ 0,067 > 0,05
→ k = 51
Ablehnungsbereich: {0, 1, 2, ..., 51}
Entscheidung
Beobachteter Wert: X = 52
52 > 51 → 52 liegt nicht im Ablehnungsbereich
→ H₀ wird nicht abgelehnt.
Interpretation
Obwohl nur 52% zustimmten, kann die Behauptung „mindestens 60%" zum Niveau 5% nicht widerlegt werden. Der Unterschied ist statistisch nicht signifikant.
Übungsaufgaben
Zusammenfassung
📝 Übersicht einseitige Tests
| Test | H₀ | H₁ | Ablehnung |
|---|---|---|---|
| Rechtsseitig | p ≤ p₀ | p > p₀ | X ≥ k (große Werte) |
| Linksseitig | p ≥ p₀ | p < p₀ | X ≤ k (kleine Werte) |
⚠️ Wichtig zu verstehen
- • „H₀ nicht ablehnen" ≠ „H₀ ist wahr"! Es bedeutet nur: Nicht genug Evidenz gegen H₀.
- • Der Ablehnungsbereich wird unter H₀ berechnet (mit p₀).
- • Kleines α → größerer k → schwerer H₀ abzulehnen.