Warum machen Tests Fehler?
Ein Hypothesentest basiert auf einer Stichprobe, nicht auf der gesamten Grundgesamtheit. Daher kann er zu falschen Schlüssen führen – auch wenn alles richtig gemacht wird!
Die zwei möglichen Fehler
Fehler 1. Art (α-Fehler)
H₀ wird abgelehnt, obwohl H₀ wahr ist.
„Falscher Alarm"
Fehler 2. Art (β-Fehler)
H₀ wird nicht abgelehnt, obwohl H₀ falsch ist.
„Verpasster Treffer"
Fehler 1. Art (α-Fehler)
Definition
Der Fehler 1. Art tritt auf, wenn H₀ abgelehnt wird, obwohl H₀ in Wirklichkeit wahr ist.
Wichtige Eigenschaften
- • α ist das Signifikanzniveau (z.B. 5% oder 1%)
- • α wird vor dem Test festgelegt
- • α ist die maximal tolerierte Wahrscheinlichkeit für diesen Fehler
- • Je kleiner α, desto schwerer ist es, H₀ abzulehnen
Beispiel
Situation: Eine Maschine produziert normalerweise höchstens 5% Ausschuss. Wir testen, ob die Ausschussquote gestiegen ist.
Fehler 1. Art: Wir schließen, dass die Quote gestiegen ist (H₀ ablehnen), obwohl sie tatsächlich noch bei 5% liegt. Die Maschine wird unnötig repariert.
→ Unnötige Kosten, falscher Alarm
Fehler 2. Art (β-Fehler)
Definition
Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn H₀ nicht abgelehnt wird, obwohl H₀ in Wirklichkeit falsch ist.
Wichtige Eigenschaften
- • β hängt davon ab, wie falsch H₀ ist (vom wahren Wert p₁)
- • β kann meist nur berechnet werden, wenn der wahre Wert bekannt ist
- • Je näher p₁ an p₀, desto größer β (schwerer zu unterscheiden)
- • 1 - β heißt Macht (Power) des Tests
Beispiel
Situation: Die Ausschussquote ist tatsächlich auf 10% gestiegen.
Fehler 2. Art: Wir schließen, dass die Quote noch OK ist (H₀ nicht ablehnen), obwohl sie in Wirklichkeit gestiegen ist. Das Problem wird nicht erkannt.
→ Problem bleibt unentdeckt, weitere Fehler entstehen
Berechnung des β-Fehlers
Vorgehensweise
Um β zu berechnen, muss man wissen, was der wahre Wert p₁ ist (unter H₁). Dann berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass X im Annahmebereich liegt – aber unter der Verteilung mit p₁.
Formel für rechtsseitigen Test
Annahmebereich: {0, 1, ..., k-1}, Ablehnungsbereich: {k, ..., n}
= Wahrscheinlichkeit, im Annahmebereich zu landen, obwohl p = p₁
Rechenbeispiel
Situation: n = 50, p₀ = 0,1, α = 5%, rechtsseitiger Test
Kritischer Wert: k = 10 (H₀ ablehnen wenn X ≥ 10)
Frage: Wie groß ist β, wenn der wahre Anteil p₁ = 0,2 ist?
β(0,2) = P(X ≤ 9 | p = 0,2) = PB(50; 0,2)(X ≤ 9)
Mit GTR/Tabelle: ≈ 0,444 = 44,4%
Interpretation: Selbst wenn der wahre Anteil 20% ist (doppelt so hoch wie behauptet), wird der Test in 44,4% der Fälle das Problem nicht erkennen!
Zusammenhang zwischen α und β
Das Dilemma
α und β sind gegenläufig: Wenn man α verkleinert, wird β größer – und umgekehrt!
α verkleinern
- • Ablehnungsbereich wird kleiner
- • Schwerer H₀ abzulehnen
- • Weniger Fehler 1. Art
- • Aber: Mehr Fehler 2. Art (β↑)
β verkleinern
- • Ablehnungsbereich wird größer
- • Leichter H₀ abzulehnen
- • Weniger Fehler 2. Art
- • Aber: Mehr Fehler 1. Art (α↑)
Lösung: Stichprobengröße erhöhen
Der einzige Weg, sowohl α als auch β gleichzeitig zu verkleinern, ist eine größere Stichprobe n zu wählen!
Mit mehr Daten kann der Test präziser entscheiden.
Praktische Bedeutung
Wann ist α-Fehler schlimmer?
- • Gerichtsverfahren: Unschuldige verurteilen (H₀: unschuldig)
- • Medizin: Gesunde als krank behandeln
- • Qualitätskontrolle: Gute Charge ablehnen → unnötige Kosten
→ In diesen Fällen wählt man ein kleines α (z.B. 1%)
Wann ist β-Fehler schlimmer?
- • Medizin: Kranken nicht erkennen → Krankheit verschlimmert sich
- • Sicherheitsprüfung: Defekt nicht erkennen → Unfall
- • Epidemiologie: Ausbruch nicht erkennen → Epidemie
→ In diesen Fällen will man ein kleines β, also α etwas größer wählen
Übersicht: Typische Werte
| Bereich | Typisches α | Begründung |
|---|---|---|
| Physik/Teilchen | 0,0000003 (5σ) | Sehr hohe Sicherheit nötig |
| Medizin | 0,05 oder 0,01 | Kompromiss aus Sicherheit & Praktikabilität |
| Sozialwiss. | 0,05 | Standard in vielen Bereichen |
| Marketing | 0,10 | Schnelle Entscheidungen, Fehler weniger kritisch |
Übungsaufgaben
Zusammenfassung
Übersicht Fehlerarten
| Fehler | Beschreibung | Wahrscheinlichkeit | Kontrolle |
|---|---|---|---|
| 1. Art (α) | H₀ ablehnen, obwohl wahr | α (Signifikanzniveau) | Direkt wählbar |
| 2. Art (β) | H₀ nicht ablehnen, obwohl falsch | β (hängt von p₁ ab) | Indirekt (über n) |
Merke
- • α und β sind gegenläufig
- • Nur n erhöhen senkt beide
- • 1 - β = Macht des Tests
✓ Typische Werte
- • α = 5% (Standard)
- • α = 1% (strenger)
- • Macht ≥ 80% angestrebt
Ein Beispiel
Ein Test verwirft H₀: p ≤ 0,5 bei mindestens 9 von 10 Treffern. Betrachte tatsächlich p = 0,8.
- Bei p = 0,8 ist H₀ falsch. Ein Fehler zweiter Art tritt bei höchstens 8 Treffern auf.
- P₀,₈(X ≥ 9) = 10 · 0,8⁹ · 0,2 + 0,8¹⁰ ≈ 0,3758.
- Also β(0,8) = 1 − 0,3758 ≈ 0,6242. Die Verbesserung wird in etwa 62,4 % solcher Stichproben nicht erkannt.
Darauf kommt es an
β ist nicht 1 − α. Beide Wahrscheinlichkeiten beziehen sich auf unterschiedliche Annahmen über den tatsächlichen Parameter.
Aufgabe
Was ist 1 − β in Worten?
Lösung und Rechenweg anzeigen
Die Teststärke: die Wahrscheinlichkeit, bei der betrachteten tatsächlichen Alternative die falsche Nullhypothese zu verwerfen.