Was ist die Normalverteilung?
Die Normalverteilung (auch Gauß-Verteilung) ist die wichtigste Verteilung in der Statistik. Viele natürliche Phänomene folgen dieser charakteristischen „Glockenkurve".
Wo kommt sie vor?
- • Körpergrößen von Menschen
- • IQ-Werte in der Bevölkerung
- • Messfehler bei Experimenten
- • Blutdruckwerte
- • Produktionsabweichungen
- • Prüfungsnoten (bei vielen Teilnehmern)
Die charakteristische Glockenkurve der Normalverteilung
Dichtefunktion der Normalverteilung
Formel
Eine normalverteilte Zufallsgröße X mit Erwartungswert μ und Standardabweichung σ hat die Dichtefunktion:
Kurzschreibweise: oder
Parameter μ
- • Erwartungswert
- • Lage des Maximums
- • Symmetrieachse
- • Verschiebt die Kurve horizontal
Parameter σ
- • Standardabweichung
- • Breite der Glocke
- • Großes σ → flache, breite Kurve
- • Kleines σ → steile, schmale Kurve
Die σ-Regeln
Die σ-Regeln geben an, wie viel Prozent der Werte in bestimmten Intervallen um den Erwartungswert liegen.
Wichtige Intervalle
Etwa 2/3 aller Werte
Fast alle Werte
Praktisch alle Werte
Arbeiten mit dem GTR
Im Abitur rechnest du mit dem GTR. Du brauchst keine Tabellen und keine komplizierten Formeln auswendig zu lernen!
Wichtige GTR-Befehle
normalcdf(a, b, μ, σ)
Berechnet P(a ≤ X ≤ b) für X ~ N(μ, σ)
Für P(X ≤ b): setze a = -10^99 (sehr kleine Zahl)
invNorm(p, μ, σ)
Berechnet x, sodass P(X ≤ x) = p (Umkehrfunktion)
Nützlich für: „Ab welchem Wert gehört man zu den oberen 10%?"
Typische Aufgabentypen
„Wie viel Prozent sind größer als x?"
→ 1 - normalcdf(-10^99, x, μ, σ)
„Wie viel Prozent liegen zwischen a und b?"
→ normalcdf(a, b, μ, σ)
„Ab welchem Wert gehört man zu den oberen 5%?"
→ invNorm(0,95, μ, σ) (weil 95% darunter liegen)
Symmetrie der Normalverteilung
Die Normalverteilung ist symmetrisch um μ. Das kannst du nutzen!
Symmetrie-Regeln
• P(X ≤ μ) = P(X ≥ μ) = 0,5 (Hälfte links, Hälfte rechts)
• P(X ≤ μ - a) = P(X ≥ μ + a) (gleiche Abstände = gleiche W.)
• P(μ - a ≤ X ≤ μ + a) = symmetrisches Intervall um μ
Rechenbeispiel mit GTR
Aufgabe
Die Körpergröße von erwachsenen Männern sei normalverteilt mit μ = 178 cm und σ = 7 cm.
a) Wie viel Prozent sind größer als 185 cm?
b) Wie viel Prozent sind zwischen 170 cm und 190 cm groß?
c) Wie groß muss man mindestens sein, um zu den größten 10% zu gehören?
a) P(X > 185)
GTR-Eingabe:
Ergebnis: 0,159 = 15,9%
b) P(170 ≤ X ≤ 190)
GTR-Eingabe:
Ergebnis: 0,829 = 82,9%
c) Obere 10%
Gesucht: x mit P(X ≥ x) = 0,10, also P(X ≤ x) = 0,90
GTR-Eingabe:
Ergebnis: ≈ 187 cm
Man muss mindestens 187 cm groß sein, um zu den größten 10% zu gehören.
Normalverteilung und σ-Umgebung
Die σ-Regeln werden im Abitur oft mit der Binomialverteilung kombiniert. Bei großem n gilt:
σ-Umgebung bei Binomialverteilung
Für die Binomialverteilung B(n; p) gilt:
Erwartungswert:
Standardabweichung:
Typische Abi-Aufgabe: σ-Umgebung
„In welchem Bereich liegen etwa 95% der Trefferzahlen?"
→ 2σ-Umgebung:
Beispiel: n = 100, p = 0,4
μ = 40, σ = √(100·0,4·0,6) = √24 ≈ 4,9
95%-Bereich: [40 - 9,8; 40 + 9,8] = [30; 50]
Übungsaufgaben
Zusammenfassung
Das Wichtigste fürs Abitur
σ-Regeln:
1σ: ≈68% | 2σ: ≈95% | 3σ: ≈99,7%
GTR-Befehle:
normalcdf(a, b, μ, σ) → P(a ≤ X ≤ b)
invNorm(p, μ, σ) → x mit P(X ≤ x) = p
Symmetrie:
P(X ≤ μ) = 0,5 | P(X ≤ μ-a) = P(X ≥ μ+a)
Tipps für die Prüfung
- • P(X > x) = 1 - P(X ≤ x) (Gegenereignis!)
- • σ-Regeln für schnelle Überschlagsrechnungen nutzen
- • Bei „obere/untere x%" an invNorm denken
- • Symmetrie um μ ausnutzen
- • GTR-Befehle vorher üben!
Ein Beispiel
X sei normalverteilt mit μ = 100 und σ = 15. Bestimme P(X ≤ 115).
- Standardisiere die Grenze: z = = 1.
- Suche Φ(1) in einer Tabelle oder berechne den Wert mit der Verteilungsfunktion.
- Φ(1) ≈ 0,8413. Damit liegen im Modell ungefähr 84,13 % der Werte höchstens bei 115.
Darauf kommt es an
Prüfe, ob dein Rechner σ oder die Varianz σ² erwartet. Die 68-%-Regel beschreibt das Intervall von μ − σ bis μ + σ, nicht eine einzelne Seite.
Aufgabe
Wie groß ist bei einer Normalverteilung P(X ≤ μ)?
Lösung und Rechenweg anzeigen
Wegen der Symmetrie liegt die Hälfte der Fläche links vom Mittelwert: P(X ≤ μ) = 0,5.