Stetige Zufallsgrößen
Dichtefunktion, Verteilungsfunktion und Wahrscheinlichkeiten bei stetigen Zufallsvariablen.
Was sind stetige Zufallsgrößen?
Bisher haben wir diskrete Zufallsgrößen betrachtet (z.B. Anzahl Treffer). Viele Größen in der Realität können jedoch jeden beliebigen Wert in einem Intervall annehmen – das sind stetige Zufallsgrößen.
🎯 Beispiele für stetige Zufallsgrößen
- • Körpergröße: 1,75 m, 1,753 m, ...
- • Gewicht: 70,5 kg, 70,52 kg, ...
- • Wartezeit: 5,3 min, 5,31 min, ...
- • Temperatur: 21,5 °C
- • Messfehler: kontinuierliche Abweichung
- • Lebensdauer: eines Bauteils
Wahrscheinlichkeitsdichte
Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Wert immer 0! Stattdessen arbeiten wir mit einer Dichtefunktion f(x).
📐 Dichtefunktion f(x)
Eigenschaften:
- • f(x) ≥ 0 für alle x (nie negativ)
- • Gesamtfläche unter der Kurve = 1
Wahrscheinlichkeit als Fläche:
= Fläche unter f(x) zwischen a und b
Die Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unter der Kurve
Verteilungsfunktion F(x)
Die Verteilungsfunktion (auch: kumulative Verteilungsfunktion) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X höchstens x beträgt.
📐 Definition
F(x) ist die Stammfunktion der Dichtefunktion f(x).
Wichtige Eigenschaften
- • F(x) ist monoton steigend
- •
- •
- • F'(x) = f(x)
Wichtige Formeln
- • P(X ≤ b) = F(b)
- • P(X ≥ a) = 1 - F(a)
- • P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)
Erwartungswert und Varianz
📊 Erwartungswert μ
Der Erwartungswert ist der „Schwerpunkt" der Verteilung:
📊 Varianz σ²
Die Varianz misst die Streuung um den Erwartungswert:
Oder mit der alternativen Formel:
📊 Standardabweichung σ
Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie X.
Beispiel: Gleichverteilung
📝 Die stetige Gleichverteilung auf [a, b]
Bei der Gleichverteilung sind alle Werte im Intervall [a, b] gleich wahrscheinlich.
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Kenngrößen
Erwartungswert:
Varianz:
Rechenbeispiel
📝 Aufgabe
Die Wartezeit X an einer Bushaltestelle ist gleichverteilt auf dem Intervall [0, 10] (in Minuten).
a) Wie lautet die Dichtefunktion?
b) Wie groß ist P(X ≤ 3)?
c) Wie groß ist P(2 ≤ X ≤ 7)?
d) Berechne Erwartungswert und Standardabweichung.
a) Dichtefunktion
Mit a = 0 und b = 10:
b) P(X ≤ 3)
c) P(2 ≤ X ≤ 7)
d) Erwartungswert und Standardabweichung
Erwartungswert:
Varianz:
Standardabweichung:
Übungsaufgaben
Zusammenfassung
📝 Wichtige Formeln
Wahrscheinlichkeit:
Zusammenhang f und F:
F(x) = Stammfunktion von f(x), also F'(x) = f(x)
Einzelwert:
P(X = a) = 0 (immer!)
⚠️ Wichtige Unterschiede zu diskreten Verteilungen
- • P(X = x) = 0 für jeden einzelnen Wert
- • P(X ≤ a) = P(X < a) (kein Unterschied!)
- • Statt Summation → Integration
- • Statt Wahrscheinlichkeiten → Dichten (können > 1 sein!)