Was sind stetige Zufallsgrößen?
Bisher haben wir diskrete Zufallsgrößen betrachtet (z.B. Anzahl Treffer). Viele Größen in der Realität können jedoch jeden beliebigen Wert in einem Intervall annehmen – das sind stetige Zufallsgrößen.
Beispiele für stetige Zufallsgrößen
- • Körpergröße: 1,75 m, 1,753 m, ...
- • Gewicht: 70,5 kg, 70,52 kg, ...
- • Wartezeit: 5,3 min, 5,31 min, ...
- • Temperatur: 21,5 °C
- • Messfehler: kontinuierliche Abweichung
- • Lebensdauer: eines Bauteils
Wahrscheinlichkeitsdichte
Bei stetigen Zufallsgrößen ist die Wahrscheinlichkeit für einen einzelnen Wert immer 0! Stattdessen arbeiten wir mit einer Dichtefunktion f(x).
Dichtefunktion f(x)
Eigenschaften:
- • f(x) ≥ 0 für alle x (nie negativ)
- • Gesamtfläche unter der Kurve = 1
Wahrscheinlichkeit als Fläche:
= Fläche unter f(x) zwischen a und b
Die Wahrscheinlichkeit entspricht der Fläche unter der Kurve
Verteilungsfunktion F(x)
Die Verteilungsfunktion (auch: kumulative Verteilungsfunktion) gibt die Wahrscheinlichkeit an, dass X höchstens x beträgt.
Definition
F(x) ist die Stammfunktion der Dichtefunktion f(x).
Wichtige Eigenschaften
- • F(x) ist monoton steigend
- •
- •
- • F'(x) = f(x)
Wichtige Formeln
- • P(X ≤ b) = F(b)
- • P(X ≥ a) = 1 - F(a)
- • P(a ≤ X ≤ b) = F(b) - F(a)
Erwartungswert und Varianz
Erwartungswert μ
Der Erwartungswert ist der „Schwerpunkt" der Verteilung:
Varianz σ²
Die Varianz misst die Streuung um den Erwartungswert:
Oder mit der alternativen Formel:
Standardabweichung σ
Die Standardabweichung hat dieselbe Einheit wie X.
Beispiel: Gleichverteilung
Die stetige Gleichverteilung auf [a, b]
Bei der Gleichverteilung sind alle Werte im Intervall [a, b] gleich wahrscheinlich.
Dichtefunktion
Verteilungsfunktion
Kenngrößen
Erwartungswert:
Varianz:
Rechenbeispiel
Aufgabe
Die Wartezeit X an einer Bushaltestelle ist gleichverteilt auf dem Intervall [0, 10] (in Minuten).
a) Wie lautet die Dichtefunktion?
b) Wie groß ist P(X ≤ 3)?
c) Wie groß ist P(2 ≤ X ≤ 7)?
d) Berechne Erwartungswert und Standardabweichung.
a) Dichtefunktion
Mit a = 0 und b = 10:
b) P(X ≤ 3)
c) P(2 ≤ X ≤ 7)
d) Erwartungswert und Standardabweichung
Erwartungswert:
Varianz:
Standardabweichung:
Übungsaufgaben
Zusammenfassung
Wichtige Formeln
Wahrscheinlichkeit:
Zusammenhang f und F:
F(x) = Stammfunktion von f(x), also F'(x) = f(x)
Einzelwert:
P(X = a) = 0 (immer!)
Wichtige Unterschiede zu diskreten Verteilungen
- • P(X = x) = 0 für jeden einzelnen Wert
- • P(X ≤ a) = P(X < a) (kein Unterschied!)
- • Statt Summation → Integration
- • Statt Wahrscheinlichkeiten → Dichten (können > 1 sein!)
Ein Beispiel
Eine Wartezeit ist gleichverteilt zwischen 0 und 10 Minuten. Wie wahrscheinlich sind 2 bis 5 Minuten?
- Die konstante Dichte ist denn Breite 10 mal Höhe ergibt Gesamtfläche 1.
- Das gesuchte Intervall hat Breite 5 − 2 = 3.
- Die Wahrscheinlichkeit beträgt 3 · = 0,3 = 30 %.
Darauf kommt es an
Verwechsle die Dichte f(x) nicht mit P(X = x). Bei einer stetigen Verteilung ist die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Werts null.
Aufgabe
Wie wahrscheinlich sind bei derselben Verteilung höchstens 4 Minuten Wartezeit?
Lösung und Rechenweg anzeigen
Die Fläche von 0 bis 4 beträgt 4 · = 0,4, also 40 %.