Warum Vierfeldertafeln?
In der Realität hängen Ereignisse oft zusammen: Rauchen und Lungenkrebs, Impfung und Krankheit, Werbung und Kaufverhalten. Die Vierfeldertafel hilft uns, solche Zusammenhänge übersichtlich darzustellen und zu analysieren.
Was du lernen wirst
- • Vierfeldertafeln erstellen und ausfüllen
- • Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen
- • Stochastische Unabhängigkeit prüfen
- • Totale Wahrscheinlichkeit im Baumdiagramm
Die Vierfeldertafel
Eine Vierfeldertafel zeigt die gemeinsamen Häufigkeiten (oder Wahrscheinlichkeiten) zweier Merkmale A und B mit jeweils zwei Ausprägungen.
| B | Σ | ||
|---|---|---|---|
| A | P(A ∩ B) | P(A) | |
| Σ | P(B) | 1 |
Randwahrscheinlichkeiten
P(A), P(B), , stehen am Rand – sie ergeben sich als Zeilensumme bzw. Spaltensumme.
Schnittwahrscheinlichkeiten
Die vier inneren Felder zeigen die gemeinsamen Wahrscheinlichkeiten (A und B gleichzeitig).
Beispiel: Vierfeldertafel erstellen
Kontext: Bei einer Umfrage unter 200 Schülern wurde gefragt, ob sie Sport treiben (S) und ob sie sich gesund fühlen (G). Ergebnis: 80 treiben Sport, 120 fühlen sich gesund, 60 machen beides.
Schritt 1: Bekannte Werte eintragen
P(S) = 80/200 = 0,4; P(G) = 120/200 = 0,6; P(S ∩ G) = 60/200 = 0,3
Schritt 2: Fehlende Werte berechnen
Die Zeilen und Spalten müssen sich zu den Randsummen addieren:
- •
- •
- •
| G (gesund) | Σ | ||
|---|---|---|---|
| S (Sport) | 0,30 | 0,10 | 0,40 |
| 0,30 | 0,30 | 0,60 | |
| Σ | 0,60 | 0,40 | 1,00 |
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) gibt an, wie wahrscheinlich A ist, wenn B bereits eingetreten ist.
Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit
Lies: „Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B" oder „Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B".
Intuition
Wenn wir wissen, dass B eingetreten ist, reduziert sich unser „Universum" auf B. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist der Anteil von A innerhalb dieses reduzierten Universums.
Beispiel mit der Vierfeldertafel
Aus dem Sport-Beispiel: Wie wahrscheinlich ist es, dass jemand gesund ist, wenn er Sport treibt?
Vergleich: P(G) = 60% für alle. Sportler fühlen sich also häufiger gesund!
Multiplikationssatz
Aus der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeit folgt direkt der Multiplikationssatz:
Multiplikationssatz
Die Schnittwahrscheinlichkeit = Randwahrscheinlichkeit × bedingte Wahrscheinlichkeit
Anwendung im Baumdiagramm
Im Baumdiagramm multiplizieren wir entlang der Pfade – das ist genau der Multiplikationssatz!
Beispiel: Erst B, dann A|B → P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B)
Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A und B heißen stochastisch unabhängig, wenn das Eintreten von B keinen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit von A hat.
Äquivalente Definitionen
A und B sind unabhängig, wenn eine dieser Bedingungen gilt:
1.
2.
3. (Produktformel)
Beispiel: unabhängig
Zwei faire Münzwürfe: Der erste Wurf beeinflusst den zweiten nicht. P(Kopf₁ ∩ Kopf₂) = ½ · ½ = ¼
Beispiel: abhängig
Ziehen ohne Zurücklegen: Die erste Kugel beeinflusst die Wahrscheinlichkeiten für die zweite.
Unabhängigkeit prüfen (Sport-Beispiel)
Sind S und G unabhängig?
Prüfe: P(S ∩ G) = P(S) · P(G)?
Links: P(S ∩ G) = 0,30
Rechts: P(S) · P(G) = 0,4 · 0,6 = 0,24
0,30 ≠ 0,24 → S und G sind nicht unabhängig! (Es gibt einen Zusammenhang)
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
Der Satz der totalen Wahrscheinlichkeit hilft, wenn ein Ereignis B auf verschiedenen Wegen (über A oder über Ā) eintreten kann.
Satz der totalen Wahrscheinlichkeit
Das entspricht der 2. Pfadregel im Baumdiagramm: Alle Pfade, die zu B führen, addieren!
Beispiel: Produktionsqualität
Maschine M₁ produziert 60% der Teile mit 2% Ausschuss.
Maschine M₂ produziert 40% der Teile mit 5% Ausschuss.
Wie hoch ist die Gesamtausschussrate P(Ausschuss)?
Übungsaufgaben
Zusammenfassung
Die wichtigsten Formeln
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Multiplikationssatz
Unabhängigkeit
Totale Wahrscheinlichkeit
Typische Fehler vermeiden
- • P(A|B) ≠ P(B|A): Bedingte Wahrscheinlichkeiten nicht verwechseln!
- • Vierfeldertafel: Kontrolliere, dass alle Summen stimmen
- • Unabhängigkeit: Nicht aus dem Kontext annehmen – rechnerisch prüfen!
- • Multiplikationssatz: Bei abhängigen Ereignissen bedingte W. nutzen
Ein Beispiel
Von 100 Personen fahren 40 mit dem Rad. 30 dieser 40 tragen einen Helm. Wie wahrscheinlich ist ein Helm unter den Radfahrenden?
- Die Bedingung lautet „fährt Rad“. Betrachte deshalb nur die 40 Radfahrenden.
- Davon erfüllen 30 zusätzlich „trägt Helm“.
- P(Helm | Rad) = = 0,75. Das sind 75 % der Radfahrenden, nicht 75 % aller Befragten.
Darauf kommt es an
P(B | A) und P(A | B) sind meist verschieden. Frage bei jeder Rechnung: Welche Gruppe bildet meinen Nenner?
Aufgabe
80 Personen treiben Sport, davon schwimmen 20. Wie groß ist P(Schwimmen | Sport)?
Lösung und Rechenweg anzeigen
Innerhalb der Sportgruppe schwimmen 20 von 80. Die bedingte Wahrscheinlichkeit beträgt = 25 %.