Wahrscheinlichkeiten berechnen

Laplace-Wahrscheinlichkeit, Pfadregeln, Kombinatorik und Rechengesetze für Wahrscheinlichkeiten.

🧠

Warum Wahrscheinlichkeiten?

Stell dir vor, du spielst ein Spiel: Du würfelst, und bei einer 6 gewinnst du 10€. Lohnt sich das Spiel, wenn du 2€ Einsatz zahlst? Um solche Fragen zu beantworten, brauchst du Wahrscheinlichkeitsrechnung.

🧠 Was ist eine Wahrscheinlichkeit überhaupt?

Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1 (oder 0% und 100%), die angibt, wie "sicher" ein Ereignis eintritt:

  • • P = 0 → Das Ereignis ist unmöglich (z.B. eine 7 beim normalen Würfel)
  • • P = 1 → Das Ereignis ist sicher (z.B. eine Zahl zwischen 1-6 beim Würfel)
  • • P = 0,5 → Das Ereignis tritt in der Hälfte aller Fälle ein

🎯 Was du in diesem Kapitel lernen wirst

  • • Laplace-Wahrscheinlichkeit — Die einfachste Methode: Zählen!
  • • Pfadregeln — Wie du mehrstufige Experimente berechnest
  • • Kombinatorik — Clevere Zählmethoden (Fakultät, Binomialkoeffizient)
  • • Mit/ohne Zurücklegen — Ein entscheidender Unterschied
  • • Rechenregeln — Gegenereignis, Vereinigung, Schnitt

📌 Wichtige Begriffe vorab

Zufallsexperiment:

Ein Vorgang mit ungewissem Ausgang (z.B. Würfeln, Münzwurf)

Ergebnis (ω):

Ein einzelner möglicher Ausgang (z.B. "die 4")

Ergebnismenge (Ω):

Alle möglichen Ergebnisse (z.B. Ω = {1,2,3,4,5,6})

Ereignis (A):

Eine Teilmenge von Ω (z.B. A = "gerade Zahl" = {2,4,6})

123456Ereignis A = "höchstens 2" = {1, 2}P(A) = 2/6 = 1/3 ≈ 33,3%
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Laplace-Wahrscheinlichkeit

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist die einfachste und wichtigste Methode zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Sie funktioniert immer dann, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

🤔 Wann ist ein Experiment "Laplace"?

Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn:

  • ✅ Es gibt endlich viele mögliche Ergebnisse
  • ✅ Jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich

✅ Laplace-Experimente:

Fairer Würfel, faire Münze, gut gemischte Karten, Lostrommel

❌ Keine Laplace-Experimente:

Gezinkter Würfel, Wettervorhersage, Fußballergebnisse

📐 Die Laplace-Formel

Legende:

  • • P(A) = Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A
  • • |A| = Anzahl der "günstigen" Ergebnisse (die zum Ereignis gehören)
  • • |Ω| = Anzahl aller möglichen Ergebnisse insgesamt

📝 Schritt-für-Schritt-Anleitung

1

Ergebnismenge Ω bestimmen

Schreibe alle möglichen Ergebnisse auf

2

Prüfen: Ist es ein Laplace-Experiment?

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich?

3

Günstige Ergebnisse zählen (|A|)

Welche Ergebnisse gehören zum gesuchten Ereignis?

4

Formel anwenden

P(A) = |A| / |Ω| berechnen

✅ Beispiel 1: Würfel — Gerade Zahl

Frage: Wie groß ist P(gerade Zahl) beim fairen Würfel?

Schritt 1: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → |Ω| = 6

Schritt 2: ✓ Laplace, da fairer Würfel (jede Zahl gleich wahrscheinlich)

Schritt 3: A = "gerade Zahl" = {2, 4, 6} → |A| = 3

Schritt 4:

Interpretation: Bei vielen Würfen landet ungefähr die Hälfte auf einer geraden Zahl.

✅ Beispiel 2: Kartenspiel

Situation: Ein Skatblatt hat 32 Karten (4 Farben × 8 Werte: 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass)

Frage: Wie groß ist P(Ass ziehen)?

Lösung:

• |Ω| = 32 (alle Karten)

• |A| = 4 (es gibt 4 Asse: Kreuz, Pik, Herz, Karo)

✅ Beispiel 3: Zwei Würfel — Summe 7

Frage: Zwei faire Würfel werden geworfen. P(Augensumme = 7) = ?

Schritt 1: Ergebnismenge aufstellen

Ω = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)} → |Ω| = 6 × 6 = 36

Schritt 2: ✓ Laplace (beide Würfel fair)

Schritt 3: Günstige Ergebnisse für Summe 7:

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → |A| = 6

Schritt 4:

💡 Fun Fact: Die 7 ist die häufigste Augensumme bei zwei Würfeln — deshalb ist sie im Spiel "Craps" so wichtig!

⚠️ Wichtige Warnung

Die Laplace-Formel funktioniert NUR, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind!

Falsches Beispiel: "Morgen regnet es oder nicht — also P(Regen) = 1/2"

❌ Falsch! Die Ereignisse "Regen" und "kein Regen" sind NICHT gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit hängt von Wetterdaten, Jahreszeit, Ort usw. ab.

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Grundlegende Rechenregeln

Mit diesen vier Regeln kannst du komplexere Wahrscheinlichkeiten berechnen, indem du einfachere Wahrscheinlichkeiten kombinierst.

1️⃣ Gegenereignis (Komplementregel)

Bedeutung: Die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt, ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt.

Das Gegenereignis (sprich: "A quer") enthält alle Ergebnisse, die NICHT in A sind.

📝 Ausführliches Beispiel:

Frage: Ein Würfel wird 3× geworfen. P(mindestens eine 6) = ?

Direkt rechnen wäre kompliziert (viele Fälle: genau 1×, genau 2×, genau 3× die 6)

Besser: Gegenereignis!

• Gegenereignis: "keine einzige 6"

• P(keine 6 in einem Wurf) = 5/6

• P(keine 6 in 3 Würfen) = (5/6)³ = 125/216

• P(mind. eine 6) = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 42,1%

💡 Tipp: Nutze das Gegenereignis immer, wenn das gesuchte Ereignis "mindestens" oder "wenigstens" enthält!

2️⃣ Additionssatz (für disjunkte Ereignisse)

Bedeutung: Wenn sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen(d.h. sie können nicht gleichzeitig eintreten), dann addieren sich ihre Wahrscheinlichkeiten.

Disjunkt = keine gemeinsamen Ergebnisse (Schnittmenge ist leer)

📝 Beispiel: Würfel

Frage: P(1 oder 2) = ?

• A = "Würfel zeigt 1" → P(A) = 1/6

• B = "Würfel zeigt 2" → P(B) = 1/6

• A und B sind disjunkt (man kann nicht gleichzeitig 1 und 2 würfeln)

• P(A ∪ B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

📝 Beispiel: Kartenspiel

Frage: P(Herz-Ass ODER Pik-König) bei 32 Karten = ?

• Ereignisse sind disjunkt (verschiedene Karten)

• P(Herz-Ass) = 1/32

• P(Pik-König) = 1/32

• P(Herz-Ass oder Pik-König) = 1/32 + 1/32 = 2/32 = 1/16

3️⃣ Allgemeiner Additionssatz (mit Überschneidung)

Bedeutung: Wenn sich Ereignisse überlappen können, muss der Schnitt abgezogen werden — sonst zählst du ihn doppelt!

ABA∩B

📝 Beispiel: Kartenspiel

Frage: P(Herz ODER Bild) bei 32 Karten = ?

• A = "Herz" → 8 Karten → P(A) = 8/32

• B = "Bild" (Bube, Dame, König) → 12 Karten → P(B) = 12/32

• A ∩ B = "Herz UND Bild" → 3 Karten (Herz-Bube, Herz-Dame, Herz-König)

• P(A ∩ B) = 3/32

⚠️ Häufiger Fehler: Den Schnitt vergessen abzuziehen! Wenn du einfach P(A) + P(B) rechnest, zählst du die überlappenden Ergebnisse doppelt.

4️⃣ Multiplikationsregel (für unabhängige Ereignisse)

Bedeutung: Wenn das Eintreten von A keinen Einfluss auf B hat (und umgekehrt), dann multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten.

Unabhängig = Das Ergebnis des einen Experiments beeinflusst das andere nicht.

📝 Beispiel 1: Zwei Würfel

Frage: P(erster Würfel = 6 UND zweiter Würfel = 6) = ?

• Die Würfel sind unabhängig voneinander

• P(erster = 6) = 1/6

• P(zweiter = 6) = 1/6

• P(beide 6) = 1/6 · 1/6 = 1/36 ≈ 2,8%

📝 Beispiel 2: Münze und Würfel

Frage: P(Kopf UND gerade Zahl) = ?

• Münze und Würfel sind unabhängig

• P(Kopf) = 1/2

• P(gerade) = 3/6 = 1/2

• P(Kopf ∩ gerade) = 1/2 · 1/2 = 1/4 = 25%

⚠️ Achtung: Nicht alles ist unabhängig! Beim Ziehen ohne Zurücklegensind die Züge abhängig. Dann gilt diese Formel NICHT — du brauchst bedingte Wahrscheinlichkeiten.

📋 Übersicht: Wann welche Regel?

FragestellungRegelFormel
A tritt NICHT einGegenereignis
A ODER B (schließen sich aus)Additionssatz
A ODER B (können überlappen)Allg. Additionssatz
A UND B (unabhängig)Multiplikation
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Pfadregeln bei Baumdiagrammen

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten (z.B. mehrfaches Würfeln, mehrfaches Ziehen) ist das Baumdiagramm das wichtigste Werkzeug. Es zeigt alle möglichen Abläufe und macht die Berechnung übersichtlich.

🌳 Was ist ein Baumdiagramm?

  • • Jede Stufe = ein Schritt des Experiments (z.B. 1. Wurf, 2. Wurf, ...)
  • • Jeder Ast = ein mögliches Ergebnis dieser Stufe
  • • An jedem Ast steht die Wahrscheinlichkeit für diesen Übergang
  • • Ein Pfad = ein kompletter Durchlauf von der Wurzel bis zum Ende

Beispiel: Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln, 2× ziehen mit Zurücklegen

S2/53/5RB2/53/5RB2/53/5RBRR: 2/5 · 2/5 = 4/25RB: 2/5 · 3/5 = 6/25BR: 3/5 · 2/5 = 6/25BB: 3/5 · 3/5 = 9/25Σ = 25/25 ✓

📏 1. Pfadregel: MULTIPLIZIEREN

Bedeutung: Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfadesist das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

Merksatz: "Entlang eines Pfades wird multipliziert"

Beispiel: P(erst rot, dann blau) = 2/5 · 3/5 = 6/25

➕ 2. Pfadregel: ADDIEREN

Bedeutung: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignissesist die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten, die zum Ereignis gehören.

Merksatz: "Verschiedene günstige Pfade werden addiert"

Beispiel: P(genau eine rote) = P(RB) + P(BR) = 6/25 + 6/25 = 12/25

📝 Ausführliches Beispiel: Qualitätskontrolle

Situation: Eine Maschine produziert Teile. 90% sind in Ordnung (OK), 10% defekt (D). Es werden 3 Teile nacheinander geprüft.

Frage a) P(alle 3 in Ordnung) = ?

→ Nur ein Pfad: OK-OK-OK

→ P = 0,9 · 0,9 · 0,9 = 0,9³ = 0,729 = 72,9%

Frage b) P(genau ein defektes Teil) = ?

→ Günstige Pfade: D-OK-OK, OK-D-OK, OK-OK-D (3 Pfade)

→ Jeder Pfad hat P = 0,1 · 0,9 · 0,9 = 0,081

→ P(genau 1 defekt) = 3 · 0,081 = 0,243 = 24,3%

Frage c) P(mindestens ein defektes Teil) = ?

→ Tipp: Gegenereignis nutzen!

→ P(mind. 1 defekt) = 1 − P(keins defekt) = 1 − 0,729 = 0,271 = 27,1%

✅ Selbstkontrolle: Stimmt mein Baumdiagramm?

  • • Regel 1: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgehen, muss immer = 1 sein
  • • Regel 2: Die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten (Endknoten) muss = 1 sein
  • • Wenn das nicht stimmt, hast du einen Fehler gemacht!

💡 Wann nutzt du Pfadregeln?

✅ Pfadregeln ideal bei:

  • • Mehrfaches Würfeln/Münzwurf
  • • Ziehen aus Urnen
  • • Qualitätskontrolle
  • • Spiele mit mehreren Runden

📌 Vorgehensweise:

  1. Baumdiagramm zeichnen
  2. Wahrscheinlichkeiten an Äste schreiben
  3. Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen (1. Regel)
  4. Günstige Pfade addieren (2. Regel)
📘

Kombinatorik: Clevere Zählmethoden

Bei der Laplace-Formel musst du |A| und |Ω| zählen. Bei kleinen Mengen geht das von Hand — aber bei 49 Lottokugeln oder 52 Spielkarten? Hier brauchst du Kombinatorik — die Kunst des cleveren Zählens.

🔢 Die Fakultät (n!)

Bedeutung: n! gibt an, auf wie viele Arten man n verschiedene Objekte anordnen kann.

Sprich: "n Fakultät"

1!

= 1

3!

= 6

5!

= 120

10!

= 3.628.800

📝 Beispiel: 4 Bücher ins Regal

Auf wie viele Arten kann man 4 verschiedene Bücher anordnen?

• 1. Position: 4 Möglichkeiten

• 2. Position: 3 Möglichkeiten (eins weniger)

• 3. Position: 2 Möglichkeiten

• 4. Position: 1 Möglichkeit

→ 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Anordnungen

📌 Wichtig: Per Definition gilt 0! = 1 (nicht 0!)

🎯 Der Binomialkoeffizient ("n über k")

Bedeutung: Auf wie viele Arten kann man k Elemente aus nauswählen, wenn die Reihenfolge egal ist?

Sprich: "n über k" oder "k aus n"

📝 Beispiel: 2 aus 5 auswählen

Aus 5 Schülern sollen 2 für ein Team gewählt werden. Wie viele Möglichkeiten?

Kontrolle: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE = 10 ✓

📝 Beispiel: Lotto 6 aus 49

Wie viele verschiedene Tippreihen gibt es?

P(6 Richtige) = 1 / 13.983.816 ≈ 0,0000072% (fast unmöglich!)

🧮 Nützliche Eigenschaften

  • • (nichts auswählen: 1 Weg)
  • • (alles auswählen: 1 Weg)
  • • (1 Element: n Wege)
  • • (Symmetrie)

📱 Taschenrechner

Auf dem Taschenrechner: Suche die Taste nCroder im Menü unter "Kombinatorik".
Eingabe: 49 nCr 6

📋 Variation: Auswahl MIT Reihenfolge

Bedeutung: Auf wie viele Arten kann man k Elemente aus n auswählen UND anordnen (Reihenfolge zählt)?

📝 Beispiel: Podium

Bei einem Wettkampf mit 10 Teilnehmern: Wie viele mögliche Podien (1., 2., 3. Platz)?

Erklärung: 10 Möglichkeiten für Platz 1, dann 9 für Platz 2, dann 8 für Platz 3

📊 Übersicht: Welche Formel wann?

SituationReihenfolge?FormelBeispiel
n Objekte anordnenJa4 Bücher ins Regal
k aus n auswählenNeinLotto 6 aus 49
k aus n auswählen + anordnenJaPodiumsplätze
n-mal mit k Möglichkeiten (mit Zurücklegen)JaPIN mit 4 Ziffern: 10⁴

💡 Welche Formel brauche ich?

Stelle dir diese Fragen:

  1. Wird zurückgelegt? Ja → Potenzen (k^n)
  2. Ist die Reihenfolge wichtig?
    • • Ja → Fakultät oder Variation
    • • Nein → Binomialkoeffizient
  3. Werden alle Objekte verwendet?
    • • Ja → n!
    • • Nein (nur k von n) → Binomialkoeffizient oder Variation
🧩

Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Einer der wichtigsten Unterschiede in der Stochastik! Bei Urnenexperimenten oder beim Ziehen von Karten musst du immer zuerst klären: Wird zurückgelegt oder nicht?

🔄 Mit Zurücklegen

  • • Nach jedem Zug kommt das Objekt zurück
  • • Die Wahrscheinlichkeiten bleiben konstant
  • • Die Züge sind unabhängig voneinander
  • • → Multiplikationsregel anwendbar

📝 Beispiel:

Urne: 3🔴 rote und 2🔵 blaue Kugeln
2× ziehen mit Zurücklegen

P(2× rot)?

• 1. Zug: P(rot) = 3/5

• Kugel zurück → immer noch 3🔴 und 2🔵

• 2. Zug: P(rot) = 3/5

• P(RR) = 3/5 · 3/5 = 9/25 = 36%

📥 Ohne Zurücklegen

  • • Nach jedem Zug bleibt das Objekt draußen
  • • Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich
  • • Die Züge sind abhängig voneinander
  • • → Aufpassen beim Rechnen!

📝 Beispiel:

Gleiche Urne: 3🔴 und 2🔵
2× ziehen ohne Zurücklegen

P(2× rot)?

• 1. Zug: P(rot) = 3/5

• Kugel weg → nur noch 2🔴 und 2🔵 (4 Kugeln)

• 2. Zug: P(rot) = 2/4 = 1/2

• P(RR) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10 = 30%

Vergleich der Baumdiagramme

Mit Zurücklegen

3/52/53/52/53/52/59/256/256/254/25

Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich!

Ohne Zurücklegen

3/52/52/42/43/41/46/206/206/202/20

Wahrscheinlichkeiten ändern sich!

📝 Ausführliches Beispiel: Bonbons

Situation: Eine Tüte enthält 4 rote und 6 grüne Bonbons. Du nimmst nacheinander 2 Bonbons heraus.

Mit Zurücklegen:

P(beide rot) = ?

P(1. rot) = 4/10

P(2. rot) = 4/10 (gleich!)

P(RR) = 4/10 · 4/10 = 16/100 = 16%

Ohne Zurücklegen:

P(beide rot) = ?

P(1. rot) = 4/10

P(2. rot | 1. rot) = 3/9 (1 rot weg!)

P(RR) = 4/10 · 3/9 = 12/90 ≈ 13,3%

Beobachtung: Ohne Zurücklegen ist P(beide rot) etwas kleiner, weil nach dem ersten roten Bonbon weniger rote übrig sind.

🔍 Wie erkenne ich, was gemeint ist?

🔄 Mit Zurücklegen:

  • • "mit Zurücklegen"
  • • "unabhängig voneinander"
  • • "unter gleichen Bedingungen"
  • • Würfeln, Münzwurf (implizit)

📥 Ohne Zurücklegen:

  • • "ohne Zurücklegen"
  • • "nacheinander entnommen"
  • • "gleichzeitig gezogen" (= ohne zurücklegen!)
  • • Lotto, Kartenspielen

⚠️ Häufiger Fehler

Falsch: Bei "ohne Zurücklegen" die Wahrscheinlichkeiten konstant halten

Beispiel: "Aus 5 Karten (2 Asse, 3 Könige) werden 2 gezogen. P(beide Asse)?"

❌ Falsch: P = 2/5 · 2/5 = 4/25 (behandelt als mit Zurücklegen)

✅ Richtig: P = 2/5 · 1/4 = 2/20 = 1/10 (ohne Zurücklegen)

💡

Übungsaufgaben mit Lösungen

Hier sind Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungswegen. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst, bevor du die Lösung aufklappst!

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Zusammenfassung & Checkliste

Hier findest du alle wichtigen Formeln und Strategien auf einen Blick — perfekt zum Wiederholen vor der Klausur!

📝 Die wichtigsten Formeln

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Günstige durch mögliche Ergebnisse

Gegenereignis

Für "mindestens" und "nicht"-Fragen

Additionssatz (disjunkt)

Wenn A und B sich ausschließen

Allg. Additionssatz

Bei Überlappung

Multiplikation (unabhängig)

Bei unabhängigen Ereignissen

Binomialkoeffizient

k aus n wählen (ohne Reihenfolge)

🌳 Pfadregeln (auswendig lernen!)

1. Pfadregel

Entlang eines Pfades: MULTIPLIZIEREN

2. Pfadregel

Günstige Pfade: ADDIEREN

✅ Strategie-Checkliste für Aufgaben

1

Aufgabe verstehen

Was ist gesucht? Welche Informationen sind gegeben?

2

Mit oder ohne Zurücklegen?

Entscheidend für die Berechnung!

3

Laplace-Experiment?

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich?

4

Gegenereignis prüfen

Bei "mindestens" oft einfacher!

5

Baumdiagramm bei mehrstufigen Experimenten

Übersichtlich und verhindert Fehler

6

Ergebnis kontrollieren

Liegt P zwischen 0 und 1? Summe aller Pfade = 1?

⚠️ Typische Fehler vermeiden

❌

Mit/ohne Zurücklegen verwechseln

Genau lesen! "Gleichzeitig gezogen" = ohne Zurücklegen

❌

Schnittmenge nicht abziehen

Bei P(A oder B) prüfen, ob Überlappung existiert

❌

Unabhängigkeit falsch annehmen

Ohne Zurücklegen → Ereignisse sind abhängig!

❌

Reihenfolge falsch beachten

Lotto: Reihenfolge egal → Binomialkoeffizient

❌

Laplace bei nicht-Laplace anwenden

"Regen oder nicht" ≠ 50% - Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich!

💡 Merkhilfen

"UND" → Multiplizieren

"A und B eintreten" → P(A) · P(B) (bei Unabhängigkeit)

"ODER" → Addieren

"A oder B eintreten" → P(A) + P(B) (bei Disjunktheit)

"Mindestens" → Gegenereignis

P(mind. 1) = 1 − P(keins)

Kontrolle: P ∈ [0,1]

Ergebnis muss zwischen 0 und 1 liegen!

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