Wahrscheinlichkeiten berechnen – Stochastik

Warum Wahrscheinlichkeiten?

Stell dir vor, du spielst ein Spiel: Du würfelst, und bei einer 6 gewinnst du 10€. Lohnt sich das Spiel, wenn du 2€ Einsatz zahlst? Um solche Fragen zu beantworten, brauchst du Wahrscheinlichkeitsrechnung.

Was ist eine Wahrscheinlichkeit überhaupt?

Eine Wahrscheinlichkeit ist eine Zahl zwischen 0 und 1 (oder 0% und 100%), die angibt, wie "sicher" ein Ereignis eintritt:

• P = 0 → Das Ereignis ist unmöglich (z.B. eine 7 beim normalen Würfel)
• P = 1 → Das Ereignis ist sicher (z.B. eine Zahl zwischen 1-6 beim Würfel)
• P = 0,5 → Das Ereignis tritt in der Hälfte aller Fälle ein

Was du in diesem Kapitel lernen wirst

• Laplace-Wahrscheinlichkeit — Die einfachste Methode: Zählen!
• Pfadregeln — Wie du mehrstufige Experimente berechnest
• Kombinatorik — Clevere Zählmethoden (Fakultät, Binomialkoeffizient)
• Mit/ohne Zurücklegen — Ein entscheidender Unterschied
• Rechenregeln — Gegenereignis, Vereinigung, Schnitt

Wichtige Begriffe vorab

Zufallsexperiment:

Ein Vorgang mit ungewissem Ausgang (z.B. Würfeln, Münzwurf)

Ergebnis (ω):

Ein einzelner möglicher Ausgang (z.B. "die 4")

Ergebnismenge (Ω):

Alle möglichen Ergebnisse (z.B. Ω = {1,2,3,4,5,6})

Ereignis (A):

Eine Teilmenge von Ω (z.B. A = "gerade Zahl" = {2,4,6})

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Die Laplace-Wahrscheinlichkeit ist die einfachste und wichtigste Methode zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Sie funktioniert immer dann, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind.

Wann ist ein Experiment "Laplace"?

Ein Laplace-Experiment liegt vor, wenn:

Es gibt endlich viele mögliche Ergebnisse
Jedes Ergebnis ist gleich wahrscheinlich

Laplace-Experimente:

Fairer Würfel, faire Münze, gut gemischte Karten, Lostrommel

Keine Laplace-Experimente:

Gezinkter Würfel, Wettervorhersage, Fußballergebnisse

Die Laplace-Formel

Legende:

• P(A) = Wahrscheinlichkeit des Ereignisses A
• |A| = Anzahl der "günstigen" Ergebnisse (die zum Ereignis gehören)
• |Ω| = Anzahl aller möglichen Ergebnisse insgesamt

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Ergebnismenge Ω bestimmen

Schreibe alle möglichen Ergebnisse auf

Prüfen: Ist es ein Laplace-Experiment?

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich?

Günstige Ergebnisse zählen (|A|)

Welche Ergebnisse gehören zum gesuchten Ereignis?

Formel anwenden

P(A) = |A| / |Ω| berechnen

Beispiel 1: Würfel — Gerade Zahl

Frage: Wie groß ist P(gerade Zahl) beim fairen Würfel?

Schritt 1: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} → |Ω| = 6

Schritt 2: ✓ Laplace, da fairer Würfel (jede Zahl gleich wahrscheinlich)

Schritt 3: A = "gerade Zahl" = {2, 4, 6} → |A| = 3

Schritt 4:

Interpretation: Bei vielen Würfen landet ungefähr die Hälfte auf einer geraden Zahl.

Beispiel 2: Kartenspiel

Situation: Ein Skatblatt hat 32 Karten (4 Farben × 8 Werte: 7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, Ass)

Frage: Wie groß ist P(Ass ziehen)?

Lösung:

• |Ω| = 32 (alle Karten)

• |A| = 4 (es gibt 4 Asse: Kreuz, Pik, Herz, Karo)

Beispiel 3: Zwei Würfel — Summe 7

Frage: Zwei faire Würfel werden geworfen. P(Augensumme = 7) = ?

Schritt 1: Ergebnismenge aufstellen

Ω = {(1,1), (1,2), ..., (6,6)} → |Ω| = 6 × 6 = 36

Schritt 2: ✓ Laplace (beide Würfel fair)

Schritt 3: Günstige Ergebnisse für Summe 7:

(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → |A| = 6

Schritt 4:

Fun Fact: Die 7 ist die häufigste Augensumme bei zwei Würfeln — deshalb ist sie im Spiel "Craps" so wichtig!

Wichtige Warnung

Die Laplace-Formel funktioniert NUR, wenn alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind!

Falsches Beispiel: "Morgen regnet es oder nicht — also P(Regen) = 1/2"

Falsch! Die Ereignisse "Regen" und "kein Regen" sind NICHT gleich wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit hängt von Wetterdaten, Jahreszeit, Ort usw. ab.

Grundlegende Rechenregeln

Mit diesen vier Regeln kannst du komplexere Wahrscheinlichkeiten berechnen, indem du einfachere Wahrscheinlichkeiten kombinierst.

Gegenereignis (Komplementregel)

Bedeutung: Die Wahrscheinlichkeit, dass A nicht eintritt, ist 1 minus die Wahrscheinlichkeit, dass A eintritt.

Das Gegenereignis (sprich: "A quer") enthält alle Ergebnisse, die NICHT in A sind.

Ausführliches Beispiel:

Frage: Ein Würfel wird 3× geworfen. P(mindestens eine 6) = ?

Direkt rechnen wäre kompliziert (viele Fälle: genau 1×, genau 2×, genau 3× die 6)

Besser: Gegenereignis!

• Gegenereignis: "keine einzige 6"

• P(keine 6 in einem Wurf) = 5/6

• P(keine 6 in 3 Würfen) = (5/6)³ = 125/216

• P(mind. eine 6) = 1 − 125/216 = 91/216 ≈ 42,1%

Tipp: Nutze das Gegenereignis immer, wenn das gesuchte Ereignis "mindestens" oder "wenigstens" enthält!

Additionssatz (für disjunkte Ereignisse)

Bedeutung: Wenn sich zwei Ereignisse gegenseitig ausschließen(d.h. sie können nicht gleichzeitig eintreten), dann addieren sich ihre Wahrscheinlichkeiten.

Disjunkt = keine gemeinsamen Ergebnisse (Schnittmenge ist leer)

Beispiel: Würfel

Frage: P(1 oder 2) = ?

• A = "Würfel zeigt 1" → P(A) = 1/6

• B = "Würfel zeigt 2" → P(B) = 1/6

• A und B sind disjunkt (man kann nicht gleichzeitig 1 und 2 würfeln)

• P(A ∪ B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3

Beispiel: Kartenspiel

Frage: P(Herz-Ass ODER Pik-König) bei 32 Karten = ?

• Ereignisse sind disjunkt (verschiedene Karten)

• P(Herz-Ass) = 1/32

• P(Pik-König) = 1/32

• P(Herz-Ass oder Pik-König) = 1/32 + 1/32 = 2/32 = 1/16

Allgemeiner Additionssatz (mit Überschneidung)

Bedeutung: Wenn sich Ereignisse überlappen können, muss der Schnitt abgezogen werden — sonst zählst du ihn doppelt!

Beispiel: Kartenspiel

Frage: P(Herz ODER Bild) bei 32 Karten = ?

• A = "Herz" → 8 Karten → P(A) = 8/32

• B = "Bild" (Bube, Dame, König) → 12 Karten → P(B) = 12/32

• A ∩ B = "Herz UND Bild" → 3 Karten (Herz-Bube, Herz-Dame, Herz-König)

• P(A ∩ B) = 3/32

Häufiger Fehler: Den Schnitt vergessen abzuziehen! Wenn du einfach P(A) + P(B) rechnest, zählst du die überlappenden Ergebnisse doppelt.

Multiplikationsregel (für unabhängige Ereignisse)

Bedeutung: Wenn das Eintreten von A keinen Einfluss auf B hat (und umgekehrt), dann multiplizierst du die Wahrscheinlichkeiten.

Unabhängig = Das Ergebnis des einen Experiments beeinflusst das andere nicht.

Beispiel 1: Zwei Würfel

Frage: P(erster Würfel = 6 UND zweiter Würfel = 6) = ?

• Die Würfel sind unabhängig voneinander

• P(erster = 6) = 1/6

• P(zweiter = 6) = 1/6

• P(beide 6) = 1/6 · 1/6 = 1/36 ≈ 2,8%

Beispiel 2: Münze und Würfel

Frage: P(Kopf UND gerade Zahl) = ?

• Münze und Würfel sind unabhängig

• P(Kopf) = 1/2

• P(gerade) = 3/6 = 1/2

• P(Kopf ∩ gerade) = 1/2 · 1/2 = 1/4 = 25%

Achtung: Nicht alles ist unabhängig! Beim Ziehen ohne Zurücklegensind die Züge abhängig. Dann gilt diese Formel NICHT — du brauchst bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Übersicht: Wann welche Regel?

Fragestellung	Regel	Formel
A tritt NICHT ein	Gegenereignis
A ODER B (schließen sich aus)	Additionssatz
A ODER B (können überlappen)	Allg. Additionssatz
A UND B (unabhängig)	Multiplikation

Pfadregeln bei Baumdiagrammen

Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten (z.B. mehrfaches Würfeln, mehrfaches Ziehen) ist das Baumdiagramm das wichtigste Werkzeug. Es zeigt alle möglichen Abläufe und macht die Berechnung übersichtlich.

Was ist ein Baumdiagramm?

• Jede Stufe = ein Schritt des Experiments (z.B. 1. Wurf, 2. Wurf, ...)
• Jeder Ast = ein mögliches Ergebnis dieser Stufe
• An jedem Ast steht die Wahrscheinlichkeit für diesen Übergang
• Ein Pfad = ein kompletter Durchlauf von der Wurzel bis zum Ende

Beispiel: Urne mit 2 roten und 3 blauen Kugeln, 2× ziehen mit Zurücklegen

1. Pfadregel: MULTIPLIZIEREN

Bedeutung: Die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Pfadesist das Produkt aller Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades.

Merksatz: "Entlang eines Pfades wird multipliziert"

Beispiel: P(erst rot, dann blau) = 2/5 · 3/5 = 6/25

2. Pfadregel: ADDIEREN

Bedeutung: Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignissesist die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten, die zum Ereignis gehören.

Merksatz: "Verschiedene günstige Pfade werden addiert"

Beispiel: P(genau eine rote) = P(RB) + P(BR) = 6/25 + 6/25 = 12/25

Ausführliches Beispiel: Qualitätskontrolle

Situation: Eine Maschine produziert Teile. 90% sind in Ordnung (OK), 10% defekt (D). Es werden 3 Teile nacheinander geprüft.

Frage a) P(alle 3 in Ordnung) = ?

→ Nur ein Pfad: OK-OK-OK

→ P = 0,9 · 0,9 · 0,9 = 0,9³ = 0,729 = 72,9%

Frage b) P(genau ein defektes Teil) = ?

→ Günstige Pfade: D-OK-OK, OK-D-OK, OK-OK-D (3 Pfade)

→ Jeder Pfad hat P = 0,1 · 0,9 · 0,9 = 0,081

→ P(genau 1 defekt) = 3 · 0,081 = 0,243 = 24,3%

Frage c) P(mindestens ein defektes Teil) = ?

→ Tipp: Gegenereignis nutzen!

→ P(mind. 1 defekt) = 1 − P(keins defekt) = 1 − 0,729 = 0,271 = 27,1%

Selbstkontrolle: Stimmt mein Baumdiagramm?

• Regel 1: Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten, die von einem Knoten ausgehen, muss immer = 1 sein
• Regel 2: Die Summe aller Pfadwahrscheinlichkeiten (Endknoten) muss = 1 sein
• Wenn das nicht stimmt, hast du einen Fehler gemacht!

Wann nutzt du Pfadregeln?

Pfadregeln ideal bei:

• Mehrfaches Würfeln/Münzwurf
• Ziehen aus Urnen
• Qualitätskontrolle
• Spiele mit mehreren Runden

Vorgehensweise:

Baumdiagramm zeichnen
Wahrscheinlichkeiten an Äste schreiben
Pfadwahrscheinlichkeiten berechnen (1. Regel)
Günstige Pfade addieren (2. Regel)

Kombinatorik: Clevere Zählmethoden

Bei der Laplace-Formel musst du |A| und |Ω| zählen. Bei kleinen Mengen geht das von Hand — aber bei 49 Lottokugeln oder 52 Spielkarten? Hier brauchst du Kombinatorik — die Kunst des cleveren Zählens.

Die Fakultät (n!)

Bedeutung: n! gibt an, auf wie viele Arten man n verschiedene Objekte anordnen kann.

Sprich: "n Fakultät"

= 1

= 6

= 120

10!

= 3.628.800

Beispiel: 4 Bücher ins Regal

Auf wie viele Arten kann man 4 verschiedene Bücher anordnen?

• 1. Position: 4 Möglichkeiten

• 2. Position: 3 Möglichkeiten (eins weniger)

• 3. Position: 2 Möglichkeiten

• 4. Position: 1 Möglichkeit

→ 4! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24 Anordnungen

Wichtig: Per Definition gilt 0! = 1 (nicht 0!)

Der Binomialkoeffizient ("n über k")

Bedeutung: Auf wie viele Arten kann man k Elemente aus nauswählen, wenn die Reihenfolge egal ist?

Sprich: "n über k" oder "k aus n"

Beispiel: 2 aus 5 auswählen

Aus 5 Schülern sollen 2 für ein Team gewählt werden. Wie viele Möglichkeiten?

Kontrolle: AB, AC, AD, AE, BC, BD, BE, CD, CE, DE = 10 ✓

Beispiel: Lotto 6 aus 49

Wie viele verschiedene Tippreihen gibt es?

P(6 Richtige) = 1 / 13.983.816 ≈ 0,0000072% (fast unmöglich!)

Nützliche Eigenschaften

• (nichts auswählen: 1 Weg)
• (alles auswählen: 1 Weg)
• (1 Element: n Wege)
• (Symmetrie)

Taschenrechner

Auf dem Taschenrechner: Suche die Taste nCroder im Menü unter "Kombinatorik".
Eingabe: 49 nCr 6

Variation: Auswahl MIT Reihenfolge

Bedeutung: Auf wie viele Arten kann man k Elemente aus n auswählen UND anordnen (Reihenfolge zählt)?

Beispiel: Podium

Bei einem Wettkampf mit 10 Teilnehmern: Wie viele mögliche Podien (1., 2., 3. Platz)?

Erklärung: 10 Möglichkeiten für Platz 1, dann 9 für Platz 2, dann 8 für Platz 3

Übersicht: Welche Formel wann?

Situation	Reihenfolge?	Beispiel
n Objekte anordnen	Ja	4 Bücher ins Regal
k aus n auswählen	Nein	Lotto 6 aus 49
k aus n auswählen + anordnen	Ja	Podiumsplätze
n-mal mit k Möglichkeiten (mit Zurücklegen)	Ja	PIN mit 4 Ziffern: 10⁴

Welche Formel brauche ich?

Stelle dir diese Fragen:

Wird zurückgelegt? Ja → Potenzen (k^n)
Ist die Reihenfolge wichtig?

• Ja → Fakultät oder Variation
• Nein → Binomialkoeffizient

Werden alle Objekte verwendet?

• Ja → n!
• Nein (nur k von n) → Binomialkoeffizient oder Variation

Ziehen mit und ohne Zurücklegen

Einer der wichtigsten Unterschiede in der Stochastik! Bei Urnenexperimenten oder beim Ziehen von Karten musst du immer zuerst klären: Wird zurückgelegt oder nicht?

Mit Zurücklegen

• Nach jedem Zug kommt das Objekt zurück
• Die Wahrscheinlichkeiten bleiben konstant
• Die Züge sind unabhängig voneinander
• → Multiplikationsregel anwendbar

Beispiel:

Urne: 3rote und 2blaue Kugeln
2× ziehen mit Zurücklegen

P(2× rot)?

• 1. Zug: P(rot) = 3/5

• Kugel zurück → immer noch 3und 2

• 2. Zug: P(rot) = 3/5

• P(RR) = 3/5 · 3/5 = 9/25 = 36%

Ohne Zurücklegen

• Nach jedem Zug bleibt das Objekt draußen
• Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich
• Die Züge sind abhängig voneinander
• → Aufpassen beim Rechnen!

Beispiel:

Gleiche Urne: 3und 2
2× ziehen ohne Zurücklegen

P(2× rot)?

• 1. Zug: P(rot) = 3/5

• Kugel weg → nur noch 2und 2(4 Kugeln)

• 2. Zug: P(rot) = 2/4 = 1/2

• P(RR) = 3/5 · 2/4 = 6/20 = 3/10 = 30%

Vergleich der Baumdiagramme

Mit Zurücklegen

Wahrscheinlichkeiten bleiben gleich!

Ohne Zurücklegen

Wahrscheinlichkeiten ändern sich!

Ausführliches Beispiel: Bonbons

Situation: Eine Tüte enthält 4 rote und 6 grüne Bonbons. Du nimmst nacheinander 2 Bonbons heraus.

Mit Zurücklegen:

P(beide rot) = ?

P(1. rot) = 4/10

P(2. rot) = 4/10 (gleich!)

P(RR) = 4/10 · 4/10 = 16/100 = 16%

Ohne Zurücklegen:

P(beide rot) = ?

P(1. rot) = 4/10

P(2. rot | 1. rot) = 3/9 (1 rot weg!)

P(RR) = 4/10 · 3/9 = 12/90 ≈ 13,3%

Beobachtung: Ohne Zurücklegen ist P(beide rot) etwas kleiner, weil nach dem ersten roten Bonbon weniger rote übrig sind.

Wie erkenne ich, was gemeint ist?

Mit Zurücklegen:

• "mit Zurücklegen"
• "unabhängig voneinander"
• "unter gleichen Bedingungen"
• Würfeln, Münzwurf (implizit)

Ohne Zurücklegen:

• "ohne Zurücklegen"
• "nacheinander entnommen"
• "gleichzeitig gezogen" (= ohne zurücklegen!)
• Lotto, Kartenspielen

Häufiger Fehler

Falsch: Bei "ohne Zurücklegen" die Wahrscheinlichkeiten konstant halten

Beispiel: "Aus 5 Karten (2 Asse, 3 Könige) werden 2 gezogen. P(beide Asse)?"

Falsch: P = 2/5 · 2/5 = 4/25 (behandelt als mit Zurücklegen)

Richtig: P = 2/5 · 1/4 = 2/20 = 1/10 (ohne Zurücklegen)

Übungsaufgaben mit Lösungen

Hier sind Übungsaufgaben mit ausführlichen Lösungswegen. Versuche jede Aufgabe zuerst selbst, bevor du die Lösung aufklappst!

Zusammenfassung & Checkliste

Hier findest du alle wichtigen Formeln und Strategien auf einen Blick — perfekt zum Wiederholen vor der Klausur!

Die wichtigsten Formeln

Laplace-Wahrscheinlichkeit

Günstige durch mögliche Ergebnisse

Gegenereignis

Für "mindestens" und "nicht"-Fragen

Additionssatz (disjunkt)

Wenn A und B sich ausschließen

Allg. Additionssatz

Bei Überlappung

Multiplikation (unabhängig)

Bei unabhängigen Ereignissen

Binomialkoeffizient

k aus n wählen (ohne Reihenfolge)

Pfadregeln (auswendig lernen!)

1. Pfadregel

Entlang eines Pfades: MULTIPLIZIEREN

2. Pfadregel

Günstige Pfade: ADDIEREN

Strategie-Checkliste für Aufgaben

Aufgabe verstehen

Was ist gesucht? Welche Informationen sind gegeben?

Mit oder ohne Zurücklegen?

Entscheidend für die Berechnung!

Laplace-Experiment?

Sind alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich?

Gegenereignis prüfen

Bei "mindestens" oft einfacher!

Baumdiagramm bei mehrstufigen Experimenten

Übersichtlich und verhindert Fehler

Ergebnis kontrollieren

Liegt P zwischen 0 und 1? Summe aller Pfade = 1?

Typische Fehler vermeiden

Mit/ohne Zurücklegen verwechseln

Genau lesen! "Gleichzeitig gezogen" = ohne Zurücklegen

Schnittmenge nicht abziehen

Bei P(A oder B) prüfen, ob Überlappung existiert

Unabhängigkeit falsch annehmen

Ohne Zurücklegen → Ereignisse sind abhängig!

Reihenfolge falsch beachten

Lotto: Reihenfolge egal → Binomialkoeffizient

Laplace bei nicht-Laplace anwenden

"Regen oder nicht" ≠ 50% - Ergebnisse nicht gleich wahrscheinlich!

Merkhilfen

"UND" → Multiplizieren

"A und B eintreten" → P(A) · P(B) (bei Unabhängigkeit)

"ODER" → Addieren

"A oder B eintreten" → P(A) + P(B) (bei Disjunktheit)

"Mindestens" → Gegenereignis

P(mind. 1) = 1 − P(keins)

Kontrolle: P ∈ [0,1]

Ergebnis muss zwischen 0 und 1 liegen!

Ein Beispiel

Wie wahrscheinlich ist bei einem fairen Würfel eine gerade Augenzahl?

Die Ergebnismenge ist {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Alle sechs Ergebnisse sind gleich wahrscheinlich.
Das Ereignis „gerade“ enthält {2, 4, 6}, also drei günstige Ergebnisse.
$P(gerade) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 50 %.$

Darauf kommt es an

Die Formel „günstig durch möglich“ gilt nur bei gleich wahrscheinlichen Ergebnissen. Bei nicht disjunkten Ereignissen darfst du Wahrscheinlichkeiten nicht einfach addieren.

Aufgabe

Wie wahrscheinlich ist bei zwei unabhängigen fairen Münzwürfen genau einmal Kopf?

Lösung und Rechenweg anzeigen

Die vier gleich wahrscheinlichen Folgen sind KK, KZ, ZK und ZZ. Zwei passen, also P = $\frac{2}{4}$ = $\frac{1}{2.}$