Wann braucht man einen zweiseitigen Test?
Ein zweiseitiger Hypothesentest wird verwendet, wenn sowohl zu kleine ALS AUCH zu große Werte gegen die Nullhypothese sprechen.
Typische Anwendungen
- • Fairness prüfen: Ist ein Würfel fair? (p = 1/6, nicht p ≠ 1/6)
- • Kalibrierung: Ist eine Maschine richtig eingestellt?
- • Qualitätskontrolle: Hat sich der Anteil verändert (egal ob gestiegen oder gesunken)?
- • Marktforschung: Hat sich die Kundenpräferenz geändert?
Zweiseitiger Test: Ablehnungsbereich auf BEIDEN Seiten
Hypothesen beim zweiseitigen Test
Aufbau der Hypothesen
Nullhypothese:
„Der Wert ist genau p₀"
Alternativhypothese:
„Der Wert weicht von p₀ ab"
Der entscheidende Unterschied
Beim zweiseitigen Test wird das Signifikanzniveau α auf beide Seiten aufgeteilt:
Links: und Rechts:
Bei α = 5% ist also auf jeder Seite nur 2,5% Fehlerwahrscheinlichkeit!
Ablehnungsbereich bestimmen
Zwei kritische Werte
Beim zweiseitigen Test gibt es zwei kritische Grenzen: k₁ (unten) und k₂ (oben).
Untere Grenze k₁:
Größtes k₁ mit dieser Eigenschaft
Obere Grenze k₂:
Kleinstes k₂ mit dieser Eigenschaft
Entscheidungsregel
Ablehnungsbereich: {0, 1, ..., k₁} ∪ {k₂, k₂+1, ..., n}
Annahmebereich: {k₁+1, k₁+2, ..., k₂-1}
H₀ ablehnen, wenn X ≤ k₁ ODER X ≥ k₂
Vergleich: Einseitig vs. Zweiseitig
| Kriterium | Einseitig | Zweiseitig |
|---|---|---|
| H₁ | p > p₀ oder p < p₀ | p ≠ p₀ |
| Ablehnungsbereich | Nur auf einer Seite | Auf beiden Seiten |
| Fehlerverteilung | Gesamtes α auf einer Seite | α/2 auf jeder Seite |
| Kritischer Wert | Ein Wert k | Zwei Werte k₁ und k₂ |
| Anwendung | Richtung bekannt | Nur Abweichung interessant |
Wann welchen Test?
- • Einseitig: „Ist der Anteil GRÖSSER geworden?" oder „KLEINER geworden?"
- • Zweiseitig: „Hat sich der Anteil VERÄNDERT?" (egal in welche Richtung)
Beispiel: Zweiseitiger Test
Aufgabenstellung
Eine Münze wird 100-mal geworfen. Es wird vermutet, dass sie nicht fair ist (also p ≠ 0,5). Bei 62 Würfen zeigt sie Kopf. Teste zum Niveau α = 5%.
Schritt 1: Hypothesen
H₀: p = 0,5 (Münze ist fair)
H₁: p ≠ 0,5 (Münze ist nicht fair)
→ Zweiseitiger Test
Schritt 2: Signifikanzniveau aufteilen
α = 0,05 → α/2 = 0,025 auf jeder Seite
Schritt 3: Kritische Werte berechnen
X ~ B(100; 0,5), μ = 50, σ = 5
Untere Grenze k₁:
Suche größtes k₁ mit P(X ≤ k₁) ≤ 0,025
P(X ≤ 40) ≈ 0,028 > 0,025
P(X ≤ 39) ≈ 0,018 ≤ 0,025 ✓
k₁ = 39
Obere Grenze k₂:
Suche kleinstes k₂ mit P(X ≥ k₂) ≤ 0,025
P(X ≥ 60) ≈ 0,028 > 0,025
P(X ≥ 61) ≈ 0,018 ≤ 0,025 ✓
k₂ = 61
Ablehnungsbereich: {0, ..., 39} ∪ {61, ..., 100}
Annahmebereich: {40, 41, ..., 60}
Schritt 4: Entscheidung
Beobachteter Wert: X = 62
62 ≥ 61 → 62 liegt im oberen Ablehnungsbereich
→ H₀ wird abgelehnt.
Schritt 5: Interpretation
Mit 62 Kopfwürfen bei 100 Würfen gibt es signifikante Evidenz (auf dem 5%-Niveau), dass die Münze nicht fair ist. Die Abweichung von 50% ist statistisch signifikant.
Schnelle Methode: σ-Umgebung
Für große n kann der Annahmebereich näherungsweise mit der σ-Umgebung bestimmt werden.
Näherung mit σ-Regel
Bei großem n liegt der Annahmebereich ungefähr bei:
| α | c (Faktor) | Überdeckung |
|---|---|---|
| 10% | 1,64 | ≈ 90% |
| 5% | 1,96 ≈ 2 | ≈ 95% |
| 1% | 2,58 | ≈ 99% |
Beispiel mit σ-Regel
Münzwurf mit n = 100, p₀ = 0,5, α = 5%:
- μ = n · p₀ = 100 · 0,5 = 50
- σ = √(n · p₀ · (1-p₀)) = √25 = 5
- c = 1,96 ≈ 2
Annahmebereich: 50 - 2·5 ≤ X ≤ 50 + 2·5
→ 40 ≤ X ≤ 60
(Exakt: 40 bis 60, σ-Näherung: auch 40 bis 60 ✓)
Übungsaufgaben
Zusammenfassung
Zweiseitiger Hypothesentest
Hypothesen:
H₀: p = p₀ vs. H₁: p ≠ p₀
Kritische Werte:
k₁: P(X ≤ k₁) ≤ α/2
k₂: P(X ≥ k₂) ≤ α/2
σ-Näherung (α = 5%):
Annahmebereich: μ ± 2σ = [μ - 2σ; μ + 2σ]
Wichtig
- • Bei α = 5% ist auf JEDER Seite nur 2,5%!
- • Der Annahmebereich ist SYMMETRISCH um μ.
- • Zweiseitiger Test ist „strenger" als einseitiger (größerer Annahmebereich).
Ein Beispiel
Prüfe eine Münze mit n = 10 Würfen, H₀: p = 0,5 und α = 5 %, gleich auf beide Seiten verteilt.
- Jede Seite darf höchstens 2,5 % Wahrscheinlichkeit unter H₀ enthalten.
- P(X ≤ 1) = ≈ 1,07 %. Wegen Symmetrie gilt dasselbe für P(X ≥ 9). Der nächste Schritt bis 2 bzw. ab 8 wäre je 5,47 % und damit zu groß.
- Der Ablehnungsbereich ist {0, 1, 9, 10}. Das tatsächliche Niveau beträgt ≈ 2,15 %.
Darauf kommt es an
Nutze nicht auf jeder Seite das volle α. Sonst kann die gesamte Fehlerwahrscheinlichkeit größer als erlaubt werden.
Aufgabe
Wird H₀ bei zwei Köpfen in diesem Test verworfen?
Lösung und Rechenweg anzeigen
Nein. Zwei Köpfe liegen außerhalb des festgelegten Ablehnungsbereichs. Das gilt trotz der Abweichung vom Erwartungswert 5.